Ｆｕｄｅｎｂｅｒｇ－Ｔｉｒｏｌｅ
economy/1025 ／ 648 レス ／ 2005/03/10〜2008/12/26
- 1 ：名無しさんの冒険：2005/03/10(Thu) 19:28
- Ｆｕｄｅｎｂｅｒｇ－Ｔｉｒｏｌｅ「Game Theory」輪読しませんか？
- 2 ：名無しさんの冒険：2005/03/12(Sat) 00:26
- いいよ。まずコテハンにしてから幹事を引き受けて欲しい。
- 3 ：名無しさんの冒険：2005/03/12(Sat) 01:04
- 準備ＯＫだ。
始めてくれ。 - 4 ：名無しさんの冒険：2005/03/12(Sat) 04:17
- 俺は待ってるぜ
- 5 ：名無しさんの冒険：2005/03/12(Sat) 04:21
- 提案としては、単にゲーム理論の（初心者向けの）お勉強会だったら、別にＦＴを
使わなくても日本語の教科書だってもっといいのがある。そういう人はそういうのを
読んでもらうとして、ＦＴを読むというからにはそれなりのレベルでかかるべきでは。
数学的な記法だとかそういう部分を大事にしながら厳密にやるんなら大いに期待するな。
じゃなくて、「囚人のジレンマって現実の経済に適用できるか？」みたいな「ちょい齧り」
の初心者が大好きないつもの哲学話みたいな雑談になるんだったら、そんなのはお断りだ。 - 6 ：名無しさんの冒険：2005/03/12(Sat) 04:23
- あと、この板には「ゲームは協力したら・・」クンとか「いまさらゲームなんて
ＯＲでやりつくされて・・」クンとか有名な粘着荒らしが常駐しているんだけど、
完全にスルーできるんならば、現在あるゲーム関連２スレよりも良スレになる期待大。 - 7 ：名無しさんの冒険：2005/03/12(Sat) 04:29
- そういう数学技術的な話になれば荒らしは煽るしかできないからね。
問題は数学記号の表現だが、まあ無理にとは言わないけれど希望として
出来るだけTeX文法に準拠したらどうかな？
http://bi.appi.keio.ac.jp/seminar/tex/node34.html
TeXが使える人ならば、そのままコピペしてコンパイルすることもできるし、
そこまでしなくても慣れてくれば誰でも記法を見ただけでイメージできる
ようになるものだよ。
あ、開始早々、気落ちさせるような注文に見えたらごめんね。 - 8 ：名無しさんの冒険：2005/03/12(Sat) 05:44
- 気落ちしマツタ
- 9 ：名無しさんの冒険：2005/03/12(Sat) 06:13
- 闘志なき者はコートを去れ！！
- 10 ：名無しさんの冒険：2005/03/12(Sat) 06:15
- ↑嘘です。やるんならきっちりやりましょうと言っているだけだから安心するようにね。
ブルーバックス感覚でＦＴ読まれちゃたまらんでしょ？
ま、実際に始まったらできるだけ丁寧にフォローしようかと思ってるんで。 - 11 ：名無しさんの冒険：2005/03/12(Sat) 07:01
- >ブルーバックス感覚でＦＴ読まれちゃたまらんでしょ？
あの本ブルーバックス感覚で読みたいデツねw
この際だから、TeXもがんばりまつ - 12 ：PK：2005/03/12(Sat) 09:18
- 政界から何とかと言う平和船の大阪女が消えたと思ったら
経済界にノラエモンとかいうのが出てきた
日本のこういう空気は、耐え難いものがある。
生理的に受けつけない。 - 13 ：名無しさんの冒険：2005/03/12(Sat) 20:17
- 1は逃亡したのか？
- 14 ：名無しさんの冒険：2005/03/12(Sat) 20:25
- とりあえずは１章からいこうか？
- 15 ：名無しさんの冒険：2005/03/13(Sun) 16:42
- スタート・キボン！
- 16 ：名無しさんの冒険：2005/03/13(Sun) 17:46
- この本ってnotationが雑な気がするのは俺だけ？定義も曖昧なとこがある気がするのだが・・・
- 17 ：名無しさんの冒険：2005/03/13(Sun) 20:43
- >>16
某BBSでは「Fuden御大証明テキトー」と評されてるぐらいだ。 - 18 ：名無しさんの冒険：2005/03/13(Sun) 21:09
- またも話は展開せずに終わりそうでつね（鬱）
- 19 ：名無しさんの冒険：2005/03/13(Sun) 21:12
- 誰か話題を提供してください
- 20 ：名無しさんの冒険：2005/03/13(Sun) 21:56
- Fudenの寅さんとチロル･チョコレート
- 21 ：名無しさんの冒険：2005/03/13(Sun) 22:44
- 暗黙の結託っておもしろいね
- 22 ：名無しさんの冒険：2005/03/13(Sun) 22:52
- 暗黙の結託というよりも，ノ～フリーランチです！
汗かいて読め！
10時間連続で椅子に座って，運動不足になったら鉄アレイ代わりにしろ！
頭が疲れたら枕にして寝ろ！ - 23 ：名無しさんの冒険：2005/03/13(Sun) 23:01
- 暗黙の結託はおもしろくない？
- 24 ：名無しさんの冒険：2005/03/14(Mon) 09:48
- >>16
F&Tは内容が結構高度で、それでいて定義や議論にあいまいな所があり、
かつ、各chapterの終わりのほうはさらっとしか書いていない
ので、意外に読みにくい。
exampleは良くできていると思う。 - 25 ：名無しさんの冒険：2005/03/14(Mon) 12:38
- MWGのほうがわかりやすくない？MWGで足りないとこをF&Tで補うほうが効率的なような紀がするけど？
- 26 ：名無しさんの冒険：2005/03/15(Tue) 00:14
- だからそのたぐいの床屋話などどうでもよいのだ。
話が始まらないので、とりあえず簡単な質問から行こうか。
いま本が手元にないので、うろおぼえだけど、まず最初に期待利得
Σ_{ｓ∈Ｓ}（Π_{ｓ_j＝１}σ_j（ｓ_j））ｕ（ｓ）
（TeX記法では、\sum_{s \in S}(\prod_{s_j=1})\sigma(s_j)）u(s) ）
http://www002.upp.so-net.ne.jp/latex/kigou_all.html
というような記述があったと思う。（記憶が違っていたら訂正よろ。）
この記述の意味を初心者にもわかるように説明して欲しい。できる？
また、notationが粗雑だとか言っている人は、たとえばこのような
記述はどのように書けばもっとわかりやすくなるのか説明してくれる？
最初が肝心だから、こういう厳密な細部から始めようよ。雑談スレじゃ
ないんだから。 - 27 ：初心者：2005/03/15(Tue) 08:50
- Σ_{ｓ∈Ｓ}（Π_{ｓ_j＝１}σ_j（ｓ_j））ｕ（ｓ）
純戦略プロファイルを任意に固定してその固定されたプロファイルでの期待利得を計算？あとは残っている純戦略プロファイルに同様のことをして足す - 28 ：名無しさんの冒険：2005/03/15(Tue) 09:17
- ／二ﾆ=‐､
_,.ﾆ二ヽ〃二 二ﾆ‐- ､ _,.-‐''"´￣￣￣｀゛'ヽ、
／/ ｀´ -‐-､ヽ、 ／ _,. -‐ｧﾍ､⌒ヽ、
,.ｲ/ / , ヾ､∨ _,,.-''"_,.-'" l ﾄ､ ヽ
/ ! l ､ ヽ ﾊヽ _,.-'"_,.-'"´ |ヽ、 丶
,' / l | l ヽ ＼ ヽ ､ ヽ / (｀')-‐-､ ,.--‐‐-ヾ! ヽ ｀
l/ /l ハヽ!ヽ ヽヽ_,.l=l-トl､ヽ! /ﾚ´￣ ｀ ´ ￣ ヽiヽ |l
/ / /´￣￣｀＼＼! ＼_,.H､lヽl l l ､,.ﾆ=‐､ ' ,.二ヾz | /l ｲ !
/ / / _/二ﾆヽ '"ﾆ‐-ヾﾉﾊﾊ ゝ'i ｰﾍ { 'ｰﾍ | ﾚ'-､ | i
〃イ ハ ｺ/ ,' -ﾍ i'ｰﾍ ｢ﾚﾌヽ! ゞﾆﾝ ゞﾆﾝ | l/ l | | |
l l/ ｲ-ﾍ ゞﾆﾝ ゞﾆﾝ_ ﾄ火ﾍ ´￣｀ < ´￣｀ l ﾚノ l l
l /ヽヽ_ﾊ ´￣ ヽ ￣｀ ﾚノ'-ﾍ l l l | !
|' | トﾊ /ﾊl l l ｀、 o ,ｲ l l ! !
ノ ﾉ ヽ、 o ／ /l l l ｀ト､ ／/ l l l l
ハ∧ ト 、 _ _ ,.イ /ﾚ'´ ! l l ! i｀ ｰ r‐' ´ ／ /| | | |
ｰ' { r‐'二ﾆ=‐‐‐ｧ‐-､l/ l l l l l _l／´⌒ヽ く | | | |
/／ ／ ヽﾌ l l l r┴┴､l/ ヽ、 ヽ、l l |
／ ／ 丶 l l | ヽ ／__ ヽ ヽ! l !
/ / __ L_ ヽl | _「￣´ ｀ﾞ' l l l l
/ l ｀ﾞ'ヽl_/ l l／ l 〉 | l
__!_____ l ヽ、 ／ l ／￣ユ l l
ヽ__ ,. - ｀ヽ､__ ヽ ､ ｀ く ／ヽヽ ｀)l
_(_ //｀ﾞ'ｰｰ｀ヽ、 ヽ、 _,,. -''"´ ヽ ! ﾉリ
(__ // ｀ヽ、 ｰ-一''"´ o l_L_ /〃
(_ _ノL| o ｀ヽ、 o _,.┴' |｀ﾊ/
( r'￣´ └-- ､o ｀ヽ、 _,. -‐''"´ ﾚ'
｀! ｀￣￣｀ﾞ''ｰ┬----｀ﾞ'ト､_,. -‐''"´ l
>>26嫌～！ - 29 ：名無しさんの冒険：2005/03/15(Tue) 17:31
- > \sum_{s \in S}(\prod_{s_j=1})\sigma(s_j)）u(s)
正しくは \sum_{s \in S}(\prod_{j=1}^I)\sigma_j(s_j)）u(s) だね。
Productをとるのはplayerについてで、sigmaもplayerによって違う。
期待利得は利得の期待値。利得はどう決まるかといえば、実際に実現
した純粋戦略の組 s によって決まる。平たく言えば、実際に皆がどう
いう行動をとったかで、自分がどのくらいハッピーか（これをu(s)と
書く）が決まる。
ところがどの純粋戦略の組が実現するかは事前にはわからない。とい
うのもplayer達は確率的に純粋戦略を選ぶこともありうるから（混合
戦略）。従って期待利得は、
\sum_{s \in S} (sが実現する確率)*(sが実現したときの利得u(s))
である。FTの記法では、(\prod_{j=1}^I)\sigma_j(s_j)の部分が「sが実
現する確率」に対応している。\sigma_j(s_j)が、player jが純粋戦略s_j
を選ぶ確率で、「s=(s_1,s_2,...,s_I)が実現する確率」がそれらの確率
の積で表されているのは、ここでは各playerが独立に純粋戦略を選ぶこ
とが仮定されているから。
という感じでどうです？ - 30 ：名無しさんの冒険：2005/03/18(Fri) 02:18
- いい説明だと思うよ。特に、
＞「s=(s_1,s_2,...,s_I)が実現する確率」がそれらの確率
＞の積で表されているのは、ここでは各playerが独立に純粋戦略を選ぶこ
＞とが仮定されているから。
は注意深いコメントだね。（あ、同一人物の自作自演じゃないのでよろｗ）
＞正しくは \sum_{s \in S}(\prod_{j=1}^I)\sigma_j(s_j)）u(s) だね。
＞Productをとるのはplayerについてで、sigmaもplayerによって違う。
u_i(s)じゃなかった？sigmaもplayerによって違うが利得関数（ただしくは
NM型利得関数の"パーツ"）もplayerによって違ってもかまわない。
ここでは、あるplayer iの期待利得について計算しているのだから。 - 31 ：名無しさんの冒険：2005/03/18(Fri) 02:57
- それじゃあ
\sum_{s \in S}(\prod_{j=1}^I)\sigma_j(s_j)）u_i(s)
を前提として話をすすめようか。つまりこれはplayer iの期待利得をあらわしたもの。
まず、各々のplayerは有限個の「行動」を選択肢として持っている。
（ここでは、あえて「戦略」や「純（粋）戦略」ではなくこの言葉を使う。）
例えば、player 1はU、M、D；player 2はL、Rといったぐあいに。
すると各playerの行動集合はS_iによってあらわすことができる。
この例だと、S_1={U,M,D}、S_2={L,R}。そしてそれらの集合の元（要素）を
小文字のs_iであらわす。つまり、s_1はUかMかDの値をとる。s_2はLかRの値をとる。 - 32 ：名無しさんの冒険：2005/03/18(Fri) 03:07
- 次に、u_i()が>>27氏も解説しているように、プロファイルsの関数であることに注意。
プロファイルというのはすべてのplayerの選択した行動の組み合わせのこと。つまり、
このゲームで実現したひとつの「結果」をあらわすわけ。上の例だと、S_1とS_2から
それぞれ一個ずつ元をとって組み合わせたペアならなんでもプロファイルになるので、
(U,L)、(D,R)、(D,R)..など６通りのプロファイルが作れることになる。
ちなみに、日本語でも「プロファイル」という言葉はゲーム理論用語として通用するん
だけど、ふと気になって改めて辞書引いてみたことがある。日本語の「プロフィール」
の他に「側面」とか「断面図」とかいう意味があるみたいだよね。
（ちなみにprofileの発音は「プロゥファイル」が近く、「プロフィール」などとは
発音できない。数年前の流行曲「fragile（割れ物注意）」を「フラ’ジャル」と
正しく呼ばずになぜかわざわざ「フラジール」と発音するぐらいみっともないぞ。
あと、「あいのり」のバスに乗ってるやつらは気持ち悪い。）
http://www2.alc.co.jp/ejr/index.php?word_in=profile&word_in2=%82%A0%82%A2%82%A4%82%A6%82%A8&word_in3=PVawEWi72JXCKoa0Je - 33 ：名無しさんの冒険：2005/03/18(Fri) 03:20
- そこで、めんどくさい集合論で考えるよりも、イメージとして頭に叩き込んでおくのが
今後この本の表記に慣れるのに役に立つ。いまの例だと、
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
U M D （player 1の行動） → s_1 ∈ S_1
L R （player 2の行動） → s_2 ∈ S_2
↓↓
プロファイルs ∈ {(U,L),(U,R),(M,L),(M,R),(D,L),(D,R),}=S
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
という図（掲示板だからこう書いたけど、これを縦横逆にして見てもらいたい）になる。
つまり、それぞれのplayerの行動をタテに見れば行動集合S_iになるし、ヨコに見れば
プロファイル集合、つまりそれぞれのとった行動の組み合わせのベクトルの集合、になる。
こうイメージすれば、「プロファイル」が各playerがとった行動によって生じる結果を
「横断的に」みたものだ、ということがわかりやすいだろう。 - 34 ：名無しさんの冒険：2005/03/18(Fri) 04:08
- あのー、すいません、テキストはどのように手に入るのでしょうか？
教えていただけないでしょうか？ - 35 ：名無しさんの冒険：2005/03/18(Fri) 04:14
- ある程度以上のゲーム理論のテキストを読もうと思ったら、記述を正確に理解する
ために初歩的な集合論の知識は必要だよ。 - 36 ：名無しさんの冒険：2005/03/18(Fri) 05:15
- ＞\sum_{s \in S}(\prod_{j=1}^I)\sigma_j(s_j)）u_i(s)
jがiと違う記号であることに注意。目的はplayer iの期待利得を表現すること
だが、\prodはjに関してとっており、さらに\sumはsに関してとっている。
iはずっと固定。
分解して考えてみると、
\sigma_j(s_j)）u_i(s)
で、あるプロファイルsをいったん固定し、あるplayer jを固定し、さらに、
その行動s_jを固定したときの混合戦略（σ）を考えている。すでに誰かが
言っているように、σはplayer jが独自に持つ関数で、ある行動s_jの関数だから
\sigma_j(s_j)と表記する。例えば、\sigma_1(U)とか\sigma_2(R)など。
一般に、ゲーム理論ではこのようなσのことを「戦略」と呼んでいる。つまり、
s_jに当てる確率のこと。FTのちとまずいのはその辺をきちんと区別してないとこか。
一般に、ゲーム理論でいう「戦略」とは、各playerがゲームの中の選択可能な
ところ（手番）でとることを記述された行動のルール、と考えるべきだろう。 - 37 ：名無しさんの冒険：2005/03/18(Fri) 05:20
- (\prod_{j=1}^I)\sigma_j(s_j)）u_i(s)
は、上のやつをjに関して積をとったもの。つまり、2 player gameの例だと、
\sigma_1(s_1) × \sigma_2(s_2) × u_i(s)
を意味する。先にsを固定していたので、それによってs_1とs_2は固定されている。
例えば、sとして(U,L)を固定したとき、s_1=U、s_2=L。よって、このsのときは
\sigma_1(U) × \sigma_2(L) × u_i(U,L)
となる。他の５通りのsについても同様。 - 38 ：名無しさんの冒険：2005/03/18(Fri) 05:33
- 最後に、sに関して\sumをとる。sは各playerのとる行動のベクトルだったから、
\sumの各項はそのベクトルによって特定されなければならない。実際、例で見ると、
s=(U,L) → \sigma_1(U) × \sigma_2(L) × u_i(U,L)
s=(U,R) → \sigma_1(U) × \sigma_2(R) × u_i(U,R)
・・・
のように、各項(\prod_{j=1}^I)\sigma_j(s_j))u_i(s)はある固定されたsに
よってひとつに決まるので、sに関して和をとることが可能！（「\prodや\sumを
とる」ときに、どこからどこまでの項が対象となるのか、またそれはパラメータ
に関して整合的かチェックすることはとても大切なことだよね。）したがって、
\sum_{s \in S}を頭につけることで合計をあらわし、
\sum_{s \in S}(\prod_{j=1}^I)\sigma_j(s_j))u_i(s)
と表記することができる。具体的に例で見れば、６通りのsで足し算するわけだから、
\sum_{s \in S}(\prod_{j=1}^I)\sigma_j(s_j))u_i(s)
= \sigma_1(U) × \sigma_2(L) × u_i(U,L)
+ \sigma_1(U) × \sigma_2(R) × u_i(U,R)
+ \sigma_1(M) × \sigma_2(L) × u_i(M,L)
+ \sigma_1(M) × \sigma_2(R) × u_i(M,R)
+ \sigma_1(D) × \sigma_2(L) × u_i(D,L)
+ \sigma_1(D) × \sigma_2(R) × u_i(D,R)
となる。これがplayer iの期待利得。
初心者さんにもわかるように一応説明したけど、とりあえずこれで記述に関しては
いいのかな。それじゃコンセンサスとして
\sum_{s \in S}(\prod_{j=1}^I)\sigma_j(s_j))u_i(s)
のような表記をこのスレでも多用することにして、少し先まで読み進めていかない？
できればNash均衡の存在性のところまで。レベルの高い人、続きをよろしく。 - 39 ：名無しさんの冒険：2005/03/18(Fri) 10:11
- >>35
ナゼ集合論？
そんなものを使うから応用思考の人間に相手にされんのだ、ゲーマーは。
といってみる - 40 ：名無しさんの冒険：2005/03/18(Fri) 10:34
- >>39
荒らすなら別のところにしてね。せっかく良スレになってきてるんだから。
集合論的な記述に関しては、×とΠの区別がつけばとりあえず本を読む分にはＯＫ
・・とちょっと無責任に言っておこうか。 - 41 ：39：2005/03/18(Fri) 13:45
- >>40
それなら良いです。失礼しました。 - 42 ：名無しさんの冒険：2005/03/20(Sun) 01:47
- ＞次に、u_i()が>>27氏も解説しているように、プロファイルsの関数であることに注意。
ＦＴだと、「記述の誤用」とあえて断った上で、ｓの関数だったはずの利得関数ｕ_iが
途中から混合戦略プロファイルの関数、ｕ_i（σ_1，σ_2）、とかになっている。
こんなところがＦＴのノーテイションが大雑把って言われる所以なのかもしれない。 - 43 ：名無しさんの冒険：2005/03/20(Sun) 01:57
- ちなみに、Myersonだと、ｕ_iはＣ＝×_{j∈N}Ｃ_jから実数空間への関数で、
ｕ_i（ｃ）、ｃ＝（ｃ_j）_{j∈N} ∈ Ｃだと定義されている。（ただし、Ｃ_jは
プレイヤーj∈Nの純戦略集合。）あ、このスレで別の本の話は禁句かな？
まあ、今後このスレでは、ｕ_i（ｓ）ともｕ_i（σ）とも表記する、という
ローカル・ルールでいいでしょう。
それじゃ、ageときますんで、このような記述でどなたか反応関数とNash均衡の
定義を書いて説明してください↓。 - 44 ：追加：2005/03/20(Sun) 02:01
- >>39
上の記述のように、Ｃ＝×_{j∈N}Ｃ_j の元が ｃ＝（ｃ_j）_{j∈N} だということが
わかればとりあえず十分です。わかりますか？
（TeX記法： C=\times_{j \in N}C_j c=(c_j)_{j \in N}） - 45 ：名無しさんの冒険：2005/03/20(Sun) 02:16
- ・・と思ったら、そのマイヤソンも同じことやってた、、
上記のようにｃに関する関数ｕ_jを定義しておいて、あとの方で、
u_i(\sigma)=\sum_{c \in C}\left( \prod_{j \in N}\sigma_j(c_j) \right)u_i(c), \forall i \in N.
（pp.92, 5th print 2002）
これもちろん再帰的な定義じゃなくて、「引数がcのときは前の定義、σのときはこの定義」
ということらしい。
う～む、このへんはゲーム理論の教科書一般に通じるアバウトなところなのか・・。 - 46 ：91：2005/03/21(Mon) 05:37
- こっちの方から来ました。とりあえず、ここの91
http://www.ichigobbs.net/cgi/15bbs/economy/1021/L50/91
それじゃちょっとネタふりで、Ｎａｓｈ均衡について勉強してみようか。
私の持っている版だと１１ページ。
Definition 1.2 A mixed-strategy profile σ^* is a Nash equilibrium if,
for all player i,
(1.2) u_i(σ_i^*,σ_{-i}^*)≧ u_i(s_i^*,σ_{-i}^*) for all s_i∈S_i
A pure-strategy Nash equilibrium is a pure-strategy profile that
satisfies the same conditions.
まず、これが定義ですね。 - 47 ：91：2005/03/21(Mon) 05:43
- さて、ちょっとここでこだわりたいのは、このＮａｓｈ均衡の定義は「純戦略による
逸脱」のみで定義されているということ。つまり、ＦＴも定義の下の方で書いているように、
こう定義しておけば、混合戦略も含めたＮａｓｈ均衡の定義として十分だ、ということ
になる。
Since expected utilities are "linear in the probabilities," if a player uses
a nondegenerate mixed strategy in a Nash equilibrium (one that puts positive
weight on more than one pure strategy) he must be indifferent between all pure
strategies to which he assigns positive probability. (This linearity is why,
in equation 1.2, it suffices to check that no player has a profitable pure-
strategy deviation.) - 48 ：91：2005/03/21(Mon) 05:55
- では、なんでそれで「十分」なんだろう？まあＦＴ自身言っているように、混合戦略に
よって利得が線型だから、ちょっと考えりゃわかることなんだけど、このスレは
一応厳密な記述で進めていくことになってるらしいんで、簡単な証明を試みてみよう。
まず、すでに説明されているように、利得関数を次のように定義する。
定義
u_i(σ)=∑_{s∈S}(Π_{j=1}^{I}σ_{j}(s_{j}))u_i(s)
ここで、もしプレイヤーiの混合戦略がσ_i(s_i)でi以外のプレイヤーの混合戦略が
σ_{-i}^*(s_{-i})であれば、これは、
u_i(σ_i,σ_{-i}^*)=∑_{s∈S}σ_i(s_i)(Π_{j≠i}σ_{j}(s_{j}))u_i(s_i,s_{-i})
と書ける。これを(*)と呼ぼう。
（ちなみにまだ出ていないようだが、s_{-i}はi以外のすべてのsの元で作った
ベクトルをあらわす簡便法。つまり、
s_{-i}=(s_1,s_2,...,s_{i-1},s_{i+1},...,s_{I}) つまり、s=(s_i,s_{-i})
その他も同様。） - 49 ：91：2005/03/21(Mon) 06:03
- あ、訂正。>>46は
(1.2) u_i(σ_i^*,σ_{-i}^*)≧ u_i(s_i,σ_{-i}^*) for all s_i∈S_i
さて、そこで、目的は、混合戦略による逸脱を使った別の仮想的な定義を
for all player i,
(1.2') u_i(σ_i^*,σ_{-i}^*)≧ u_i(σ_i,σ_{-i}^*) for all σ_i
とすると、「(1.2)の定義は(1.2')に対して十分である」ということを証明したいわけ。
つまり、プレイヤーiの逸脱の仕方として一般には任意の混合戦略σ_i（つまり純戦略
s_iに割り当てることができるあらゆる確率）を考えなければならないのに、実際には
純戦略s_iのみチェックしておけばいいってこと。明らかにs_iのとりうる可能性が
小さいのでこれは不十分に見える。しかし、利得の持つ「線型性」によって、それは
十分だってことがわかる。 - 50 ：91：2005/03/21(Mon) 06:10
- 証明はこんな感じになるのかな。
[証明] 任意のあるiを固定する。そのiに対して、(1.2)の定義によるσ^*は、
u_i(σ_i^*,σ_{-i}^*)≧ u_i(s_i,σ_{-i}^*) for all s_i∈S_i
を満たさねばならない。この両辺に任意のσ_i(s_i)≧0を掛けると、不等号を保ったままで
σ_i(s_i)u_i(σ_i^*,σ_{-i}^*)≧ σ_i(s_i)u_i(s_i,σ_{-i}^*) for all s_i∈S_i
利得関数の定義により、右辺を書き換えると、
σ_i(s_i)u_i(σ_i^*,σ_{-i}^*)≧ σ_i(s_i)∑_{s_{-i}∈S_{-i}}(Π_{j≠i}σ_j^*(s_j))u_i(s_i,s_{-i}) for all s_i∈S_i - 51 ：91：2005/03/21(Mon) 06:23
- （続き）
これが任意のs_i∈S_iに関して成り立っているので、両辺それぞれs_iについて
足し合わせても不等号が保たれる：
∑_{s_i∈S_i}σ_i(s_i)u_i(σ_i^*,σ_{-i}^*)≧ ∑_{s_i∈S_i}σ_i(s_i)∑_{s_{-i}∈S_{-i}}(Π_{j≠i}σ_j^*(s_j))u_i(s_i,s_{-i})
すると、u_i(σ_i^*,σ_{-i}^*)がs_iに対して定数であることおよび∑_{s_i∈S_i}σ_i(s_i)=1
より左辺はu_i(σ_i^*,σ_{-i}^*)。さらに右辺の∑の順序を交換すると、
u_i(σ_i^*,σ_{-i}^*)≧ ∑_{s_i∈S_i}∑_{s_{-i}∈S_{-i}}σ_i(s_i)(Π_{j≠i}σ_j^*(s_j))u_i(s_i,s_{-i})
ところが、右辺の各項σ_i(s_i)(Π_{j≠i}σ_j^*(s_j))u_i(s_i,s_{-i})はsによって
一意的に特定できるので、sによって総和をとっても同じことになる：
u_i(σ_i^*,σ_{-i}^*)≧∑_{s∈S}σ_i(s_i)(Π_{j≠i}σ_{j}^*(s_{j}))u_i(s_i,s_{-i})
したがって、これが任意のσ_i(s_i),s_i∈S_iに関して成り立つので、上の(*)式より、
u_i(σ_i^*,σ_{-i}^*)≧u_i(σ_i,σ_{-i}^*) for all σ_i
で(1.2')が成り立たなければならない。(Q.E.D.) - 52 ：91：2005/03/21(Mon) 07:03
- 上の証明でポイントは、∑の順序を交換したり、∑∑の各項がsによって特定できるので
sに関する∑でとれる、という部分だ。利得が線型だからこういうことができるってこと。
上のやつは掲示板で書くとすごく見づらいので、上の方で使われている例を使って
∑やΠを使わない形で同じ計算を書いておく。
プレイヤー１の戦略： Ｕ，Ｄ
プレイヤー２の戦略： Ｌ，Ｍ，Ｒ
プレイヤー１の利得のみチェックするね。(1.2)の定義を使えば、条件は、
ｕ_1（σ_1^*，σ_2^*） ≧ ｕ_1（Ｕ，σ_2^*）
ｕ_1（σ_1^*，σ_2^*） ≧ ｕ_1（Ｄ，σ_2^*）
が同時に成り立つ。それぞれの両辺にそれぞれ同じものを掛算して、
σ_1（Ｕ） × ｕ_1（σ_1^*，σ_2^*） ≧ σ_1（Ｕ） × ｕ_1（Ｕ，σ_2^*）
σ_1（Ｄ） × ｕ_1（σ_1^*，σ_2^*） ≧ σ_1（Ｄ） × ｕ_1（Ｄ，σ_2^*）
それぞれの右辺を書き換えてみれば、
σ_1（Ｕ） × 〔σ_2^*（Ｌ）ｕ_i（Ｕ，Ｌ）＋σ_2^*（Ｍ）ｕ_i（Ｕ，Ｍ）＋σ_2^*（Ｒ）ｕ_i（Ｕ，Ｒ）〕
σ_1（Ｄ） × 〔σ_2^*（Ｌ）ｕ_i（Ｄ，Ｌ）＋σ_2^*（Ｍ）ｕ_i（Ｄ，Ｍ）＋σ_2^*（Ｒ）ｕ_i（Ｄ，Ｒ）〕
一方、左辺を足し合わせれば、 σ_1（Ｕ）＋σ_1（Ｄ）＝１より、ｕ_1（σ_1^*，σ_2^*）。 - 53 ：91：2005/03/21(Mon) 07:11
- よって、両辺を足し合わせて>>38のレスのように並べて書き出してやれば、
ｕ_1（σ_1^*，σ_2^*）
≧ σ_1（Ｕ）σ_2^*（Ｌ）ｕ_i（Ｕ，Ｌ） ＋ σ_1（Ｕ）σ_2^*（Ｍ）ｕ_i（Ｕ，Ｍ）
＋ σ_1（Ｕ）σ_2^*（Ｒ）ｕ_i（Ｕ，Ｒ） ＋ σ_1（Ｄ）σ_2^*（Ｌ）ｕ_i（Ｄ，Ｌ）
＋ σ_1（Ｄ）σ_2^*（Ｍ）ｕ_i（Ｄ，Ｍ） ＋ σ_1（Ｄ）σ_2^*（Ｒ）ｕ_i（Ｄ，Ｒ）
＝ ｕ_1（σ_1，σ_2^*）
プレイヤー２の利得についても同様。このようにして、この例だと、各プレイヤーは
（σ_1^*，σ_2^*）を逸脱して、Ｕ，ＤおよびＬ，Ｍ，Ｒへ純戦略の意味で戦略を変更
する動機がない限り、（σ_1^*，σ_2^*）は確かに均衡であることが確認できるということだ。 - 54 ：91：2005/03/21(Mon) 07:23
- とりあえず、進めといたよ（笑）。
ざっと見る限り、この後はいくつかのゲームの具体例が続いて各自読めばいいので、
次1.3節 Existence and Properties of Nash Equilibria へ進んでいいんじゃないのかな。
角谷不動点定理の証明まで遡ると大変なんで、とりあえずの目標は、この証明で
不動点定理が使われていることの意味および（そのために）compact、convex、finite
というような集合の性質を一通り（直感的にでも）理解すること、と。
どうだろう？ - 55 ：211：2005/03/21(Mon) 15:42
- 91さん、場所を設定してくださってありがとうございます。
130に関して、112の繰り返しになりますが、
いまだに「ルールの変更」が批判されるべきなのか分かりません。
観察される現象が金銭的動機だけでは説明できなくて、
公平性を導入したら説明できることを示すためには、
2種類の効用関数を使って確かめることが必須ですよね。
131に関して、こっちは127の繰り返しですが、
公平性の尺度が否定されたとは思ってませんし、怒ってもいませんが、
実験を使って公平性以外の尺度を1つずつ潰していきたいと思ってます。
実験結果を重視すれば、効用関数の形状に関してかなり強い制限が付くはずだ、と信じているからです。
すりらんかさんとの対話でいくつか書いたように、
これ以外の効用関数の設定ではうまくいかない部分がでてくる可能性があります。
inatoraさんは別にして、僕は「こんな可能性もあるあんな可能性もある」以上のことを書いてきたはずです。
「それじゃあ、91さんは公平性以外の尺度を用いて最後通牒ゲームの実験結果を整合的に説明できるのですか？」
と少し挑発しているのはこのせいです。 - 56 ：名無しさんの冒険：2005/03/21(Mon) 17:37
- Nash Equilibriaの概念にはもはや新規性はない．
存在するときには存在するのである．
Nashでなくとも均衡は他にも作れるのであって，
よって当該経済モデルの中でなぜNash均衡が特段の重要性を持つかが示されていなければ，
そこでの議論の価値はゼロに等しい．
同じことは最後通牒ゲームやtit for tatに対しても言える．
なぜ他のゲームまたは他の戦略ではダメなのか？という根底にあるsituationに関する吟味不在
のところからスタートした分析なら，そこからいかなる結果が得られようとも，説得力を持ち得ないのは当然の成り行きというものだ． - 57 ：名無しさんの冒険：2005/03/29(Tue) 22:29
- 91さん再びよろしく
- 58 ：わくわくさん：2005/04/07(Thu) 00:36
- ＞角谷不動点定理の証明まで遡ると大変なんで、とりあえずの目標は、この証明で
＞不動点定理が使われていることの意味および（そのために）compact、convex、finite
＞というような集合の性質を一通り（直感的にでも）理解すること
本書によれば、不動点定理のための条件は、
１．Σがコンパクト、凸、非空であること
２．ｒ（σ）が非空であること
３．ｒ（σ）が凸であること、および
４．ｒがu.h.c.であること
になっていますよね。１～３に関しては直感的にも明らかだと思う。
Σは混合戦略によって作られた有限個の純戦略の内点の空間であるので
明らかにコンパクトで凸。利得関数がコンパクト上の連続関数なので
最大点が存在してｒ（σ）は非空。これが凸であるのも明らか。
たぶん、このスレのレベルだと、４の、ｒの上半連続性については
きちんと証明しなきゃならないんじゃないかな。その前に問題あるかな？
ひょっとしたら、上のレスを読む限り、反応対応が ｒ：∑→→∑ と
あらわせることも、すんなりそのまま行っていいのかどうか疑問だけど・・。
ていうか、そもそもこのスレ、読んでいる人とかいるのか？（笑） - 59 ：名無しさんの冒険：2005/04/09(Sat) 01:03
- 上の方にも書いている人がいるけど、あらためて考えてみると、基本的な
集合論の知識がなくてこういう話に食いつく人もあまりいないと思う。
あくまで初心者向けの掲示板として、簡単にサマライズしとくのも悪くないかも。
「有限個」・・ひとつ、ふたつ、・・と数えられて、あるとき限界がくるようなこと。
「有界」・・ある区間や空間に上限や下限があること。ずーっと先まで続いていない感じ。
「閉集合」・・開集合の補集合になっているような集合のこと。
「開集合」・・その集合に含まれる点に関するどんな開近傍も含むような集合のこと。
「開近傍」・・ある点を中心とする半径の長さがすごく小さい値を持つ境界を含まない球。
したがって、イメージとしては、閉集合はそれ自身のいかなる境界も含むような集合、
開集合はそれ自身のいかなる境界も含まないような集合、と考えればよいです。 - 60 ：名無しさんの冒険：2005/04/09(Sat) 01:15
- 「コンパクト集合」・・厳密な定義はとりあえず置いておいて、いまのような実数空間
における議論では、有界な閉集合、と定義しておきます。
したがって、>>58のような「Σがコンパクト」ということを示したければ、Σが有界で
かつ閉集合であることを示せばよいわけです。
例。あるプレイヤーが純戦略として０と１を持っているとします。混合戦略とは、
純戦略にウェイトづけした内点でしたので、（１－ｘ）・０＋ｘ・１、つまり
０から１までの区間の中のある点であらわされます。この区間［０，１］は
０と１も含みますから上の言葉では「閉区間」、つまり閉集合の一種です。
さらにこの区間の下限は０、上限は１ですから明らかにこの集合は有界です。
したがって、区間（集合）［０，１］はコンパクト集合です。 - 61 ：名無しさんの冒険：2005/04/09(Sat) 01:24
- 「凸集合」・・その集合のいかなる２点の内点も含むような集合のこと。
したがって、上の例［０，１］は凸集合です。なぜならば、０と１の間のいかなる点も
この区間に含まれるので、どのような２点をとってもその間の点はこの区間に含まれるから。
ちなみに、閉集合と凸集合はまったく別の概念です。例えば、上の区間で境界の０と１を
とりのぞいて作った別の区間（０，１）を考えてみると（これは開集合であるので
開区間と呼ばれ、［］でなく（）で表記します）、この区間は閉集合ではありません。
しかし、この区間は凸集合にはなっています。上の定義を満たすからです。
逆に、［０，１／３］と［２／３，１］を合わせた集合は閉集合であるが凸集合ではありません。 - 62 ：名無しさんの冒険：2005/04/09(Sat) 01:43
- さて、>>58の条件１は上のイメージから明らかです。
区間［０，１］は純戦略（この場合「サポート」とも呼ばれます）が２つしかない場合の
あるプレイヤーの混合戦略空間のひとつの単純な例となっています。
もし純戦略が３つ（例えばＡ，Ｂ，Ｃ）ある場合は、３つの独立した点と、ＡとＢ、ＢとＣ、
ＣとＡの内点で囲まれるような三角形の空間を戦略空間としてイメージすればよい。
このように、一般には純戦略がＮ個ある場合は、あるプレイヤーの混合戦略空間は、
Ｎ個の純戦略をサポートとするＮ－１次元単体としてあらわすことができます。
区間［０，１］のように、そのような単体はサポートとなる点とそれらの点から
作られる境界を含むものとなっていることは明らかです。したがって、そのような
単体は閉集合だとわかります。また、純戦略は有限個であり、その有限個の点に
囲まれるような空間なので、明らかにその空間は有界となっています。したがって、
あるプレイヤーの混合戦略空間はコンパクト集合です。
ゲームの混合戦略空間Σは各プレイヤーの混合戦略空間の直積で定義されています。
有限個のコンパクト集合の直積で作られる集合もまたコンパクトです。（これは
自分で確認してみてください。）したがって、Σはコンパクト集合だとわかりました。
さらに、あるプレイヤーの混合戦略空間が純戦略の内点より成り立っていることより、
明らかにそれは凸集合であり、上の議論と同様にそれらの直積も凸だということも
わかるので、Σは凸になります。
すべてのプレイヤーは１個以上の純戦略を持つので、Σが非空であることは自明です。
したがって、条件１が確認できました。 - 63 ：名無しさんの冒険：2005/04/09(Sat) 01:59
- とりあえず、ここまでで何か質問あるかな？
あと、あとから使うかもしれんので、連続関数の定義もちょっと厳密な形で示しておこう。
関数ｆ：Ｘ→Ｙが「ａ∈Ｘの上で連続である」とは、
「任意の正数ε＞０に対して、あるδ＞０が存在して、
｜ｘ－ａ｜＜δならば｜ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）｜＜ε」 ・・（＊）
となっていること。（ただし、｜｜はユークリッド距離（ノルム）をあらわす。）
関数ｆ：Ｘ→Ｙが「連続である」とは、定義域Ｘの任意の点の上で連続であること。
あ、以後は（＊）を「∀ε＞０，∃δ＞０；｜ｘ－ａ｜＜δ⇒｜ｆ（ｘ）－ｆ（ａ）｜＜ε」
とも書くルールにしたらどうでしょう。機種依存文字で見えない人がいたら教えて。 - 64 ：名無しさんの冒険：2005/04/09(Sat) 17:00
- >>60-63
「内点」→「凸結合」（「内点」は位相の言葉。）
>さらに、あるプレイヤーの混合戦略空間が純戦略の内点より成り立っていることより、
>明らかにそれは凸集合であり、上の議論と同様にそれらの直積も凸だということも
>わかるので、Σは凸になります。
これが正しいかどうかは直積集合での凸結合の定義次第だと思う。
（一方で、有限次元空間での「まともな」位相の選び方は一意に決まるので、
「コンパクトの有限個の直積がコンパクト」という主張は位相の選び方にほとんど寄らない。）
凸結合を
λ(x,y)+(1-λ)(x',y') = (λx+(1-λ)x',λy+(1-λ)y')
と定義すれば、凸集合の直積（例えば混合戦略の組全体）は必ず凸になるが、
混合戦略の組全体の集合は、
戦略の組の空間上の（相関を認めた）分布全体の集合（相関均衡が定義される空間）で
自然に定義される凸結合に対しては凸ではない。
ナッシュ均衡の存在を証明する際は前者の定義を使うが、
後者の定義もときどき利用されるから無視すべきでない。
（例えば、3人以上のゲームでrationalizabilityを考える場合とか。
後者の定義で混合戦略の組全体が凸にならないという事実は、
いくつかの定理が2人ゲームでしか成り立たないことの本質的な理由を理解するときに重要である。） - 65 ：名無しさんの冒険：2005/04/12(Tue) 23:07
- ２ちゃんねるでもこのスレが話題に！！いまや業界注目のﾌﾟﾛｼﾞｪｸﾄか？？
http://academy3.2ch.net/test/read.cgi/economics/1093842818/l50
応援ついでにレス期待age。ま、俺はただ見てるだけだがｗ - 66 ：名無しさんの冒険：2005/04/14(Thu) 13:06
- >>65
何この自作自演 - 67 ：65：2005/04/16(Sat) 01:33
- その通り。ま、確かにある意味では自作自演だなｗ
ちなみに僕は
http://academy3.2ch.net/test/read.cgi/economics/1093842818/l50
の>>279や>>283だけど、あっちでも「凸集合の定義なんていまさら恥ずかしい」
なんてすごいこと言ってる人がいたから、上の>>64さんのコメントにつっこみ
入れる人を探すために両方でお互いの板を紹介してるだけなんだけどね。
つーか、自作自演だとかそういうのはどうでもいいから、内容で話を進めて
もらえませんか？>>64さんでも誰でもいいから、おながいしますｍ（＿＿）ｍ - 68 ：名無しさんの冒険：2005/04/16(Sat) 08:56
- >>67
他力本願でなく、まずは自分でやってみたら。 - 69 ：64：2005/04/16(Sat) 15:41
- じゃ、とりあえず、ミニマクス値とマキシミン値の大小関係について調べてください。
なぜ2人ゲームのときの証明が3人ゲームに拡張できないか、>>64の観点から説明してね。
あと、定義のしようによっては（相関をうまく許せば）拡張できることも示してね。
ちなみに、不完全モニタリングの繰り返しゲームでも、
public strategyだけでなくprivate strategyも考慮に入れる場合は、
ミニマクス値に相関を許すべきかどうかが重要な論点になります。
こっちはFudenberg-Tiroleの問題5.10とかを解いてみてね。 - 70 ：名無しさんの冒険：2005/04/19(Tue) 00:54
- 輪読スレなんだから、教科書に戻ろうよ。せっかくいい感じで来てたんだから。
個人的な趣味の問題は別にゲーム理論スレがあるのでそちらでお願いします。 - 71 ：名無しさんの冒険：2005/04/19(Tue) 02:54
- どなたか上半連続と下半連続を誰にでもわかるように説明してください。
- 72 ：名無しさんの冒険：2005/04/19(Tue) 04:47
- >>71
脈絡無く発言してスマソ。
一価写像の？それとも多価写像の？
多価写像の半連続性（優半連続、劣半連続）については、
丸山徹「経済数学」知泉書館
西村和雄「経済数学早わかり」
http://www.econ.kobe-u.ac.jp/~koba/econ/math/pdf/fixedpoint.pdf
などを見るのが早い。
俺は誰にでもわかるようには説明できん。すまんな。 - 73 ：名無しさんの冒険：2005/05/12(Thu) 09:46
- >>16
曖昧でもよいと思います。
経済学的インプリ・メッセージが失われない限りにおいて。 - 74 ：名無しさんの冒険：2005/05/12(Thu) 14:28
- 皆挫折したのかな？
- 75 ：名無しさんの冒険：2005/05/12(Thu) 20:31
- <Nash Equilibriaの概念にはもはや新規性はない．
<存在するときには存在するのである．
<Nashでなくとも均衡は他にも作れるのであって，
<よって当該経済モデルの中でなぜNash均衡が特段の重要性を持つかが示されていなければ，
<そこでの議論の価値はゼロに等しい．
<同じことは最後通牒ゲームやtit for tatに対しても言える．
<なぜ他のゲームまたは他の戦略ではダメなのか？という根底にあるsituationに関する吟味不在のところからスタートした分析なら，そこからいかなる結果が得られようとも，説得力を持ち得ないのは当然の成り行きというものだ． - 76 ：名無しさんの冒険：2005/05/13(Fri) 00:50
- 均衡の開発／refinementしてる人なんて常にいるんだけどね。UPEもマルコフパーフェクトも無視っすか。もちろんナッシュほどの大ネタは滅多に出てこないけれど。言っとくけどどれも数学のお遊びじゃないよ。あんたが知らんだけ。
しばらく前からいるようだが、すごーく恥ずかしいので何も知らない人しかいない自分の巣で居酒屋談義やってるくらいにしときなよ。 - 77 ：名無しさんの冒険：2005/05/13(Fri) 16:41
- ↑
アホ
スライスした答えばっかりｗ
どちてダイレクトに答えられないのでしょうｗｗ
経済的に特段の意義ある帰結を生み出しているのか？ - 78 ：名無しさんの冒険：2005/05/14(Sat) 01:55
- >>77
はい。マルコフパーフェクトなしにまともな数値・ダイナミクスは無理です。
UPEなしに外部性のきつい状況でモデル組むのは難しいです。
それこそ周波数オークションで使われてるよ。
口あけてエサ待ってる雛というのは普通は偉そうな顔はせんもんだぞ。 - 79 ：名無しさんの冒険：2005/05/14(Sat) 07:03
- つまらぬ質問で恐縮だが・・・ＵＰＥってなんの略？
- 80 ：名無しさんの冒険：2005/05/14(Sat) 07:14
- >>79
Undercutting Proof Equilibrium。と書いてみるとなかなか泥臭い名前だな。 - 81 ：名無しさんの冒険：2005/05/14(Sat) 10:46
- UPE、ほとんど周波数オークション「しか」使われてない、ともいうが・・・
マルコフのほうはよく利用されていると思います。 - 82 ：名無しさんの冒険：2005/05/14(Sat) 11:07
- >>81
>>UPE、ほとんど周波数オークション「しか」使われてない、ともいうが・・・
そうなの？ネットワーク経済性関連では割と良く出てきてたような気がするけど。
最近そっち方面はあんまり見てないんだが、今はそんな感じなのか。 - 83 ：79：2005/05/14(Sat) 16:55
- サンキューです。全然知らなかった（恥
- 84 ：名無しさんの冒険：2005/05/15(Sun) 22:19
- 集団面接で「私はWeb上に日記を毎日書いていて、それはブログというのですけど、それを毎日欠かさず書く私は自分をコツコツやる派の人間だと思っている」とめちゃくちゃに噛みながらキッパリとのたまった蛮勇なやつが一人いて、おれは横であわわあわわとしていると、「コメント欄の書き込みでコミュニケーションの大切さを学んだ」とか可哀想を通り越してただただ不憫なことをさらに噛み噛みで答えて、おれは心の中でやめろやめるんだと吠えていた。君は間違っている。それはコミュニケーション能力のアピールには適してない回答だ。
だいたいにして日記を毎日書くなんて真面目なわけでもなんでもなくてただ暇なだけ、っていうのはもはや皆様ことブロガーには常識であって、それは真面目からは程遠いのに毎日日記を綴るおれが保証する。しかもコミュニケーション能力を学んだと言いながら、全くまともに話せてない有り様だったりしてアレか、君はツッコミ待ちってやつか。試験官最後の方君の話あきらかに聞いてなかったぞ。視線泳いでたぞ。
なんか筆記試験の異常な簡単さとあいまって、ものすごい倦怠感。ブロガーって、ブログって一体何なんだろう。コミュニケーションって？交流って何？食えんの？燃えんの？使えんの？
http://d.hatena.ne.jp/singijutu/20050428/p2 - 85 ：名無しさんの冒険：2005/05/20(Fri) 18:06
- >>82
http://www.cefir.org/Papers/conf2706_03/klimenko.pdf
検索かけたら見つかった。 - 86 ：名無しさんの冒険：2005/05/24(Tue) 08:28
- >>32
フランス語読みでフラジール。恥ずかしいのはオマエだ。 - 87 ：名無しさんの冒険：2005/05/27(Fri) 12:44
- >>86
γ、Γを「ガンマ」でなく、「ギャンマ」と発音する格好つけたゲーム理論家がいるが、どうよ? - 88 ：名無しさんの冒険：2005/05/28(Sat) 18:25
- いやみな学生さん
もう輪読やめたの？
ぷっ - 89 ：名無しさんの冒険：2005/05/30(Mon) 09:14
- >>88
同意 - 90 ：名無しさんの冒険：2005/05/30(Mon) 09:15
- >>88
>>いやみな学生
日本の若手純粋ゲーマ－なんて、皆そうだよ。 - 91 ：名無しさんの冒険：2005/06/19(Sun) 04:51
- >>87
うざいね。
けど、留学先でそういう発音にさらされて慣れてしまい、無意識でやってるのかもしれんね。 - 92 ：名無しさんの冒険：2005/06/20(Mon) 18:55
- >>91
そうそう、無意識なのがね、、 - 93 ：名無しさんの冒険：2005/07/06(Wed) 01:28
- このすれおもしろそうですね。
少々めんどくさいかもしれませんが、数式を使う文章はPDFに落としてあぷろだにあげて、
勉強できないかしらん。 - 94 ：名無しさんの冒険：2005/07/09(Sat) 21:21
- 提起age
- 95 ：名無しさんの冒険：2005/07/10(Sun) 09:53
- >>93
よくあんなごつい本を一から読もうという気になりますな。皮肉ではなく。
そのモチベーションってどこから湧いてくるんですか？ - 96 ：名無しさんの冒険：2005/07/14(Thu) 14:46
- >>95
基本文献だから。 - 97 ：名無しさんの冒険：2005/07/19(Tue) 01:11
- >>93
>>1-93までの過去ログをPDFファイルにしてみました。
明らかに内容的に誤植と思われる箇所はこちらで直してあります。
http://www.geocities.jp/ichigo_texmaster/ft01_93.pdf
なお、TeXソースもありますので、ある程度ログがたまったら、
TeXが扱える方、更新と保守をお願いします。
http://www.geocities.jp/ichigo_texmaster/ft01_93.txt - 98 ：名無しさんの冒険：2005/07/20(Wed) 00:55
- '８０年代からゲーム理論が経済学に応用されて
経済への応用の集大成がTiroleの「産業組織論」
ミクロへの応用の集大成がKrepsの「ミクロ」
ゲーム理論そのものの集大成が「これ」
その後は契約理論、行動経済学などあるが大きな展開はない。
そういうことか？ - 99 ：名無しさんの冒険：2005/09/01(Thu) 13:11
- すみません。どこに質問してよいか判らないのでここに書かせてください。
変動する市場の動向を予測して投資する問題を考えます。
市場の状態は正確にはわからないとします。
このとき、このゲーム論的解釈は、
履歴不明だから、完備不完全情報でしょうか。
それとも、市場の状態を決定する自然を考え、
完全ベイジアン均衡と解釈すべきでしょうか。
突然すみませんが、よろしくお願い致します。 - 100 ：名無しさんの冒険：2005/09/01(Thu) 13:12
- すみません。
ageちゃいました。
sageます。
初心者ですみません。 - 101 ：名無しさんの冒険：2005/09/03(Sat) 10:25
- いや別にここに書いてもかまわないと思うけど？
ゲーム理論で情報が完備(complete)であるとは、自然が最初に手番をとらないか、
とったとしても全てのプレイヤーがそれを観察できる状態を言います。
そうでなれば不完備(incomplete)。
投資をする段階で市場が将来どう変動するかわからない、ということは、自然が
プレイヤーが投資をしたあとに手番をとる、ということでしょう。その場合は、
情報が不確実(uncertain)であると呼びます。それは不完備とは別のものです。
もし投資家間に非対称(asymmetric)情報などがなければ、ゲームの情報集合は
どれも一つの節のみを含むものとなるのでしょうから、おそらくそのゲームは、
「完全・完備・対称・不確実」になると思います。 - 102 ：99=100：2005/09/05(Mon) 15:34
- お教え頂きありがとうございます。
お礼といっては何ですが、お礼になってないと思いますが、
Fudenberg and Tiroleの略訳のようなものをPowerPointにまとめたものを
紹介させて頂きます。
５章までしかありません。ベイジアンとかないので意味ないでしょうか。
はっきりいってお役に立たなくてすみません。
また、ギボンズを後から読んだので専門用語の訳が自己流です。
すみません。
よろしくおねがいします。
拙ホームページ
http://www.geocities.jp/takizawa_shinichiro/indexj.html
の資料のコーナーの所です。（ついでに宣伝してます）
私も必死ですので叩きはご容赦ください。
経済は素人です。ネットも初心者です。
すみません。よろしくお願いします。 - 103 ：名無しさんの冒険：2005/09/05(Mon) 15:34
- >>101さんの方法でincompleteとuncertainの意味の違いを説明するゲーム理論家はまれだと思う。
自然がいつ行動するかはあまり重要ではない。（いつプレーヤーに観察されるかは重要だけど。）
例えば、自然が複数回行動するいかなる展開形ゲームも、
ゲームフォーム（ツリーと情報集合）を適切に修正することで、
戦略的に同値な、自然が一番最初に一回だけ行動するゲームに書き換えられる。
たとえて言えば、同時手番の標準形ゲームを展開形で表現するとき、
どのプレーヤーをゲームツリーの先頭に置くかはあまり重要ではなく、
後に行動するプレーヤーのノードたちを情報集合で括ってやるほうがよっぽど重要なのと同じこと。
>>99
分析対象とする期間以前の行動（「市場の状態」）を外生とするなら、
どっちの解釈でも違いがないから、どっちでもいいと思う。
内生化したい（「市場の状態」が分析対象となる期間のプレーヤーの行動を読み込んで変わる、とか）なら、
「自然」に任せるのはまずい。 - 104 ：名無しさんの冒険：2005/09/07(Wed) 01:40
- ふむ。私の説明をするゲーム理論家はまれなのか（笑）。
>>101は、Rasmusen の Games and Information (2nd ed.) の定義の丸写し
なんだけどねえ...。いちおう全部、原文どおりに写しておけば、
perfect .. Each information set is a singleton
certain .. Nature does not move after any player moves
symmetric .. No Player has information different from other players
when he moves, or at the end nodes
complete .. Nature does not move first, or her initial move is observed
by every player
となる。Figure 2.5では、uncertain の例として、「市場」の状態によって
利益がゼロか高いか後から決まるようなゲーム（まさに>>99と同じような話だけど）
をあげて、「自然」を別のゲームに付け加えたツリーを示してるけど、
こりゃ「自然」に任せてるからまずいってことになるのかな？？ - 105 ：名無しさんの冒険：2005/09/07(Wed) 01:52
- いや、教科書の邦訳もあるようなラスムセンの説明がまれで>>103さんの解釈が
ふつーなのねえ、って嫌味とか言うつもりはないんだけどね（笑）。まあ私なんて
古い人間ですから（しかもゲームからも遠ざかっていたし）、>>103さんのような
解釈とかする人とか最近は出てきてるんでしょ。よく知らないけど。
まあ、FTスレだからFTの説明に合わせるべきなんだろうだけど、>>99さんに
理解してもらいたいのは、「不完備」は「不確実」とは違って、端的に言えば、
「あるプレイヤーが他のプレイヤーの利得を観察できない状況」と考えればいいです。
これを「ゲームの構造が観察されない」とも言う。「自然」が最初に行動する、と
いう解釈は、あたかも見えない主体がそのような複数のありうる構造のゲームの
うちのどれかを確率的に選択する、といった感じですね。(p.211 Figure 6.3を参照のこと)
>>99のゲームは単に、ゲームをプレイする時点でプレイヤーが将来の状態に関して
確実な情報を持たない、ということでしょう？したがって、「不完備」と「不確実」の
概念は明確に区別されるべきものです。おそらく今後ベイズ均衡の話にうつるので
しょうから、これはかなりきちんと強調されていい。 - 106 ：103：2005/09/08(Thu) 12:46
- ご指摘ありがとうございました。
僕の誤解と偏見だったようで、すみませんｍ（。。）ｍ
1つ確認のための質問をさせてください。
certain/completeの区別は、戦略的な構造を保つ変形に対して不変ではない、と考えていいのでしょうか？
uncertainでcompleteなゲーム
（例えば、99さんのように、利得が最後の「自然」の行動で決まる）を少し変形して、
最初に「自然」が将来の市場の状況すべてを予め決定するよう行動し、
でも、最後の最後までどのプレーヤーもその行動を観察できないようにします。
このゲームはincompleteでcertainと呼べるのでしょうか？
僕自身は、すべての「正統」な概念は戦略的な構造を保つ変形に対して不変でなければならない、と考えてるわけじゃありませんが、
そう考える標準形ゲーム原理主義者たち（Kohlberg-Mertensとか？）もいると思うので、101さん（あるいはラスムセン）の考え方を教えてください。 - 107 ：99：2005/09/08(Thu) 16:11
- すみません。
ホームページ、リンクがつながってませんでした。
もう一つ申し訳ございません。
質問させて頂いた、
「市場の状態は正確にはわからないとします。」
は、市場が変動していて、その変化を正確には観測できない、
という意味のつもりでした。
単純化した場合として、市場の状態は、良い、悪い、の二つの状態です。
したがいましてこのとき、ペイオフはわかっております。
ただ、どちらの状態になっているかを判断できない、という問題設定を考えております。
たびたび申し訳ございません。
いろいろお教えくださいましてありがとうございます。 - 108 ：104：2005/09/09(Fri) 03:26
- 先に>>107に対するレスから。
＞「市場の状態は正確にはわからないとします。」
＞は、市場が変動していて、その変化を正確には観測できない、
＞という意味のつもりでした。
まず単純化のために、一回こっきりのゲームで、以前の市場の状態は
問題ではなく、プレイヤーが投資を行う時点で「将来の」市場の状態が
正確には観察できない、と解釈します。繰り返しゲームは別の話として
考えたいから。 - 109 ：104：2005/09/09(Fri) 03:30
- >>106
いや、謝らなければならないのはこちらの方だったかもしれない。
あらためてラスムセンを読んでみたら、確かにこの定義の方が「まれ」
だという感じがした。また、他の教科書を色々調べたけど、こういう
やり方で定義されているものはなかったな。ま、>>104>>105の茶化した
書き方は、私が古い人間だってことで撤回し伏してお詫びを。ｍ（ ）ｍ - 110 ：104：2005/09/09(Fri) 03:37
- ラスムセンの注釈的な説明はこんな感じ（まずい訳ですまん）。
「この"不確実ゲーム"という言葉はこの本で新しく定義されたものだが、
驚くべきものではないだろう。この定義の困った「癖」は、自然が
最初に手番をとるのを確実ゲームだと認めてしまうことである。なぜならば
それは不完備情報ゲームとして自然がプレイヤーのタイプを最初に選ぶ
ものとみなされるから。しかし、たいていのゲーム理論家はそういう状況を
不確実とはみなさないのである。」
つまり、>>103さんが言っているような自然が最初に手番をとるような
一見「不確実情報」とみなされるような状況はあくまで「確実・不完備」
として分類される、ということ。
ラスムセンは「すべてのプレイヤーがゲームのルールを知っている」と
いうような定義を「古い定義」として退け、このような定義をあえて
提示している。 - 111 ：104：2005/09/09(Fri) 03:56
- さて、それで>>103さんに対する私の答えだが、
＞uncertainでcompleteなゲーム
＞（例えば、99さんのように、利得が最後の「自然」の行動で決まる）を少し変形して、
＞最初に「自然」が将来の市場の状況すべてを予め決定するよう行動し、
＞でも、最後の最後までどのプレーヤーもその行動を観察できないようにします。
＞このゲームはincompleteでcertainと呼べるのでしょうか？
そのように変形したゲームは元のゲームと意味が変わらない、つまり
ゲームの構造が不変だと言えるだろうか？私はそうは思わない。
いま手元にＦＴがないので、ラスムセン（第２版）で申し訳ないが、
pp.46のFigure 2.5のゲームでは、Ｓ（スミス）がまず最初に手番を
とり（ＬorＳ）、次にＪ（ジョーンズ）がＳの行動を観察した後に
手番をとり（ＬorＳ）、最後に二人ともＬを選択した後のみに、
自然が市場の状態を決める（0.2 or 0.8）。このゲームはラスムセンの
定義で「完備・不確実」。
ここで重要なのは、ＳもＪも自然がプライヤー（事前確率）の
(0.2, 0.8)にしたがって状態を決めることを知っているということ。
したがって、ＮＭ効用関数を前提とする限り、二人のプレイヤーは
プライヤーにもとづいて形成された期待効用を最大化するように
行動すればよい。 - 112 ：104：2005/09/09(Fri) 04:06
- では次に、>>103さんがおっしゃるように、このゲームを変形して、
自然が最初の手番をとるように変えてみよう。ＳもＪも自然の行動は
観察できない、ただし元のゲームのようにＪはＳのとった行動は
観察できる。（情報集合を図にして描いてみてください。）
ここで問題は、プレイヤーは自然のとったであろう行動をはたして
単純にプライヤーにしたがって予測するだろうか？ということ。
このような予測は「信念」と呼ばれるけど、少なくともいまＪは
Ｓのとった行動を観察できる、という点に注意。するとＪは
Ｓの行動を条件としたポステリヤー（事後確率）を形成する可能性
がある。少なくともゲームはその可能性を否定できない。もしそうで
あるならば、Ｊは
Ｐｒｏｂ｛市場の状態|Ｓの行動＝Ｌ｝
Ｐｒｏｂ｛市場の状態|Ｓの行動＝Ｓ｝
にしたがって、自分の信念を形成することができるだろう。そして
それらの確率はプライヤー(0.2, 0.8)に等しいという確証はどこにも
ないのである。
そういう訳で、そのような可能性がある限り、このようなゲームは
不完備と呼ばれるはずであり、ラスムセンの定義にしたがえば、それは
普通の意味での「不確実」とは呼べなくなる。ゲームの均衡はたぶん
ベイズ均衡（信念と戦略の組合わせ）を使って描写されるべきだし、
それは不確実情報ゲームとは異なってくる。
だから、このような理由で「不確実」と「不完備」は明確に区別され
なければならないわけです。これが>>99さんに対する私の主張です。 - 113 ：103：2005/09/11(Sun) 07:20
- お返事ありがとうございます。
>>112
でも、Sは、自然の行動を見ずに行動を決定するから、
そのことをJが知っている限り、自然の行動とSの行動が独立であると信じるべきだし、
そのもとで信念を更新しても、ポステリアーを変える必要はない、という議論も成立すると思います。
この議論は、Sがproperly mixed strategyをとっている（off-pathが存在しない）ときは、ベイズの定理から従う事実だし、
そうでない場合も、逐次均衡の定義で使うconsistencyを仮定すれば、そこから導くことができます。
均衡概念の呼称は変わるかもしれないけど、とにかく、僕の示した操作で均衡戦略は不変ですよね。
（細かいことを言えば、off-pathでの信念への制約がとても弱いバーションの完全ベイズ均衡を均衡概念として使うと、
「そうでない場合」以下の議論が成立しなくなって、均衡戦略が不変でなくなる場合がありますが。）
もう少しもってまわった言い方をすると、
いつ、自然が行動を決定したかは、ゲーム理論家（外部観測者）には観察不可能だし、観察する必要もない。
自然の行動のどの部分が、いつ、どのプレーヤーに観察されるのか、が決定的に大事だと思います。
って、103の説明とあんまり変わらないですねｗ - 114 ：99：2005/09/15(Thu) 13:01
- 度々申し訳ございません。
素人な、沢山の質問をしますことをお許しください。
>>103
＞例えば、自然が複数回行動するいかなる展開形ゲームも、
＞ゲームフォーム（ツリーと情報集合）を適切に修正することで、
＞戦略的に同値な、自然が一番最初に一回だけ行動するゲームに書き換えられる。
は不完備ゲーム→不完全ゲームのハルサーニのことでしょうか？
すみません。どこに書いてあるか教えてください。 - 115 ：99：2005/09/15(Thu) 14:04
- すみません。ギボンズとF-Tとウエイブルぐらいしか、目を通した本がございません。
>>106
＞certain/completeの区別は、戦略的な構造を保つ変形に対して不変ではない、と考えていいのでしょうか？
戦略的な構造を保つ変形とは、
http://www.geocities.jp/takizawa_shinichiro/ftbbs/106.pdf
のような変形のことでしょうか？
（とても簡単な例ですみません）
このとき、「何」が不変ではないのでしょうか？ - 116 ：99：2005/09/15(Thu) 14:11
- >>111
ラスムセンを今持っておりませんので、推測ですみません。
Figure 2.5は
http://www.geocities.jp/takizawa_shinichiro/ftbbs/111.pdf
のような図でしょうか？
ペイオフがわかりませんので、図のように勝手に(1,-1)、(-1,1)としました。
このとき、0.2*1 + 0.8*(-1) あるいは 0.2*(-1) + 0.8*1から
各プレイヤーの戦略が決まると思います。
＞では次に、>>103さんがおっしゃるように、このゲームを変形して、
＞自然が最初の手番をとるように変えてみよう。ＳもＪも自然の行動は
＞観察できない、ただし元のゲームのようにＪはＳのとった行動は
＞観察できる。（情報集合を図にして描いてみてください。）
は
http://www.geocities.jp/takizawa_shinichiro/ftbbs/112.pdf
のようになりますでしょうか？
このとき、112さん、113さんのおっしゃっていることは、
http://www.geocities.jp/takizawa_shinichiro/ftbbs/112-113.pdf
ということでしょうか？ - 117 ：99：2005/09/15(Thu) 14:17
- >>113
＞そうでない場合も、逐次均衡の定義で使うconsistencyを仮定すれば、そこから導くことができます。
クレプス=ウイルソンとギボンズp.179にありましたが、何を読めばよろしいでしょうか？
＞均衡概念の呼称は変わるかもしれないけど、とにかく、僕の示した操作で均衡戦略は不変ですよね。
もし均衡経路以外が存在するなら、サブゲームパーフェクト→ベイジアンではないでしょうか？
＞（細かいことを言えば、off-pathでの信念への制約がとても弱いバーションの完全ベイズ均衡を均衡概念として使うと、
＞「そうでない場合」以下の議論が成立しなくなって、均衡戦略が不変でなくなる場合がありますが。）
ギボンズp.180条件4のことでしょうか？
>>111の問いは、均衡経路以外が不明だからなんともいえない、ということでしょうか？
すみません。あまりよく分かっておりませんがなにとぞよろしくお願い致します。 - 118 ：103：2005/09/15(Thu) 14:28
- >>114
harsanyi (1967-1968)でもいいのですが、
ハルサニは基本的に標準形ゲーム（あるいは、展開形を標準形に変形した後のゲーム）を扱っているので、
それよりもむしろkreps and wilson (1982, econometrica)の定義を見るほうがいいと思います。
クレプス・ウィルソンでは、initial nodesの集合 W 上の initial assessment ρ^i を（ハルサニ・ドクトリン下で）自然の行動と解釈しますが、
868ページの11-12行目の括弧にあるように、
自然の行動を一番最初に置くのは``notational convenience''にすぎないという立場です。
ただし、osborne and rubinsteinの教科書（11章）の定義では、自然はどこでも動けます。
また、特にプレーヤーがmaxmin基準に従う場合は、
どのようにゲームツリーを描くか(framing effect)が重要だという話も載っています。
fudenberg and tiroleの教科書は、このような細かい話を見るには不向きかと思います。
まあ、まずは104さん(>>112)の変形を理解してください。
標準形が変わらない変形を施してくださいね。 - 119 ：103：2005/09/15(Thu) 14:34
- >>116
112.pdfは間違いです。
ジョーンズさんの手番は、スミスさんの手は知ってますが、
自然の手はまだ知りません。
>>113で「そうでない場合」とは、112-113.pdfで分母がゼロの場合です。 - 120 ：103：2005/09/15(Thu) 14:40
- >>115
これだと、>>104さん（ラスムセン）の定義によると、
どちらもimperfect, certain, symmetric, completeですね。
certain/completeの区別が不変でない例は>>111-112にあります。 - 121 ：103：2005/09/15(Thu) 14:52
- >>117
＞＞そうでない場合も、逐次均衡の定義で使うconsistencyを仮定すれば、そこから導くことができます。
＞クレプス=ウイルソンとギボンズp.179にありましたが、何を読めばよろしいでしょうか？
逐次均衡を理解していればすぐ分かるはずだけど。。。
読むとしたら、クレプス・ウィルソンかフューデンバーグ・ティロールかなぁ。
＞もし均衡経路以外が存在するなら、サブゲームパーフェクト→ベイジアンではないでしょうか？
ですね。
まあ、この場合、部分ゲーム完全均衡はいろいろと不適切なので、
ベイズ均衡か逐次均衡（≒完全ベイズ均衡の強いバージョン）を使ってみてください。
ゲームの変形に対して均衡は不変ですよね。
＞＞（細かいことを言えば、off-pathでの信念への制約がとても弱いバーションの完全ベイズ均衡を均衡概念として使うと、
＞＞「そうでない場合」以下の議論が成立しなくなって、均衡戦略が不変でなくなる場合がありますが。）
＞ギボンズp.180条件4のことでしょうか？
手元にギボンズがないから自信ないけど、きっとそれです。頼りなくてスマソ。
＞>>111の問いは、均衡経路以外が不明だからなんともいえない、ということでしょうか？
僕の主張は「（均衡経路以外も逐次均衡の考え方で精緻化を施すことによって）
uncertain/incompleteの変換に対して均衡戦略は不変だ」です。 - 122 ：104：2005/09/16(Fri) 00:22
- >>103さん、返事遅れてすみませんｍ（ ）ｍ
上から一通り読みました。ええ、おっしゃっている意味は理解しています。
>>99さんが図にしていただいた
http://www.geocities.jp/takizawa_shinichiro/ftbbs/111.pdf
（利得の部分だけ違いますがここでは問題ではありません）
のゲームを
http://www.geocities.jp/takizawa_shinichiro/ftbbs/112.pdf
（ただ、こちらはジョーンズの情報集合が抜けています。ジョーンズも
自然を観察できないという仮定でないと同じセッティングにならない）
した結果、元のゲームのＳＰＥが（Ｌ，Ｌ）（どちらもＬを選ぶ）のに
大して、>>103がおっしゃるように「Ｓがプライヤーに等しい信念を
作り、そのことをＪが知りうる」という条件の下では確かにＰＢＥ
（と呼べるかどうかが問題ですが）のon-path戦略は（Ｌ，Ｌ）。
したがって、私のゲームの変換によっても「結果的に」均衡経路は
不変なように見えます。 - 123 ：104：2005/09/16(Fri) 00:32
- しかし、私はなお次の２点に関して疑問を感じます。
ます、>>103さんのお考えではゲームの形を変えた場合、
「精緻化によって均衡戦略が不変であればそれらのゲームは
構造として同値だ」というお考えのように見えます。
そのようにゲームの構造を定義されているのでしょうか？
確かに今のラスムセンのゲームでは、プレイヤーＳもプレイヤーＪも
自然を観察できない（対称情報）となっており、かつＳと自然の
間にいかなるプレイヤーの手番も存在しないことから、Ｓは自然の
状態をプライヤーで考え、Ｊは結果的にＳの行動が何の信念の更新も
もたらさないことからプライヤーにしたがって行動していることになる。
ところが、それはそのような構造のゲームだからそうだろう、という
お話であって、形式的にはあくまでＪはプライヤーではなく、
Ｓの行動を条件とするポステリアーにしたがっていると定式化すべき
ではないでしょうか？>>112で指摘したように、たまたまこのゲーム
ではそれらが一致しているだけですから。
（Ｓがプライヤー(0.2, 0.8)以外の信念を持った場合、整合的な
ＰＢＥが存在しないか考えて見ました。ただ、この場合、Ｓが
条件となるものを観察できないので、ベイズ・ルールが適用できるか
疑問ですね。） - 124 ：104：2005/09/16(Fri) 00:50
- 第２点として、「実現した均衡戦略が同じでも定式化がまるで
違うじゃないか」って同じ疑問なんですが、均衡戦略の定式化に
ついてです。
私が変換したゲームでは（ラスムセンの定義では）不完備情報ゲーム
となりますから、Ｊがベイズ・ルールにしたがうようなＰＢＥを
考えることが可能です。実はこの場合Ｓは純粋戦略をとるので、
均衡経路にはoff-pathが存在します。実際、ＰＢＥは、
Ｓの戦略＝Ｌ
Ｊの戦略＝ＳがＬならばＬ、ＳがＳならばＳ
Ｊの信念＝Ｐｒｏｂ｛自然の状態＝0.2｜ＳがＬをとる｝
＝Ｐｒｏｂ｛自然の状態＝0.2｜ＳがＳをとる｝
＝0.2 （＝Ｐｒｏｂ｛自然の状態＝0.2｝（プライヤー））
となると思います。これに対して元のゲームのＳＰＥは、
Ｓの戦略＝Ｌ
Ｊの戦略＝ＳがＬならばＬ、ＳがＳならばＳ
ところが、まさにここで>>103さんがおっしゃるようなoff-pathへの
配慮が必要となるでしょう。ＳがＳをとる場合がoff-pathですから、
ＪはＳから少しだけ逸脱してＳを（１－ε）、Ｌをεとったとしても
均衡は維持されます。（このあたりの精緻化のお話は>>103さんの方が
ご存知ですよね。）したがって、弱い概念を使えば均衡戦略はユニーク
ではなくなります。
さて、これが私の疑問ですが、こんなふうに均衡概念を少し変えれば
均衡集合が変化するような後のゲームが元のゲームと同値と言えるので
しょうか？あるいは逆に「均衡集合が不変ならばゲームの構造は同値」
とするならば、その均衡概念をかなり制約しなければならないのでは
ないでしょうか？ところがその制約の基準などありません。ある均衡概念
では同値、そうでなければ同値ではない、こうなりますよね？ - 125 ：104：2005/09/16(Fri) 00:56
- しかもこのように変わりうる均衡集合は利得ディペンデントと言えます
から、今のラスムセンのゲームでは「均衡概念にこういう制約を与えれば
同値」とは言えても別の構造・利得を持つゲームではそうは言えないかも
しれません。
せいぜい>>103さんが主張できると思えるのは、
・プレイヤーが有限であり対称情報（全員自然を観察できない）
・最初のプレイヤーの手番と自然プレイヤーの手番が継続している
・off-pathで何か強い制約があって元のＳＰＥと同じ均衡戦略が存在する
という条件を満たすような、自然が最初に来るように変形させた
「不完備情報ゲーム」は元の「不確実情報ゲーム」と均衡集合に
関して同じ意味を持つ。
ぐらいなのではないかな、と思いますが。 - 126 ：104：2005/09/16(Fri) 01:04
- ちなみに、ラスムセンの元のゲーム（不確実情報）の利得は
次のようになっています。
Ｓｍｉｔｈ（Ｓ）がＬａｒｇｅをとりＪｏｎｅｓ（Ｊ1）がＬａｒｇｅを
とった場合、Ｎａｔｕｒｅ（Ｎ）が0.2か0.8をそれらの確率で選ぶ。
0.2をとったら利得は（Ｓ＝１０，Ｊ＝１０）、0.8をとったら（０，０）。
ＳがＬａｒｇｅをとりＪ1がＳｍａｌｌをとった場合、利得は（－１，－１）。
ＳがＳｍａｌｌをとりＪｏｎｅｓ（Ｊ2）がＬａｒｇｅをとった場合、
利得は（－１，－１）。
ＳがＳｍａｌｌをとりＪ2がＳｍａｌｌをとった場合、利得は（１，１）。
>>99さん、できればまたPDFに描いてもらえませんでしょうか？
非常に助かります。（というか、その労力に感動～（笑）。） - 127 ：104：2005/09/16(Fri) 01:11
- >>125
＞・off-pathで何か強い制約があって元のＳＰＥと同じ均衡戦略が存在する
は「同じ一意的な均衡戦略が存在する」でした。かなり強い制約のように
見えるのですが・・。 - 128 ：103：2005/09/16(Fri) 02:26
- 結構続きますね～。もう少しお付き合いをお願いします。
「ゲームの構造」は未定義でしたね。
広くは「現実をゲームによってモデル化するときにrelevantな要素」と、とりあえず曖昧に定義しておきます。
狭くは、標準形表現や均衡アウトカムを保つ変形に対して不変なもの、です。
以下、テクニカルな議論です。
>>123
特殊例のようにおっしゃいますが、
今議論になっている操作（自然のノードの場所をいじること）は、
どのような展開形ゲームにおいても成立します。
均衡概念として標準形準拠の概念（ナッシュ、trembling perfectなど）や逐次均衡を使った場合ですが。
>>125での対称情報などの仮定は不要であり、
「off-pathで何か強い制約」は例えばconsistencyですね。（>>127での一意性は不要です。）
みなさん、ゲーム理論家以外の人も、逐次均衡を使うことは概ね同意済みだと思います。
>>124
弱い意味のPBE（off-pathの信念に制約を全く置かないPBE）で議論が成立しないのは、
そこに「ゲームの構造」の変化があるのではなく、均衡概念に不備があるせいだと解釈したいです。
（この解釈下でこそ、強い意味のPBEを定義しようという動きが動機付けられます。） - 129 ：103：2005/09/16(Fri) 02:40
- 少し、現実との関係について議論を戻します。
>>124での議論は、たしかに弱いPBEのもとでは成立しますが、
Jが信念を変えることは、それほど自然でしょうか？
この議論を一般の経済学者に語る場合に、説得的な理由を提示できるでしょうか？
信念を変えないことの積極的な理由は、
>>113に書いたように、Jは「Sが自然の手を観察できない」と信じているからです。
Sの手がどのようにトレンブリングするかも自然の手には依存しない、と書き直してもかまいません。
Sのミスが、本人自身に観察できない要素に依存する説得的な理由をもっていますか？
最後ですが、もし弱い均衡概念を使ったとして、もし、均衡が自然が行動する位置に依存するとして、
ゲーム理論家は、よく似たゲームツリーの間からどれを選ぶのが適切なのでしょうか？
「自然の行動」という概念自体は仮想的なものにすぎないので、
例えば「物理的な時間に従って現実に行動する順にゲームツリーを描く」という方針は意味不明です。
ある現実の状況をゲーム化したいと思った場合に、
incompleteではなくuncertain（あるいは逆）のゲームを使うべきだ、と主張できるのはどのような場合でしょうか？ - 130 ：103：2005/09/16(Fri) 02:43
- 訂正>>129
× 最後ですが、もし弱い均衡概念を使ったとして
○ 最後ですが、もし弱いPBEを均衡概念として使ったとして - 131 ：99：2005/09/20(Tue) 13:14
- >>103
すみません。おっしゃるとおりでした。
もう一度書き直します。
いろいろありがとうございます。とても勉強になります。
また、話題を変えて申し訳ございませんが、F-T輪読を本当にしませんか？
私は、６章までは（演習問題は飛ばしましたが）理解できているつもりです。
そこで、できましたら、７章を担当させていただきたいのですが・・・。
（制度設計に興味の無い読者は７章は飛ばせとか、忙しいなら３節までにしろとか書いてありますが（笑））
でしゃばりまして、また、勝手なことを申して申し訳ございません。
２ちゃんねるのように、著作権問題が発生すると困りますので、皆さん、自分のホームページ（仮のものでも）に貼り付けるというのはどうでしょうか。
すみません。ルールとか、慣行をよくわかっておりません。
よろしくお願い申し上げます。
参加者募集。
また、勉強会とか、あるいはネットなど、参加できるものご存知ありませんでしょうか？ - 132 ：99：2005/09/22(Thu) 14:20
- 130まで読んでようやく皆さんが何を議論していたのか理解しました。
態度悪くて申し訳ございません。
今、個人的にいろいろありまして。
教えてくださって誠にありがとうございます。
>>121
＞読むとしたら、クレプス・ウィルソンかフューデンバーグ・ティロールかなぁ。
すみません。F-Tに載ってました。p.337,8.3.2 Sequential Equilibrium からですね。
申し訳ございません。大馬鹿ですみません。お恥ずかしいです。
>>119
目一杯間違えておりました。直しました。すみません。
http://www.geocities.jp/takizawa_shinichiro/ftbbs/strategic1.pdf
http://www.geocities.jp/takizawa_shinichiro/ftbbs/strategic2.pdf
http://www.geocities.jp/takizawa_shinichiro/ftbbs/standard.pdf
変形前、変形後の戦略系、および標準形です。
皆さんの議論の意味がわかりました。
年取ると、誰も馬鹿だって言ってくれなくなりますね。
お恥ずかしいので、間違えていたpdfは全部消しました。
８章にかいてある議論だったのですね。pp.325～326あたり。
ちゃんと読みます。すみません。
恥ずかしいので言い分けさせてください。
F-Tを読んだのはおととしでして。線引いて書き込みしてありましたが、自分でもすっかり忘れております。
眺めてただけでしたので。
今読み直してみて、改めて、理解が深まりました。
誠にありがとうございます。 - 133 ：99：2005/09/26(Mon) 14:16
- 何度もすみません。
ようやく問題を理解しました。
標準形は変わらないが、
展開形はラスムッセンの定義に従うと、不確実→不完備になっている。
このとき信念pと(1-p)およびp'と(1-p')がどうなるか、という議論ですね。
http://www.geocities.jp/takizawa_shinichiro/ftbbs/strategic22.pdf
（信念を追加した図）
教えて頂いておりましたようで、誠にありがとうございます。
さすが専門の方はすごいですね。
ようやく問題を理解しました。
PBEしかわからないので、まだ議論に参加できません。
ただ直感的には、103さんのおっしゃるように、自然は完全な独立事象だから、
例えばペイオフを
(10,10)*0.2
(-1,-1)*0.2
(1,1)*0.2
(-1,-1)*0.2
...
etc
という単純な置き換えが成立するのではないでしょうか、と思っているところです。
すみません。早いところ、該当部分を読みます。 - 134 ：104：2005/09/29(Thu) 10:59
- >>103さん、104です。長い間レス返さなくてすみません。
ちょっと本業で忙しいものですから、簡単にコメントだけします。
私の論点は、「オリジナルゲーム（ラスムセン定義の完備・不確実）
では、サブゲーム完全均衡によって均衡は一意。しかし、自然の
手番を変えたゲーム（不完備・確実）では弱いＰＢＥのもとで
均衡は一意でなくなる可能性がある。そこでオリジナルゲームと
同じ結果を一意的な均衡にするにはより強い均衡が必要となるが、
そのように均衡概念を任意に変えることでしか均衡結果の同一性が
見られないような２つのゲームは同義と言えるだろうか？」でした。
＞「自然の行動」という概念自体は仮想的なものにすぎないので、
＞例えば「物理的な時間に従って現実に行動する順にゲームツリーを描く」という方針は意味不明です。
その上で、もうひとつ追加ですが、私は単にプレイヤーの手番を
変えることすなわちゲームが同義ではない、と主張しているのでは
ありません。以前おっしゃったように、同時手番の標準形ゲームは
逐次手番の展開形ゲームに変形できます。「同義でない可能性がある」
と私が限定したいのは「自然が最初に位置するか否か」という点に
関してのみであり、なぜならば、それが変形されると各プレイヤーの
持つ「信念」をどのように考えるかが問題となり、それはまさに
「不完備情報ゲーム」の持つ特徴を考えなければならなくなる、と
考えるからです。
＞ある現実の状況をゲーム化したいと思った場合に、
＞incompleteではなくuncertain（あるいは逆）のゲームを使うべきだ、
＞と主張できるのはどのような場合でしょうか？
ちょっとトートロジックになりますが、上で申し上げたとおり、
プレイヤーの「信念」がゲームの結果にかかわる場合です。
最初の>>99さんの市場の予測、という話は、したがって、
信念が問題になるゲームとは私には思えません。 - 135 ：104：2005/09/29(Thu) 11:02
- >>99さん、いつもご苦労さまです。
よかったらご苦労ついでに、上の例の変形後のゲームの
「弱いＰＢＥ（ベイズ・ルールが使えない場合は任意の信念が可）」
を計算してもらえませんか？
あと、オリジナルゲームのナッシュもよろしくお願いします。 - 136 ：99：2005/09/29(Thu) 13:23
- いつも誠にありがとうございます。
いきなり話の腰をへし折って申し訳ございません。
すみません。今、式の導出ができなくて、同じ式で丸２日も悩んでおります。
もうしばらく考え込んでおります。
本当にお恥ずかしいですが、
F-T、p.335本文、下から２行目、
タイプc^は1-(1-c~)=c~を得る。
がどうしてもわかりません。
２期目にcontributeしないなら、２期目のペイオフはコストと無関係。
１期目に両者がcontributeしたら、タイプc~は２期目にcontributeする/しないが無差別。
まではわかるのですが、
それがなんで、
だから、タイプc^は相手がc^以下なら、１期目に高コストとシグナルを送ることで（＝１期目にcontributeしないということですよね？）
1-(1-c~)=c~を得る。
となるのかがわかりません。
タイプc~は両者が１期目にcontributeしたときに出てくる閾値です。
１期目に高コストとシグナルを送る＝１期目は多くとも一方しかcontributeしない、
ということだと思うのですが。
本当にすみません。
どなたか教えてください。よろしくお願い申し上げます。
申し訳ございません。
というわけでして、まだ議論に参加できません。すみません。 - 137 ：103：2005/09/30(Fri) 01:07
- >>136
タイプ ci = c^ の1期目の選択を考えましょう。
基本的には1期間モデルと同じですが、
たまに、1期目の選択が2期目の行動に影響を与えるときがあります。
それは相手が1期目に寄付する場合（cj >= c^）なので、その場合だけ考えましょう。
A. 1期目に寄付すると、2期目はboth players contributedの状態になる。
このとき、条件付確率 c~ = (P(c^)-P(c~))/P(c^) で相手は寄付しない。(8.8式)
B. 1期目に寄付しないと、2期目はonly one player contributedの状態になる。
このとき、相手は必ず寄付してくれる。
つまり、1期目にBの選択肢を選ぶことで、2期目の均衡戦略のカテゴリーが変化し、2期目に少し得します。
で、得する確率は c~ だ、ということです。 - 138 ：103：2005/09/30(Fri) 01:43
- >>134
お忙しいところ付き合っていただいて光栄です。
さて、まず均衡の一意性は本質的ではないと思います。
部分ゲーム完全均衡の一意性は、
有限ゲーム＋完全情報＋generic payoff（どの2つのアウトカムもどのプレーヤーにとって無差別でない）
という条件下で成立する性質で、この条件は非常に制約的です。
弱/強いPBEや「自然の手番の移動」という、本来あらゆる展開形ゲームで考えられる現象を論じるときに、
このような制約的なゲームにおける振る舞いを基準に議論するのは不自然です。
次に>>128でも書きましたが、現在の標準的な均衡概念は逐次均衡です。
「均衡概念を任意に変え」ているわけではありません。
弱いPBEは学習上の1ステップとして今も教えられているだけで、ゲーム理論上重要な概念ではありません。
弱いPBEに拘るならば、それをサポートする積極的な理由を聞かせてください。（>>129前半の繰り返しですみません。）
＞＞ある現実の状況をゲーム化したいと思った場合に、
＞＞incompleteではなくuncertain（あるいは逆）のゲームを使うべきだ、
＞＞と主張できるのはどのような場合でしょうか？
＞
＞ちょっとトートロジックになりますが、上で申し上げたとおり、
＞プレイヤーの「信念」がゲームの結果にかかわる場合です。
そのとき、どっちの定式化が望ましいんでしょうか？
自然がどこで動いたかは、どうやって定めればいいのでしょうか？
均衡が一意的かどうかは、上で書いた理由により、定式化選択の基準とすべきではありません。 - 139 ：99：2005/10/03(Mon) 12:41
- >>137
お教え誠にありがとうございます。
よく読んで勉強しなおします。
本当にありがとうございます。
まだ解けておりませんでした。 - 140 ：99：2005/10/03(Mon) 13:02
- >>135
あまり話し（書き）ますとよくわかっていないということがばれそうで冷や冷やしております。
シンプルなのに難しい問題ですね。
誠に申し訳ございませんがなにとぞよろしくお願い致します。
変形前のナッシュは標準形の図より、
(L,(L,L)),(L,(L,S)),(S,(S,S))。
質問：
すみません。
自然が０．８の時には(S,(L,S))はナッシュですが、０．２のときには違います。
これは(L,(L,S))を、
(10,10)*0.2+(0,0)*0.8=(2,2)
と考え、その結果(S,(L,S))はナッシュではないとするのでしょうか。
ただ、F-Tではこの問題とまったく同じ問いはないと思います
（私はexcerciseはまったくやっておりません）
F-Tだとこの問の標準形は、６章（図６．１、６．２，６．３）ベイズ均衡とか、８章（図８．５）でしょうか。
で、SPEは(L,(L,S))となります。
>>112
F-T p.340
consistencyは、均衡経路以外のときに同じ信念を抱くと仮定すると、均衡の数を減らす、とあります。
>>113
εを仮定すれば、Sも均衡経路だからということですよね。
でも、ε→0(n→∞)の極限で不連続となる例は、F-T p.342（あるいはその元の例である労働市場のシグナリング）でしょうか。
このときに、trembling handで均衡経路以外も維持されるということですよね。
>>135
均衡経路以外、すなわち、スミスがSをとったとき、PBEなら(L,(L,S))です。
弱いPBEなら(L,(L,L))も均衡でしょうか？
F-T p.346 Theorem 8.2
３期以上あると、SEとPBEは一致しない可能性がある？
>>113
強いバージョンの完全ベイズ均衡、とは、PBEの精緻化、F-T p.348のことでしょうか？
SEは極限とかハウスドルフ空間のような（？）話で、
trembling handはε-δ論法のようなイメージですね。
今のところ、このあたりまで理解できたかな、というところです。
今一度よく読みます。まだ理解しきれておりません。
誠にありがとうございます。
お教えくださいましてありがとうございます。 - 141 ：99：2005/10/06(Thu) 12:43
- お忙しいところいつもお教え頂きまして誠にありがとうございます。
本当に申し訳ございません。
>>137
お教え誠にありがとうございます。深く感謝しております。
(8.10)式の右辺は（確率*ペイオフ で表しております）、
（自分が寄付しないときの利益）ー（自分が寄付するときの利益）
＝( 1 - (1-c^) ) - δ * P(c^) * ( 1*1 - 1*(1-c~) )
これは、すなわち機会コストという理解でよろしいのでしょうか。
すみません。そのあとまた一日ほど考え込んでいたのですが、
今度は、それに対応します、(8.10)式、左辺の意味がわかりません。
本当に申し訳ございません。
ふざけているわけではございませんが、
また、聞いているだけで本当に申し訳ございませんが、
どなたかお教えください。
相手が寄付しない場合の、自分の寄付する/しないの行動のペイオフの変化量が、
右辺と無差別になるのでしょうか？
お恥ずかしいですが、私は頭の回転が遅いものでして、
答えを教わりましたのに、理解するのに一日かかっております。
なにとぞよろしくお願い申し上げます。 - 142 ：103：2005/10/07(Fri) 09:29
- >>141
(8.10)のδP(c^)c~以外の項は、第1期目の利得から決まってくる。
寄付した場合、1-P(c^)の確率で自分だけが寄付し、
もし自分も寄付しなかった場合に比べて1だけ利得が増える。
その一方で、確実に（確率1で）コストc^がかかる。
>>140
＞consistencyは、均衡経路以外のときに同じ信念を抱くと仮定すると、均衡の数を減らす、とあります。
それはプレーヤーが3人以上の場合に問題になってくる論点で、今回は関係ありません。
＞でも、ε→0(n→∞)の極限で不連続となる例は、F-T p.342（あるいはその元の例である労働市場のシグナリング）でしょうか。
FTは均衡のプライヤーに対する不連続性を議論しているのであって、これも今回の論点じゃないと思います。
＞F-T p.346 Theorem 8.2
＞３期以上あると、SEとPBEは一致しない可能性がある？
あります。ところで、この定理で使われているPBEも、幾分強めの定義になってます。p332を読んでください。
＞強いバージョンの完全ベイズ均衡、とは、PBEの精緻化、F-T p.348のことでしょうか？
そんなに強くしなくても、p332のB(ii)の議論を自然とSの間にも適用できるとするならば、それで十分ですよ。
（Sが変な行動をとったとしても、自然とは独立なので、自然への信念の置き方は変えない。） - 143 ：99：2005/10/11(Tue) 12:58
- >>142
お忙しいところいつも誠にありがとうございます。
もう一度よく読みなおして参ります。
勉強不足でして、本当に申し訳ございません。
いつもご指導くださいまして誠にありがとうございます。 - 144 ：99：2005/10/13(Thu) 14:12
- いつも大変お世話になっております。
お忙しい所、誠にありがとうございます。
何度も質問し考えております間に問題が何かを忘れておりました。
こだわって大変申し訳ございませんが、F-T p.335(8.10)式の説明だけで
約1ページ費やされておりますので悩んでしまいました。
F-T p.335はそもそも、(8.9)式が、(自分、相手)としたとき、
(する、しない) + (する、する) = (しない、する) + (しない、しない)
が無差別、というお話でした(すなわち、自分が寄付する/しないが無差別)。
(8.10)は機会コストという観点から、
(する、しない) -(しない、しない) = (しない、する) - (する、する)
とまとめなおした、ということでよろしいのでしょうか。
何度も申し訳ございません。
考えているうちに、元の式に戻ってしまいました。
ただ、(8.10)式にもstraightforwardな意味がある、
とかかれておりますので、悩みました。 - 145 ：99：2005/10/13(Thu) 14:21
- 本来の目的から外れて、私は、おかげさまで８章を読むことができました。
誠にありがとうございます。
本当に、お世話になっているだけで、全くお役に立っておりませんで申し訳ございませんが、
もう一箇所だけわかりませんでした。どうかお教えください。
自分でも考えます。
F-T p.349 Correlated Types がわかりません。
自分なりにファイルのように解釈いたしましたが、矛盾が生じてしまい困っております。
お忙しいところ誠に申し訳ございませんが、教わっているだけで誠に心苦しいのですが、
なにとぞよろしくお願い申し上げます。
http://www.geocities.jp/takizawa_shinichiro/ftbbs/chap8.pdf
また、最初に出して頂いた、ナッシュを考えよという問題ですが、F-Tとギボンズしか手元にありませんでして悩んでおります。
プレイヤーが、人間２人と自然のときも、３人プレイヤーとするのでしょうか？それでは、３人目がナッシュを選択するのは変だと思いますので、
やはり、２人プレイヤーの表記になると思うのですが、自然の選択はどう取り入れるのでしょうか。
すみません。そのような例が見当たらずわかりません。
今度自分で探しに参ります。申し訳ございません。やはり、ギンティス？とか、問題集を沢山解かないと無理なのでしょうか？
どうぞよろしくお願い申し上げます。 - 146 ：103：2005/10/15(Sat) 14:02
- 質問１．
タイプはプレーヤーが選ぶものじゃない。自然から与えられるもの。
例えば、費用関数の形に2種類（高コストvs低コスト）あったとして、
自社が高コストであると知ってるときに、他社の費用関数に関する予想が、
自社が低コストであると知ってるときの予想と食い違っていた場合、タイプが独立でないと言える。
例えば、高コストの原因が両企業共通の原因（石油価格の高騰とか）だった場合、
自社が高コストならば他社もより高い確率で高コストであろうと予想するのが自然。
質問２は完全に正しい。
質問３は、「矛盾するような気がいたします」の意味が分からない。別に矛盾しないと思うよ。
ρとρ^は共に確率（非負かつ足して1となるもの）で、それぞれに対して期待値オペレータE_ρ, E_ρ^が定義できる。
展開形ゲームを標準形に直すとき、不満かもしれないけど、
2人ゲームにして、自然の行動は明示的には表さないようにすればいいのでは？
自然の戦略を固定すると、人間2人の戦略の組に対して、ターミナルノード上の分布がひとつ定まるから、
その分布で計算した期待効用の値を利得行列に書き込むってことです。 - 147 ：99：2005/10/19(Wed) 14:17
- いつも本当にありがとうございます。
F-Tを完全に理解していらっしゃって本当にすごいと思います。
それだけ理解できている本が私にはあるかと聞かれましたら、全く自信がありません。
もっとがんばります。
>>146タイプはプレーヤーが選ぶものじゃない。自然から与えられるもの。
はい、気をつけます。申し訳ございません。
>>146例えば、高コストの原因が両企業共通の原因（石油価格の高騰とか）だった場合、
とてもよくわかる例をありがとうございます。
>>146「矛盾するような気がいたします」の意味が分からない。別に矛盾しないと思うよ。
>>ρとρ^は共に確率（非負かつ足して1となるもの）で、
確認をお願い致します。
変換後、ρ^の元では、全てのパターンのとりえる確率は等しくなりますでしょうか。
(拙例では1/nとなります)
(一箇所表記ミスしておりました。すみません。)
>>142そんなに強くしなくても、
すみません。しっかり確かめました。自然自体のタイプはないですので、
自然の選択0.2 or 0.8だけですので、F-T p.348は不適切でした。
ようやくおかげさまで理解できました。
http://www.geocities.jp/takizawa_shinichiro/ftbbs/Re112.pdf
となります。 - 148 ：99：2005/10/19(Wed) 14:29
- いつも大変お世話になっております。99です。
誠にありがとうございます。
お願いがございます。
誠に厚かましくて、大変恐縮ではございますが、ぜひ、今後とも、
ご指導や勉強会を賜りたいと存じます。
103さん、104さん、ぜひ、ご連絡ください。
なにとぞよろしくお願い申し上げます。
とても研究されていて、また、熱心でいらっしゃると思いました。
いろいろ懇切丁寧に教えてくださいまして誠にありがとうございます。
このような場合どのようにすべきか、と申しますか、失礼や非常識にならないかと心配ですが、
お願い申し上げます。
私は、社会経験も研究能力も極めて不十分な人間で、いろいろ不快感をお持ちになられたかもしれません。
申し訳ございません。
どうか、なにとぞよろしくお願い申し上げます。
フリーメールでも何でも結構です。お待ちしております。
勉強や研究、ご指導などを仰げましたら、幸甚に存じます。
今後とも、何卒よろしくお願い申し上げます。 - 149 ：103：2005/10/20(Thu) 04:01
- >変換後、ρ^の元では、全てのパターンのとりえる確率は等しくなりますでしょうか。
>(拙例では1/nとなります)
それでいいと思います。で、独立でない分布ρを独立（一様）分布ρ^に変換したわけです。 - 150 ：99：2005/10/31(Mon) 13:46
- ラスムッセン（日本語版）p.54～p.79までをコピーしてきて読みました。
おっしゃった議論、>>112をようやく理解いたしました。
２．５ベイズゲームとハサーニ変換
図２．７および、ベイズルールによる信念の更新
のお話ですよね。
１０４さん、ご迷惑をおかけしませんよう十分注意致しますので、
ご連絡を頂けませんでしょうか。
今後ともぜひなにとぞよろしくお願い申し上げます。
あまり（全く）レベルが高くないですが、論文を書きたいと考えております。
勉強不足で自力では判断がつきません。申し訳ございません。
どうか、ご助言、ご指導をお願い申し上げます。
よろしくお願い致します。 - 151 ：99：2005/11/15(Tue) 15:17
- >>104さんへ
大変遅くなりまして申し訳ございません。
標準形の図を直しました。
http://www.geocities.jp/takizawa_shinichiro/ftbbs/standard.pdf
あらためて、
変形前のナッシュは標準形の図より、
(L,(L,L)),(L,(L,S)),(S,(S,S))
だと思います。
大変お世話になります。
もしよろしければご連絡ください。
また、金融板質問箱でも、わからないことを質問させて頂いております。
いつも教わっているだけで申し訳ございませんが、
お忙しいところ申し訳ございませんが、
ご指導ください。よろしくお願い申し上げます。
http://www.geocities.jp/takizawa_shinichiro/ftbbs/kinyuu.pdf
すみません。勝手にageます。
皆様お許しください。 - 152 ：猿おじ内相：2005/11/15(Tue) 15:47
- ちゃんと解答集を使って練習問題をとかんといかんのでは？レジュメにまとめても
無駄だと思うのは僕だけかな？ - 153 ：名無しさんの冒険：2005/11/15(Tue) 19:00
- >>151
丁寧なのはいいのだけど、あまりに恐縮していてそれが逆に鬱陶しいかな。 - 154 ：99：2005/11/17(Thu) 13:21
- >>152
ありがとうございます。解答集は、たぶん、ネット上にあるのですよね。
今度検索してみます。
>>153
はい、すみません。
ただ、人間関係が下手でして、失敗ばかりしておりますので。
それに、いつもお世話になってばかりで、他の方のお役に立ったことが
ございませんので、やはり、恐縮いたします。
匿名で、200F-Tとか、
20***@yahoo.co.jp
とかいうメールでも結構ですので、
ご連絡くださると、とても嬉しいです。
何卒よろしくお願い申し上げます。 - 155 ：名無しさんの冒険：2005/11/24(Thu) 13:28
- 自爆してすみません。どなたかお助けください。
F-T、p.264
We noted that...
以下４行が矛盾しているように思いました。
①A3、A6より、IRがθ_のときのみ満たされる。
②Furthermore、トランスファーはプリンシパルにとってコストだから、
θ_のときのみ束縛条件。
これですと、①も束縛条件になってしまいませんでしょうか？
留保効用よりも大きい効用を得られるのは、常に成立することだと思うのですが、
文章の意味がわかりません。すみません。
重箱の隅をつついているようで申し訳ございません。
この二つの文章は同じことを言っていると思うのですが、
Furthermoreの意味がなくなるので、わけがわかりません。
なにとぞよろしくお願い申し上げます。 - 156 ：名無しさんの冒険：2005/11/30(Wed) 01:40
- ①の言っていることは、
「IRがθ_のときのみ満たされていれば十分で、
他のθについてのIRはリダンダントで、満たされているかどうかチェックする必要がない。」
ということ。
②の言っていることは、
「θ_のときのIRは不等号ではなく等号で成り立つとしてよい。」
ということ。①と全く違うことを言ってるはずだけど。。。
>留保効用よりも大きい効用を得られるのは、常に成立することだと思うのですが、
常には成り立たない。
t(θ)が極端に小さい（負の）値の場合、留保効用を下回ることがある。 - 157 ：名無しさんの冒険：2005/12/01(Thu) 13:16
- >>156
お教えくださいまして誠にありがとうございます。
いつもお世話になっているだけで誠に申し訳ございません。 - 158 ：名無しさんの冒険：2005/12/12(Mon) 15:03
- 保守age
誠に申し訳ございません。 - 159 ：名無しさんの冒険：2005/12/16(Fri) 10:20
- 小島寛之さんの『使える！確率的思考』のｐ．１６９にある
「働きアリ・怠けアリゲーム」についてもっと知りたいのですが、
適当な本か論文を教えて下さい。
Ｆ－Ｔとは関係ないのですが、よろしくお願いします。 - 160 ：名無しさんの冒険：2006/01/01(Sun) 06:18
- takizawaです。
あけましておめでとうございます。
今年もなにとぞよろしくお願い申し上げます。 - 161 ：名無しさんの冒険：2006/01/01(Sun) 23:04
- Tiroleの新刊の感想マダー
- 162 ：名無しさんの冒険：2006/01/02(Mon) 03:41
- >>161
まだじゃないの？ - 163 ：名無しさんの冒険：2006/03/14(Tue) 00:37
- いつもお世話になっております。誠に申し訳ございません。
どうぞどなたかお教えください。
F-Tのp.269、Budget Balanceについてなのですが、
(BB)∑t_i < -C_0
というのは、t_iが負で、
かかったコスト < 受け取る分(=∑t_i)
という解釈でよろしいのでしょうか。
いつも質問ばかりで申し訳ございません。 - 164 ：名無しさんの冒険：2006/03/14(Tue) 09:21
- >>162
相変わらず読みにくいと思う - 165 ：名無しさんの冒険：2006/03/17(Fri) 12:16
- >>164
もう読まれたのですか？すごいですね。
たびたび申し訳ございません。どなたかどうぞお教えください。
F-T p.299～p.300で、
(※)「最適配分は、1回限りの静学的な場合の最適な配分をT回反復したことになることを示す。」
で、その後の
「random allocationがIR、ICを満たし(7.55)の右辺より大きい、のは矛盾である。」
だから(※)が示された。
といっていると思うのですが、
(7.55)の右辺は1回限りの時の静学的最適配分で、
これを超える静学的な配分があることが示され、
ても
動学的配分＝(7.55)の右辺
は関係ないと思うのですが。すみません。どういう証明なのでしょうか？
あと、p.302の式(7.56)は、偏微分なのに、なぜ右辺の()内第2項は全微分されるのでしょうか？
本当にアホですみません。
もう少しまじめにやります。
ようやく7章終了です。
どうぞよろしくお願いいたします。 - 166 ：名無しさんの冒険：2006/03/20(Mon) 22:25
- takizawaです。
どうか、どなたかお願い申し上げます。
馬鹿な質問して申し訳ございません。
>>あと、p.302の式(7.56)は、偏微分なのに、なぜ右辺の()内第2項は全微分されるのでしょうか？
x_iとθが完全に独立の変数ではなく、書き下すとx_iの関数になるからですね。申し訳ございませんでした。
自分でもう少し考えます。
p.371で
(i)fighting cost(which is 1)
がq^0 * 1 ではないのはなぜでしょうか？
benefit が δa(1-q^0) なのは、accomodateがdominateする戦略だからでしょうか？
p.376
"sane types"と"commitment types"のpayoff関数は、g_1で同じでしょうか？
stakelberg payoffの条件は、
entrant最大化の条件を、incumbent最大化の条件式に代入しないといけないと思うのですが。
たびたび申し訳ございません。
なにとぞよろしくお願い申し上げます。 - 167 ：名無しさんの冒険：2006/03/21(Tue) 03:05
- うわーん。
見捨てられた。
誰か教えてください。
help me!!! - 168 ：名無しさんの冒険：2006/03/21(Tue) 13:12
- >>163
それでいいです。
>>165
証明のつくりは背理法だってところはOKですよね？
「動学的に最適なメカニズムが y* の繰り返しでなければ、
静学的なメカニズムで y* よりも望ましいものが存在する。
これは y* が静学的に最適であることに矛盾する」って感じです。
"the random static mechanism"ってのが
(7.55)の左辺を 1 + … + δ^T で割った値の利得をプリンシパルに与え、
y* が(7.55)の右辺を 1 + … + δ^T で割った値の利得を
プリンシパルに与えることはOK？
これで矛盾しますよね？
>>166
ここではentrantがmarket 2に入ってきたあとのサブゲームから考えてる。
entrantが入った条件のもとで、accomodate するか fight するかの決定。
だから、コストはちょうど 1 です。
benefitは、次期にweak entrantがstay outすることから得られる。
commitment typeの利得関数は、α1を強支配戦略とし、
他のプレーヤーの影響を受けない (g_1(a1,a2,θ) = g_1(a1,a2',θ))ようなもの。
（α1が混合戦略だと、こういう利得関数を構成するには vNM 効用を放棄しなきゃいけないけど。）
entrant最大化の条件は、すでに入ってる。
内側の max や min をとるときに、α2 が r(α2) から選ばれてるのがその証拠。 - 169 ：名無しさんの冒険：2006/03/24(Fri) 02:53
- >>168
お教えくださいまして誠にありがとうございます。
本当に感謝しております。
おかげさまお持ちまして、今日ようやく１０章に突入いたしました。
いつも申し訳ございません。
早速よく読みなおしてみます。 - 170 ：名無しさんの冒険：2006/03/27(Mon) 23:00
- いつもありがとうございます。そこまで理解していらっしゃってすごいですね。
ご自分でなさったのですか？
たびたび申し訳ございません。お教えください。申し訳ございません。
p.410 式(10.8)の次の行、
COASEの定理を確かめるには、
どんなp^-に対しても、どんなδに対しても、(p^- は overline p です)
μ_n > p^-
となるような、nが存在することを示せばよい、
とありますが、
p.404 COASE Dynamicsより、
sellerの提示価格は時間とともに低下していく、
つまり、v^-だと思う確率は低下していくわけで、
μ^t < μ^(t-1) < μ^(t-2) < μ^(t-3) < ・・・ < p^-
(μ^-の-は省略しました)
ですので、μ_nの最大値はp^-ではないでしょうか？ - 171 ：名無しさんの冒険：2006/03/27(Mon) 23:11
- たびたび申し訳ございません。
p.412 脚注19なのですが
⊿→0 のとき、price→0を、４段階の背理法で示す、とあります。
この論理展開が理解できないのですが、お願い申し上げます。
一応、理解できたと思うところまで訳してみました。
⊿→0 のとき、price→0とならないと仮定する。
(1)価格は時間と共に低下し(←Coase Dynamics のm^1 < m^0からでしょうか？)
時刻⊿からの利益もゼロとなる(←確率測度がゼロに近づくからでしょうか？)
から、⊿とεの間で取引が成立する確率は、⊿→0でゼロとなる(←なぜでしょうか？)
(2)一度売値を0にするとその後はずっと0(条件Sより)ですが、実際は少しでもプラスの値をつけるほうがよい
(3)⊿とε間で、取引の成立する確率がゼロになるということは、提示価格mも変化がなくなるということ。
(=m*とおく)
(4)⊿→0の極限で、cutoffの条件が成り立つためには、m* = v^- が、必要であり、その結果書いての利益は0となる。
そこまで、お一人ですべて理解なさったのでしょうか？
とてもすごいですね。 - 172 ：名無しさんの冒険：2006/03/31(Fri) 06:49
- (つづき)
だから買い手はどんなタイプであっても、自分のタイプ以下ならacceptすべきであり、
このとき売り手の利益は0にならない。つまり、
⊿→0のとき、price→0とならない。
で、矛盾しないのですが、何がいけないのでしょうか？
図に乗っているようで申し訳ございません。
p.459レンマ11.2の証明 の部分で、
p.260 Fig.7.2からの類推だと思うのですけれども、
点Aの方が、u_1*(θ')よりもθ'にとって好ましいのは、効用曲線が左上にあるから当たり前だと思うのですが。
ここでいうequilibrium strategyとは何を指すのでしょうか？u_1*(θ')上の点でしょうか？
効用曲線が交差するのは、自分のtypeを選択した方が効用が高いというp.210の条件
(ICのようなもの)を満たすためだと思うのですが。
たびたび申し訳ございませんが、ここの部分の背理法の証明もわかりません。
ようやく１１章に到達いたしました。
NWBRの定義などがまだよく理解できません。
103さんと104さんのprior,posteriorなどのお話は、
１０章などの話も踏まえたうえで議論されていたのですね。
ようやく理解いたしました。
どうもすみません。 - 173 ：名無しさんの冒険：2006/04/03(Mon) 16:05
- >>170
質問の意味が分からないです。
μ^- の単調性が μ_n （バーなし）の最大値と何の関係があるのですか？
μ_n （バーなし）はビリーフの閾値をあらわし、
μ_1 = α とか μ_2 は脚注16とか、p^- と無関係に定義される値です。
>>171-172
よく分からないけど、もとの論文を読んでみてはいかがですか？
>>172
＞点Aの方が、u_1*(θ')よりもθ'にとって好ましいのは、効用曲線が左上にあるから当たり前だと思うのですが。
ここは「効用曲線が左上にある」ことをsingle crossingから導いている箇所です。
つまり、与えられた条件のもとで、図11.11が図11.11のように描けることを議論しています。
もしここの部分が当たり前だと思われるのなら、それでもいいんじゃないんでしょうか？
（皮肉だと取らないでください。証明が少し冗長だと感じてもおかしくない部分です。）
＞ここでいうequilibrium strategyとは何を指すのでしょうか？u_1*(θ')上の点でしょうか？
そうだと思います。
もっと正確に言うと、equilibrium strategyは(σ_1*,σ_2*)で、
タイプ θ' にとってその戦略と無差別なoutcome (a_1,a_2)の組全体が、図11.11の下側の曲線になります。 - 174 ：名無しさんの冒険：2006/04/03(Mon) 21:44
- >>173
ありがとうございます。
いつもお世話になっております。
お忙しいところ本当に申し訳ございません。
すみません、確認をお願い致します。
>>168
>>（α1が混合戦略だと、こういう利得関数を構成するには vNM 効用を放棄しなきゃいけないけど。）
とは、
αが混合戦略の時には、Theorem 1.1より、純粋戦略の凸結合もα1に含まれないといけないから、
効用関数が凸であるvNM効用(限界効用が低減する)とは矛盾する、という解釈でよろしいでしょうか？
p.470
partition P_i(n) の定義がよくわかりません。
確率でしょうか？
E~ が h(x)×P_i(n) の形をとるなら、つまり、直積の形をとるなら、
P_i(n) = n で n次元の h(x) と考えてはいけないのでしょうか？
いつも申し訳ございません。
いちごびびえすの数理経済学など、
http://www.ichigobbs.net/cgi/15bbs/economy/0201/
の２０～３０のレスなどを読みますと、以下に自分が勉強不足か、研究するのは無理か、
ということを思い知らされます。数学ができません。 - 175 ：名無しさんの冒険：2006/04/03(Mon) 21:47
- すみません。
トリップの方法がわからなくてご迷惑おかけします。 - 176 ：takizawa：2006/04/03(Mon) 21:52 ◆MpyjNwOMVM
- すみません。トリップできたと思います。
- 177 ：名無しさんの冒険：2006/04/04(Tue) 01:08
- おお、ついにトリップできたか。他にもやる人がでてきたらいいんだけど。
実は私もこのスレの最初の方で結構書き込んでいたんだけど、いまちょっと
力にはなれない。レスはできないけど、takizawa氏とその質問にいつも丁寧に
答えている人の奮闘に期待してるよ。（あとここはＲＯＭも多そうだから
sageながらやってってもいいと思う。） - 178 ：名無しさんの冒険：2006/04/04(Tue) 02:45
- >>174
（前半）
僕の言いたいこととは違います。
commitment typeは、「いつでもα1を取る」ことが強支配戦略になるような
効用関数をもっていないといけないんだけど、
α1が混合戦略のときは（標準的な仮定のもとでは）それが強支配戦略になることはありえないですよね？
それだけのことです。
（後半）
P_i は (calligraphic) N の partition
（N の disjoint な部分集合たちからなる族で、union が N になるもの）で、
N の元 n に対し、P_i(n) は n を含む P_i の元（ユニークに定まる）をさします。
例えば、N = {1,2,3}, P_i = {{1,2},{3}} のとき、
P_i(1) = P_i(2) = {1,2}, P_i(3) = {3} です。
展開形ゲームの情報集合 h (p 80)や
common knowledge（14章）とかでも出てくる記号法なので、
覚えておくといいです。
この場合の P_i(n) の解釈は、
「プレーヤー i さんにとって、tree n と区別が付かない tree たち全体」
です。
E~ の解釈は、図11.15とかを見て、もう少し考えてみてください。 - 179 ：takizawa：2006/04/07(Fri) 08:58 ◆MpyjNwOMVM
- >>178
ありがとうございます。
すみません。細かいことですが、間違えました。
>>効用関数が凸であるvNM効用
上に凸ではありますが、凹関数ですね。直感と逆なのでいつも間違えてしまいましてすみません。
いつも申し訳ございません。いまp.510あたりでつっかえております。
数式の証明がなかなか難しいです。
That is～～～
と一言で済んでいる部分を証明するのに、半日がかりです。 - 180 ：名無しさんの冒険：2006/04/08(Sat) 14:20
- しつこいようですが、
> 限界効用が低減する
と書いてるのを見て、なにか深刻な誤解をしてるのでは？とかんぐってしまいます。
まず、
U(p) = ∫ u(x) p(dx)
とか
U(p) = ∑ u(x) p_x
と書いたときの、ベルヌーイ関数 u と期待効用関数 U の区別をしてください。
u は deterministic なアウトカム x （ここでは純粋戦略の組）に対して定義され、
U はアウトカム上のくじ p に対して定義されます。
u が凹だとかリスク回避的だとか限界効用が逓減するとかいう性質は、
deterministic なアウトカム（例えば貨幣額） たちが凸集合をなすときに定義できる概念で、
純粋戦略が有限個しかないゲーム上では無意味です。
絶対/相対的リスク回避度とかは、今のところ忘れてもらって結構です。
今回の議論は、期待効用関数 U が（独立性公理より）アファイン
U(λp + (1-λ)q) = λ U(p) + (1-λ) U(q)
となることからの帰結です。
わざと回りくどく書けば、アファインならば特に（弱い意味で下に）凸であり、
凸ならば内点のみで最大値をとることはない、という議論です。
（もちろん、アファインならば凹でもあり、
これはこれでナッシュ均衡の存在証明などで重要になりますが、
今回はそういう話じゃありません。） - 181 ：takizawa：2006/04/11(Tue) 01:28 ◆MpyjNwOMVM
- >>180
お教えありがとうございます。
誠に申し訳ございません。もう一度よく読みます。
ベルヌーイの定理とベルヌーイ数は覚えておりますが、ベルヌーイ関数が何を意味しているか忘れてしまいましたので、調べなおしてまいります。
申し訳ございません。
いつも勝手なお願いをして申し訳ございませんが、定義がわからない部分がございます。
もう少し自分で考えるようにいたしますが、ご指導お願い申し上げます。
p.514
Definition 13.3
(ii)履歴が、h^t、h~^tのときにvNM効用関数が同じ選好を表す。とありますが、
u_i(h^t,f^t) = λ_i(h^t,h~^t) u_i(h~^t,f^t) + μ_i(h^t,h~^t,f^t_-i)
の、λ_i(h^t,h~^t)とμ_i(h^t,h~^t,f^t_-i)はどういう定義なのでしょうか？
また、話が飛びますが、p.522～p.525のハミルトニアンの定義がわかりません。
式で申しますと、(13.7)、(13.9)、(13.10)～(13.17)です。
工学では、ハミルトニアンの定義は、
(運動エネルギー) + (ポテンシャルエネルギー)
です。
お恥ずかしいですが、ハミルトンーヤコビの方程式の部分も導出できません。
数学の参考書を引っ張り出しまして、半日がかりで復習をしたところですが、
数学での定義はこのような定義ではなかったと思います。
(と申しますか、一般化されている数学の定義を私が知らないだけかもしれません
お恥ずかしいですが申し訳ございません。)
(13.10)などは、行列を用いて固有値を出して、効用関数の最適値を求めようとしているのだとおおよその見当はつきますが、(変分法のような感覚でしょうか)、ここの記号の定義がないです。
これは、こういう線形結合であらわされる、と言う仮定、と解釈すればよろしいのでしょうか？
たとえば、効用関数やコスト関数を２次関数で表す、と仮定するようなものでしょうか？
たびたび申し訳ございません。 - 182 ：takizawa：2006/04/11(Tue) 01:42 ◆MpyjNwOMVM
- すみません。間違えてageてしまいました。
自分は、勉強が得意なわけでも好きなわけでもなかったのかなぁ、と、自信をなくしております。
いつもありがとうございます。
皆様本当にすごいですね。 - 183 ：名無しさんの冒険：2006/04/11(Tue) 20:04
- ageても構わんと思います。
ここでのベルヌーイ関数の定義は単に u のこと。
vNM効用（インデックス）と呼ぶ人もいる。
数学の本には同じ名前の関数がたくさんあるでしょうが、それらとは無関係です。
λ_i(h^t,h~^t) は f^t によらない正数、
μ_i(h^t,h~^t,f^t_-i) は f^t_i によらない実数。
そういうものが存在することが、
将来の行動に対する選好が不変であることと同値です。
たとえば、囚人のジレンマの2期間繰り返しゲームの場合、
0期目が a^0 = (C,C)だったときの1期目の行動 a^1 に関する効用は
u_i((C,C),a^1) = g_i(C,C) + δ g_i(a^1)
で、0期目が(D,C)だったときは
u_i((D,C),a^1) = g_i(D,C) + δ g_i(a^1)
になる。両者は定数の差しかないから a^1 に関して同じ選好関係を持つ。
もっと具体的には、
u_i((D,C),a^1) = u_i((C,C),a^1) + (u_i(D,C) - u_i(C,C))
つまり
λ_i((C,C),(D,C)) = 1,
μ_i((C,C),(D,C),a^1_{-i}) = u_i(D,C) - u_i(C,C)
と書けることからわかる。
λ が1でない例は、リマークで書いてあるように、
無限期間の繰り返しゲームを考えればいい。
0期目が a^0 であったあと、
その将来を f = (a^1,a^2,...) と予想したときに得られる利得は、
u_i(a^0,f) = g_i(a^0) + δ g_i(a^1) + δ^2 g_i(a^2) + ...
0期目から f = (a^1,a^2,...) という将来をみたあとの利得は
u_i(f) = g_i(a^1) + δ g_i(a^2) + ...
となり、
u_i(a^0,f) = δ u_i(f) + g_i(a^0),
つまり λ = δ, μ = g_i(a^0) をみたす。
ハミルトニアンに関する経済学のコンベンションと、
物理やその他との違いは、えっと、あっと、、、
僕はよく知らないけど、ここに住んでるマクロの人がやさしく教えてくれるはずです。。。
(13.10)と(13,10)は単なる仮定ということでＯＫです。 - 184 ：名無しさんの冒険：2006/04/11(Tue) 20:05
- u と g を混同してました。すまそ。
u_i((D,C),a^1) = u_i((C,C),a^1) + (g_i(D,C) - g_i(C,C))
μ_i((C,C),(D,C),a^1_{-i}) = g_i(D,C) - g_i(C,C) - 185 ：名無しさんの冒険：2006/04/12(Wed) 13:11
- 余計混乱させるようなことを書くけど、FTの
u_i(h^t,f^t) = λ_i(h^t,h~^t) u_i(h~^t,f^t) + μ_i(h^t,h~^t,f^t_-i)
は定義としてまずいと思う。
μ_i を f^t_-i から独立に決定させる
（あるいは、依存するとしても a^t_-i にのみ依存させる）
ようなものでないとまずいと思う。
理由は、他のプレーヤーの戦略を一定としたときに、
今期の自分の行動の変化が来期以降の他のプレーヤーの行動を変化させるからだけど、
詳しくは Maskin + Tirole (2001) を見てください。
彼らの記号法では、本質的に興味のあるのは H^* や H^** であって、
証明の便宜上導入した H^*** じゃないってことです。 - 186 ：takizawa：2006/04/14(Fri) 06:50 ◆MpyjNwOMVM
- >>180
とても稚拙な図で恐縮ですが、
純粋戦略がs1とs2の二つだけのもっともシンプルな場合で図を描いてみました。
http://www.geocities.jp/takizawa_shinichiro/ftbbs/F-T168.pdf
こういうことだと思うのですが、よろしいでしょうか？
抽象的な思考が苦手でして、とてもシンプルな例にしないと
なかなか理解ができませんでして、お恥ずかしいです。
よろしくお願い申し上げます。 - 187 ：takizawa：2006/04/14(Fri) 07:12 ◆MpyjNwOMVM
- >>183>>184>>185
誠にありがとうございます。
お忙しいところ、本当にいつも申し訳ございません。
もう一度教わりましたところをよく読みなおして参ります。
図に乗って申し訳ございません。
p.549～p.550は、partitionとposteriorは互いに知っているけれど、
互いに、互いがどこのpartitionにいるかは知らない、
という設定でしょうか？
p.552の(14.3)式の不等号の部分は、
>= E[u_i(y^_i(ω),x)|h_i]
で
y_i(ω)→y^_i(ω)
だと思うのですが、自信がありません。
p.557およびp.560のat leastやat mostの部分が導出できません。
p.557、
q8 + (1-q)(-10)
q(-10) + (1-q)8
p.560ですが、
partitionが(0,1)のときに、最悪、stateが0でない確率も1/2あるはずで、
このときplayer1がBをplayすれば、ペイオフが0ないし-10の可能性があると思うのですが。
すみません。本当にわかりません。
なんだか揚げ足を取っているようで大変申し訳ないのですが、本当に申し訳ございません。
もっと自分で考えます。 - 188 ：名無しさんの冒険：2006/04/14(Fri) 10:58
- >>186
＞こういうことだと思うのですが、よろしいでしょうか？
意味がわからんけど。「こういうこと」とは何？
図１で、上に凸なケースやそれ以外のケースが排除されてるのはなぜ？
図２は何の関係があるの？
まあ、上の疑問に答える前に、とりあえず、次の質問に答えてください。
１．独立性公理を仮定する。ある戦略が強支配戦略ならば、それは必ず純粋戦略である。証明せよ。
２．独立性公理を落とした場合、１は成り立たない。反例をあげよ。 - 189 ：名無しさんの冒険：2006/04/14(Fri) 12:17
- 下がってたので上げまず。
>>181>>183での「ハミルトニアン」について、
どなたか助けていただけるとうれしいです。
>>187
＞partitionとposteriorは互いに知っているけれど、
さらに強く、これらがcommon knowledgeであることまで仮定してます。
（partition に関しては、モデルの設定上不可避的にCKになります。
posteriorのCKはオーマンの定理の仮定の1つです。）
＞互いに、互いがどこのpartitionにいるかは知らない、
一般にはそうですが、時と場合によっては知りうる場合があります。
p 549の例だと、ω1 において、プレーヤー1はプレーヤー2が {ω1, ω2, ω3} にいることは知ってますよね。
p 552の(14.3)は僕もタイポだと思います。
＞q(-10) + (1-q)8
もう少し強めに q * 0 + (1-q) * 8 というバウンドを与えることもできるけど、
全体の議論には影響を与えません。
＞partitionが(0,1)のときに、最悪、stateが0でない確率も1/2あるはずで、
そんなことないです。
stateが0でない（stateが1の）確率は ε/(2 + ε) で、これは 1/2 より小さい。
この posterior は p559 で説明されてる prior から導出できます。
＞このときplayer1がBをplayすれば、ペイオフが0ないし-10の可能性があると思うのですが。
誰が何をプレイして、誰がどれだけの利得を得るのか、さっぱり分からないです。
FTの議論は、次の通り：
プレーヤー1が状態0でBをプレイすることを所与とした場合、
プレーヤー2が情報集合{0,1}でBをプレイすることによって、
プレーヤー1が情報集合{1,2}で何をプレイするかに依存せず、
プレーヤー2は少なくとも (1/2) * 8 + (1/2) * 0 = 4 だけの期待利得が得られる。
もしこの説明で分からない部分があれば、また書き込んでください。
このあたりのことは Mertens-Zamir 流の higher order beleif をじかに扱えるようになってきたために、
最近再び盛んに研究されてます。
直接関係するのは Jonathan Weinstein と Muhamet Wildiz の一連の仕事だと思いますが、
Dekel, Fudenberg, and Morris とか Lipman とか、日本人では梶井、宇井が関連する仕事をしています。 - 190 ：takizawa：2006/04/15(Sat) 18:21 ◆MpyjNwOMVM
- 本当に申し訳ございません。
基本的な質問ばかりして、貴重なお時間を、お手数をおかけして誠に申し訳ございません。
>>p.557およびp.560のat leastやat mostの部分が導出できません。
の部分が理解できましたので、お時間取らせては申し訳ないと思い
あわててネットカフェまで飛んでまいりましたが、間に合いませんでした。すみません。
近所の公民館では、いちごびびえす、が有害サイトに引っかかり、
アクセスできませんでした。
一応弁明と、確認をさせてください。
>>188の質問は考えて参ります。 - 191 ：takizawa：2006/04/15(Sat) 18:34 ◆MpyjNwOMVM
- 本当にいつも申し訳ございません。もう少しきちっとやります。
コミュニケーション能力が低いものでして、わけのわからないことを申していましたら申し訳ございません。
p.560の方ですが、
①player1がpartition(1,2)のとき
staet1の可能性 q = (ε/3) / ( (ε/3) + (ε(1-ε)/3) ) = 1/(2-ε) > 1/2
staet2の可能性 1-q = (ε(1-ε)/3) / ( (ε/3) + (ε(1-ε)/3) ) = (1-ε)/(2-ε) < 1/2
このとき、player2は、partition(0,1)または(2,3)にいます。
(player2がpartition(0,1)のときにstate0と思う確率) = (2/3) / ((2/3) + ε/3) ～ 1
(player2がpartition(0,1)のときにstate1と思う確率) = (ε/3) / ((2/3) + ε/3) ～ 0
で、state0ならplayer2はdominateなBをplayします。
partition(2,3)にいるときには、A、Bどちらの戦略をとるかは不明です。
以上より、player1のペイオフは、state>=1のときに、player2が確率1でAをplayするとしても、
(Aをplayしたときのペイオフ) = -10*q + 8*(1-q) < 0
(Bをplayしたときのペイオフ) = 最悪のペイオフは、state>=1 で player2がBをplayしたときの0。
ゆえに、player1がpartition(1,2)のとき、player1はBをplayします。 - 192 ：takizawa：2006/04/15(Sat) 18:45 ◆MpyjNwOMVM
- p.560
②player2がpartition(2,3)のとき
(state=2の確率) = (ε(1-ε)/3) / ( (ε(1-ε)/3) + ((1-ε)^2 *ε/3) ) > 1/2
(state=3の確率) = ((1-ε)^2 *ε/3) / ( (ε(1-ε)/3) + ((1-ε)^2 *ε/3) ) < 1/2
state=2のとき、player1はpartition(1,2)にいるので、このとき、①よりplayer1は
Bをplayします(この確率をαとおきます)。
この条件下で、player2が
Aをplayなら 8*(1-α) + (-10) * α < 0
Bをplayなら 8*(1-α) + 0 * α > 0
より、player2はBをplay。
③player1がpartition(3,4)のとき
(state=3の確率) = ((1-ε)^2 *ε/3) / (((1-ε)^2 *ε/3) +((1-ε)^3 *ε/3) ) > 1/2
(state=4の確率) = ((1-ε)^3 *ε/3) / (((1-ε)^2 *ε/3) +((1-ε)^3 *ε/3) ) < 1/2
state=3のとき、player2はpartition(2,3)にいるので、このときplayer2はBをplayします。
このときのplayer1のペイオフは、
(player2がBをplayする確率) = α' > 1/2
として、
player1がAをplayするとき 8 *（1-α') + (-10)*α' < 0
player1がBをplayするとき 1 *（1-α') + 0*α' > 0
よりBをplayする。
この後はこれの繰り返し、という証明でした。申し訳ございません。 - 193 ：takizawa：2006/04/15(Sat) 18:50 ◆MpyjNwOMVM
- これに対しまして、p.557の例Fig.14.2では、
p.560に比べまして、確率に関する制約が弱いですが、定義がないですが、
これは、player1にとって、Fig.14.2のとき、Bがweakly dominateな戦略だから、
という条件を用いてよろしいのでしょうか？
player1がpartition(3,4)のとき、
state=4なら、player2はpartition=(4)より、(B,B)が均衡。
state=3なら、player2はpartition(2,3)におり、
3なら、Bをplay
4なら、不明。
だと思います。 - 194 ：takizawa：2006/04/15(Sat) 19:00 ◆MpyjNwOMVM
- 本当に申し訳ございません。>>188ができるかわかりませんが、考えて参ります。
>>183
p.514で、
1期目の効用が0期目に依存しない(※)
のは、Backward InductionでPerfectにするためで、
これに対し、
p.333の例で、1期目の効用が0期目に依存するのは、
プレイヤーのタイプが連続だから
ということでよろしいでしょうか。
ここで、
p.514のDefinition13.3は(※)となる条件を示している、
という解釈でよろしいでしょうか。
いつも本当に申し訳ございません。 - 195 ：名無しさんの冒険：2006/04/16(Sun) 01:36
- >>191-192
OKです。
＞これは、player1にとって、Fig.14.2のとき、Bがweakly dominateな戦略だから、
＞という条件を用いてよろしいのでしょうか？
違う。player 1 が {ω3, ω4} にいるとき、
利得関数は14.2b（右側の行列）で与えられることを知っているので、
B は player 1 にとって strictly dominant になる。
だから player 2 の {ω2, ω3} での行動によらず、player 1 は B をとる。
>>194
定義13.3 の解釈は正しいけど、ほかは全然ダメ。 - 196 ：takizawa：2006/04/17(Mon) 21:06 ◆MpyjNwOMVM
- いつもお世話になっております。誠にありがとうございます。
>>188
そもそも、単なるベクトルで考えました場合でも間違えておりました。
凸結合でも、直線で、曲線になることはありませんでした。
αx+βy で、α+β=1のとき、２点を結ぶ直線上で、α+β<1のとき、三角形の内部でした。
とてもお恥ずかしいです。 - 197 ：takizawa：2006/04/17(Mon) 21:17 ◆MpyjNwOMVM
- >>188
アフィンは、大雑把にn次元線形独立ベクトル空間、という解釈だと思いますが、
独立性公理の定義が自信ありません。
ある関数、f(・)、x,yを独立なベクトル、としたとき、
f(x+y) = f(x) + f(y)
が成り立つという解釈でよろしいでしょうか？
記号法、表記の仕方が正しいかよくわからないのですがお許しください。
戦略、p、qがあるとき、その混合戦略は(純粋戦略も含めて)、
λ p + (1-λ) q λは[0,1]
と表されます。
1.U(p) < U(q) を仮定しても、一般性を失わないと思います。
すべての λ 、[0,1]に対して、
U( λ p + (1-λ) q ) = λ*U(p) + (1-λ)*U(q) < U(q)
が成り立ちます。
ゆえに、純粋戦略が強支配戦略となります。
より一般的に、混合戦略を ∑ (λ_i * p_i)
(ここで、p_iは独立なベクトル)
∑ (λ_i) = 1
としたときに、純粋戦略p_iの中で、最も効用の大きい、戦略をp_0、強支配戦略、
とします。
U(p_i) < U(p_0) (i not equal 0)
としても一般性を失いません。
このときも、
U(∑ (λ_i * p_i)) = ∑( λ_i * U(p_i) ) < U(p_0)
で、純粋支配戦略が強支配戦略です。 - 198 ：takizawa：2006/04/17(Mon) 21:22 ◆MpyjNwOMVM
- >>p.333の例で、1期目の効用が0期目に依存するのは、
p.333の例では、相手の行動を変化させえた場合でも、
無差別になっていました。
と申しますか、境界にいる場合だけ変化させることが可能で、しかも、
変化させても、利得は同じ、
でした。
Dynamic Programmingと同じでした。申し訳ございません。 - 199 ：takizawa：2006/04/17(Mon) 21:26 ◆MpyjNwOMVM
- >>188
2.独立でない例としまして、特殊すぎるかもしれませんが、
(この反例はまったく自信がありません。)
U(p) = U(q) / 2
を満たし、
U( λ p + (1-λ) q ) = λ*U(p) + (1-λ)*U(q) + λ*(1-λ)*U(q)
という関数を考えます。
すると、
U( λ p + (1-λ) q ) = λ*U(q)/2 + (1-λ)*U(q) + λ*(1-λ)*U(q)
= (-λ^2 + λ/2 + 1) * U(q)
で、
λ=1/4のとき、
(p/4 + 3q/4)
という混合戦略が、強支配戦略となります。 - 200 ：takizawa：2006/04/17(Mon) 21:29 ◆MpyjNwOMVM
- よろしくお願い申し上げます。
- 201 ：名無しさんの冒険：2006/04/19(Wed) 12:23
- >>197
1人ゲームのときはその証明でいいです。
n人ゲームでも大丈夫なように、もう少し一般化してみてください。
>>199
OKです。
>>194>>198
やっぱり何を言いたいのか分からないです。
そもそもp333がどうMPEに関連するのかよく分かりません。
p514では、具体的なゲームにおいて1期目の効用が0期目の行動に依存するかどうかをチェックしたいわけじゃなく、
「もしも1期目の効用が（ある範囲の）0期目の行動に依存しないならば、
1期目の行動が（その範囲内の）0期目の行動に依存しないような戦略に制限しても
均衡の存在を証明することができる。」
という数学的な主張や、
「存在が証明できるのだから、制限された範囲内で均衡を探すことは正当化される。」
というゲーム理論上の（いまだにcontroversialな）立場を紹介したいだけです。 - 202 ：名無しさんの冒険：2006/04/20(Thu) 12:54
- >>201
お返事誠にありがとうございます。
p.333の例の意味を忘れておりまして、
タイプ(コスト)に依存して、最適戦略が決定されますが、
境界上では、どちらの戦略をとっても無差別になるように設定している、
ということだと思います。
それで、
最適停止問題の、行使タイミングのときの、行使する・しない、が無差別になる、
事と同じだ、と思いました。
申し訳ございません。
p.514では、
最終期の行動が、dominate戦略だから影響を受けない、
ならば、partitionはsufficient。
もしも均衡経路以外に逸脱してしまったら、そのときは、partitionがsufficientではない、
ということでよろしいでしょうか。 - 203 ：takizawa：2006/04/20(Thu) 13:17 ◆MpyjNwOMVM
- すみません、今久しぶりに学校に参りました。
論文を集めておりますところです。
Maskin and Tirole 2001
というのは
Markov perfect equilibrium I. Observable actions (JET)
のことでしょうか？
自分の分野のお話で申し訳ございませんが、HuismanやGrenadierを読みますと、
ものすごい勉強量をしていて、1冊読んでようやく論文を書く題材を見つけられるかどうか
なのでしょうか、と思い知らされているところです。
Grenadierの論文は、
均衡モデルである金融工学に、情報の非対称性とspill over効果を取り入れるだけで、
バブル的な行動が説明できることを示した、
とてもすごい、なるほど、と思わされる論文です。
モデル自体はきわめてシンプルです。
Huismanの方は、F-Tをよく、完全に読破しているな、と思わされる論文です。
これだという本を見つけ、それを完全に読破しないといけないのだ、と思い知らされます。
専門外ですとなかなか困難です。
あつかましいですが、F-Tのあとの、F-Tのような存在意義のあるゲーム論の本というと何でしょうか？
amazonのお勧めの本などを片端から買いあさりましたが、なかなか見つけられません。
本当に申し訳ございません。 - 204 ：名無しさんの冒険：2006/04/22(Sat) 03:55
- >>202
やっぱり言いたいことが分かりません。
p.514では完備情報、observable actions (with simultaneous moves)なゲームを扱ってます。
この意味で、不完備情報ゲームであるp.333との関連は分かりずらいです。
もしたきざわさんが何らかの関連を説明したいのなら、もう少し丁寧に説明してください。
MPEは部分ゲーム完全均衡の精緻化です。
すべての部分ゲーム完全均衡がMPEになるというわけではありません。
あと、MPEを考えているときでも、
（同時手番を許しているため）
最終期に支配戦略があるとは限らないし、
ナッシュ均衡も一意とは限りません。
Maskin-Tiroleはそれです。
FT以降、包括的なゲーム理論の教科書は出ていないはずです。
そうはいっても、FTも、協力ゲームとか進化ゲーム的な観点はぜんぜん説明してませんが。 - 205 ：takizawa：2006/04/25(Tue) 01:10 ◆MpyjNwOMVM
- すみません。
おかげさまで、意味をよく理解することができました。
>>MPEは部分ゲーム完全均衡の精緻化です。
を理解しておりませんでした。
申し訳ございません。
今、F-Tの最初のほうをもう一度読み直しております。
おっしゃるとおり、最初の方、p.55にもpartitionの定義がございました。
一度斜め読みしたぐらいでは到底理解できない難しい本です。
申し訳ございません。 - 206 ：takizawa：2006/05/01(Mon) 21:23 ◆MpyjNwOMVM
- お忙しいところ申し訳ございません。
よろしくお願いいたします。
>>201n人ゲームでも大丈夫なように、もう少し一般化してみてください。
強支配戦略σ'_i は、p.7 Definition 1.1より、
S_{-i} に含まれる全ての s_{-i} に対し、
u_i (σ'_i,s_{-i}) > u_i (s_i,s_{-i})
を満たします。k (0<= k <= n)をiの各純粋戦略とします。
つまり、s_{i,k} が S_i に含まれるとします。
σ'_i = ∑ λ_k s_{i,k} (*)
∑ λ_k = 1
と表せるなら、独立性公理より、
u_i (σ'_i,s_{-i}) = u_i (∑ λ_k s_{i,k},s_{-i})
= ∑ λ_k * u_i ( s_{i,k},s_{-i})
です。ここで、ある戦略 S_{i,n} が強支配戦略とは、
u_i ( s_{i,n},s_{-i}) > u_i ( s_{i,k},s_{-i})
ということを意味します。ゆえに、
u_i (σ'_i,s_{-i}) < u_i ( s_{i,n},s_{-i})
となります。
これは、σ'_i が強支配戦略であることに矛盾します。
ゆえに、σ'_i は(*) ではありません。
つまり、純粋戦略となります。
あまり自信がありませんが、よろしくお願いいたします。
今、p.180まで読み直しました。
あと20ページほどで終了します。
まだまだ難しくて理解し切れませんが、よろしくお願い申し上げます。
研究するなら、１年もかかって１冊の本を読んでいてはだめですね。 - 207 ：takizawa：2006/05/01(Mon) 21:27 ◆MpyjNwOMVM
- すみません。
>>ここで、ある戦略 S_{i,n} が強支配戦略とは、
S_{i,n} → s_{i,n}
小文字です。気をつけます。 - 208 ：名無しさんの冒険：2006/05/02(Tue) 01:44
- もしかして、純粋戦略 s_{i,n} による支配戦略の存在を仮定してます？
そういう想定は特殊なゲームでしか成り立たないですよ。
>ここで、ある戦略 s_{i,n} が強支配戦略とは、
>u_i ( s_{i,n},s_{-i}) > u_i ( s_{i,k},s_{-i})
>ということを意味します。
細かいことですが、これは k ≠ n のときにしか成り立ちません。
最後に、証明のどこかで「σ'_i が純粋戦略でない」ことを使う必要があります。
つまり、2つ以上の純粋戦略 s_{i,k} に対して正の重み λ_k を置いていることです。
どこで使ったか明示してください。 - 209 ：takizawa：2006/05/02(Tue) 19:45 ◆MpyjNwOMVM
- 申し訳ございません。
表記が一部かぶっておりました。
とりえる純粋戦略の数nと、n人ゲームのnとは別です。
また、文章が変でした。
説明が不足しておりました。
式は間違えていないと思うのですが、説明の文章を間違えました。
申し訳ございません。
あわてて飛んでまいりましたが、間に合いませんでした。
もう少し良く推敲してから書き込みます。
強支配戦略σ'_i は、p.7 Definition 1.1より、
S_{-i} に含まれる全ての s_{-i} に対し、
u_i (σ'_i,s_{-i}) > u_i (s_i,s_{-i})
を満たします。
ここで、k (0<= k < m)をiの各純粋戦略とします。
つまり、s_{i,k} が S_i に含まれ、m個の純粋戦略を取れるとします。
σ'_i = ∑ λ_k s_{i,k} (*)
∑ λ_k = 1
と表せるなら、独立性公理より、
u_i (σ'_i,s_{-i}) = u_i (∑ λ_k s_{i,k},s_{-i})
= ∑ λ_k * u_i ( s_{i,k},s_{-i})
です。
ここで、iの取り得る純粋戦略のうち、
純粋戦略mが最大値をとるとしても一般性を失いません。
すなわち、
S_{-i} に含まれる全ての s_{-i}に対し、
u_i ( s_{i,n},s_{-i}) > u_i ( s_{i,k},s_{-i})
です。
すると、
u_i (σ'_i,s_{-i}) = ∑ λ_k * u_i ( s_{i,k},s_{-i})
< u_i ( s_{i,m},s_{-i})
となります。
この最後の不等号の部分で、「σ'_i が純粋戦略でない」ことを用いております。
これは、σ'_i が強支配戦略であることに矛盾します。
ゆえに、σ'_i は(*) ではありません。
つまり、純粋戦略となります。
度々申し訳ございません。 - 210 ：takizawa：2006/05/02(Tue) 19:50 ◆MpyjNwOMVM
- 本当に申し訳ございません。まだ表記ミスがありました。今度こそ直しました。
強支配戦略σ'_i は、p.7 Definition 1.1より、
S_{-i} に含まれる全ての s_{-i} に対し、
u_i (σ'_i,s_{-i}) > u_i (s_i,s_{-i})
を満たします。k (0<= k < m)をiの各純粋戦略とします。
つまり、s_{i,k} が S_i に含まれ、iはm個の純粋戦略を取れるとします。
σ'_i = ∑ λ_k s_{i,k} (*)
∑ λ_k = 1
と表せるなら、独立性公理より、
u_i (σ'_i,s_{-i}) = u_i (∑ λ_k s_{i,k},s_{-i})
= ∑ λ_k * u_i ( s_{i,k},s_{-i})
です。
ここで、iの取り得るm個の純粋戦略のうち、
純粋戦略0が最大値をとるとしても一般性を失いません。
すなわち、
S_{-i} に含まれる全ての s_{-i}、および、
S_{i} に含まれる全ての s_{i,k}、(k≠0) に対し、
u_i ( s_{i,0},s_{-i}) > u_i ( s_{i,k},s_{-i})
です。
すると、
u_i (σ'_i,s_{-i}) = ∑ λ_k * u_i ( s_{i,k},s_{-i})
< u_i ( s_{i,0},s_{-i})
となります。
この最後の不等号の部分で、「σ'_i が純粋戦略でない」ことを用いております。
これは、σ'_i が強支配戦略であることに矛盾します。
ゆえに、σ'_i は(*) ではありません。
つまり、純粋戦略となります。
度々申し訳ございません。 - 211 ：名無しさんの冒険：2006/05/02(Tue) 22:21
- >S_{-i} に含まれる全ての s_{-i}
量化子の順番がおかしいのは分かる？
s_{-i} を固定しないと、s_{i,0} が一般性を失わず最適とかいえないよ。
あと、細かいけど、
> u_i ( s_{i,0},s_{-i}) > u_i ( s_{i,k},s_{-i})
これは等号つきの不等号ね。
>この最後の不等号の部分で、「σ'_i が純粋戦略でない」ことを用いております。
意味不明。もう飽きたので、この話題は僕は相手しません。 - 212 ：takizawa：2006/05/05(Fri) 06:22 ◆MpyjNwOMVM
- 申し訳ございません。
もう少し考え直して参ります。
相手の戦略s_{-i}に対する、自分の最適戦略s_{i}ですが、
逆に、相手にも、混合戦略を許した場合、
「相手の混合戦略を構成する純粋戦略のペイオフの凸結合で、
自分のペイオフは表せる」
というのも、独立性公理を用いているような気がしまして、
循環論法になってしまうような気がして、なかなか、うまくできません。
難しいです。これはかなり初歩の問題でしょうか？
申し訳ございません。
もう少しきちんと証明するようにします。
数学記号、allやexistの表示の仕方がわからず、文章で書くとややこしくなりまして、
なおさら混乱しております。 - 213 ：名無しさんの冒険：2006/05/05(Fri) 07:29
- まあいいんじゃない。陰ながらその打たれ強さには感心しています。
めげずにもう少しがんばって欲しい。
ただ、このスレ自分も含めてＲＯＭてるのいるから頻繁にあげる
必要ないと思う。（まああげたところで問題もないけど。） - 214 ：名無しさんの冒険：2006/05/05(Fri) 08:01
- >これはかなり初歩の問題でしょうか？
ほとんどの教科書で明示的に説明する必要がないと思われているぐらい、ものすごく初歩です。
>>46-53でも、利得の自分の戦略に関する線形性を使った議論がされてますので、参考にしてください。 - 215 ：takizawa：2006/05/05(Fri) 09:46 ◆MpyjNwOMVM
- >>213>>214
が～～～ん。
すみません。まじめにやります。
ただ、相手の混合戦略に対する利得を、相手の純粋戦略の線形結合で表せる、
と仮定するのは、
すでに、独立性公理を用いているような気がするのですが。
そこで悩んでおります。
すみません。
よく読み直して参ります。 - 216 ：名無しさんの冒険：2006/05/05(Fri) 10:06
- コメントを２つ：
１．独立性公理を用いることに関して逡巡しないでください。
用いてくださって大いに結構です。(今は>>188の1つ目を考えてるんですよね？)
２．ただし、自分の利得の相手の混合戦略に関する（多重）線形性は、今回の議論では必要ありません。 - 217 ：takizawa：2006/05/05(Fri) 10:12 ◆MpyjNwOMVM
- p.11 Since expected utilities are "linear in the probabilities",・・・
期待効用は、"確率に関して線形だから"、プレイヤーがナッシュ均衡中の(純粋戦略ではない)混合戦略を用いるならば(二つ以上の純粋戦略に重みをつけるような戦略)、
それら、プラスの確率で重みをつけた戦略は、無差別にならなくてはならない。
これは、たとえば p.6、Fig.1.2の、純粋戦略、UとDについて成り立つことだと思います。相手の戦略で、どちらも、dominate戦略にはならない、ということだと思います。
ただ、"linear in the probabilities",これがすでに、独立性公理だと思うのですが、すみません、よくわかりません。もう一度考えて参ります。 - 218 ：名無しさんの冒険：2006/05/05(Fri) 13:05
- だから、独立性公理（多重線形性）はどうぞ使ってください。
逆に言うと、使わなきゃ証明できません。>>199
とりあえず、ごちゃごちゃやる前に、
独立性公理がなくても通用する支配戦略の定義を書いておきます。
プレーヤー i の混合戦略 σ_i が（強）支配戦略であるとは、
σ_i と異なるすべての σ_i' とすべての σ_{-i} に対して
u_i(σ_i,σ_{-i}) > u_i(σ_i',σ_{-i})
が成り立つことをいう。
σ_i が支配戦略ならば、独立性公理を仮定しなくても、
すべてのナッシュ均衡においてプレーヤー i は σ_i を選びます。
（この性質が成り立つように支配戦略を上のように定義した、と言ってもいいです。）
この性質によって、コミットメントタイプ >>166の行動を利得関数の側から説明できます。 - 219 ：takizawa：2006/05/06(Sat) 19:30 ◆MpyjNwOMVM
- 申し訳ございません。
答えを考えて参りましたが、また間に合いませんでした。
>>218を読む前に作りましたので、その点が考慮されていないかもしれません。
>>46～53 が大変参考になりました。誠にありがとうございます。
独立性公理が成り立つとき、強支配戦略が存在するなら、それは純粋戦略である。
(証明)
証明したいことは、次を満たすような、s'_{i}∈S_{i} が存在することです。
σ_{i} not equal s'_{i} な、全てのσ_{i} ∈ Σ_{i} に対し、
u_{i} (s'_{i}, σ_{-i}) > u_{i} (σ_{i}, σ_{-i}) ・・・ (1.1')
for all σ_{-i} ∈ Σ_{-i}
これを証明することは、
u_{i} (s'_{i}, s_{-i}) > u_{i} (σ_{i}, s_{-i}) ・・・ (1.1)
for all s_{-i} ∈ S_{-i}
を証明することと等価なことをまず証明します。 - 220 ：takizawa：2006/05/06(Sat) 19:31 ◆MpyjNwOMVM
- (1.1)が成り立つとき、i以外のプレイヤーの混合戦略を σ_{-i}(s_{-i}) とするとき、
∑_{σ_{-i} ∈ Σ_{-i}} σ_{-i}(s_{-i}) = 1
とすると、(1.1) の両辺に任意の σ_{-i}(s_{-i}) >= 0 をかけると、
σ_{-i}(s_{-i}) * u_{i} (s'_{i}, s_{-i}) > σ_{-i}(s_{-i}) * u_{i} (σ_{i}, s_{-i})
これが、任意の σ_{-i} ∈ Σ_{-i} について成り立っているので、総和をとると、
∑_{s_{-i} ∈ S_{-i}} σ_{-i}(s_{-i}) * u_{i} (s'_{i}, s_{-i})
> ∑_{s_{-i} ∈ S_{-i}} σ_{-i}(s_{-i}) * u_{i} (σ_{i}, s_{-i})
より、
∑_{s_{-i} ∈ S_{-i}, s_{j} ∈ S_{-i}} (Π_{j≠i} σ_{j}(s_{j}) ) * u_{i} (s'_{i}, s_{-i})
> ∑_{s_{-i} ∈ S_{-i}, s_{j} ∈ S_{-i}} (Π_{j≠i} σ_{j}(s_{j}) ) * u_{i} (σ_{i}, s_{-i}) ・・・ (2)
となります。F-T、p.5利得関数の定義より、
u_{i} (σ) = ∑_{s ∈ S} (Π^I_{j=1} σ_{j}(s_{j}) ) * u_{i} (s)
であり、混合戦略プロファイルσを{i}と{-i}とに分けて書けば、
σ = (σ_{i}, σ_{-i})
より、
u_{i} (σ_{i}, σ_{-i}) = ∑_{s ∈ S} σ_{i}(s_{i}) (Π_{j≠i} σ_{j}(s_{j}) ) * u_{i} (s_{i}, s_{-i}) ・・・(*)
とかけます。利得の線形性および独立性公理より、(*)において、σ_{i} = s'_{i} のとき、
u_{i} (s'_{i}, σ_{-i}) = ∑_{s_{-i} ∈ S_{-i}} (Π_{j≠i} σ_{j}(s_{j}) ) * u_{i} (s'_{i}, s_{-i})
であり、
u_{i} (σ_{i}, σ_{-i}) =
∑_{s_{i} ∈ S_{i}} ∑_{s_{-i} ∈ S_{-i}} σ_{i}(s_{i}) (Π_{j≠i} σ_{j}(s_{j}) ) * u_{i} (s_{i}, s_{-i})
= ∑_{s_{-i} ∈ S_{-i}} (Π_{j≠i} σ_{j}(s_{j}) ) * ∑_{s_{i} ∈ S_{i}} σ_{i}(s_{i}) * u_{i} (s_{i}, s_{-i})
= ∑_{s_{-i} ∈ S_{-i}} (Π_{j≠i} σ_{j}(s_{j}) ) * u_{i} (σ_{i}, s_{-i}) - 221 ：takizawa：2006/05/06(Sat) 19:32 ◆MpyjNwOMVM
- ゆえに、(2)式に代入し、
u_{i} (s'_{i}, σ_{-i}) > u_{i} (σ_{i}, σ_{-i}) (1,1')
が得られます。
したがって、(1,1')が全てのσ_{-i}について成り立っているから、(1,1)が成り立たねばなりません。ゆえに、{-i}の戦略については純粋戦略のみを考えればよいことになります。
つまり、(1,1')が証明したいことですが、それと等価な(1,1)を証明することになります。
u_{i} (s'_{i}, s_{-i}) > u_{i} (σ_{i}, s_{-i}) ・・・ (1.1)
for all s_{-i} ∈ S_{-i}
ある戦略、σ'_{i} が強支配戦略とは、
u_{i} (σ'_{i}, s_{-i}) > u_{i} (σ_{i}, s_{-i})
が、for all s_{-i} ∈ S_{-i}、for all σ_{i} ∈ Σ_{i} (σ_{i} ≠ σ'_{i} ) について成り立つことをいいます。
{-i}の戦略をあるプロファイル{s^+_{-i}} に固定したとき、それに対する、{i}の最適純粋戦略s^{+*}_{i}が存在します。純粋戦略が最適戦略となることは、混合戦略が、独立性公理を満たすことから証明されます。すなわち、{-i}の戦略を{s^+_{-i}}に固定したとき、それに対する最適戦略をσ_{i} = ∑λ_{k} * s_{i,k} とすると、
(λ_{k} を重みとし、∑λ_{k} = 1 です。{k}が{i}のとりえる純粋戦略です。)
u_{i} (σ_{i}, s^+_{-i}) = u_{i} (∑λ_{k} * s_{i,k}, s^+_{-i}) = ∑λ_{k} * u_{i} (s_{i,k}, s^+_{-i})
< u_{i} (s^{+*}_{i}, s^+_{-i})
ですので、s^{+*}_{i} がs^+_{-i}に対する最適純粋戦略となります。
すると、
u_{i} (s^{+*}_{i}, s^{+}_{-i}) > u_{i} (σ_{i}, s^{+}_{-i})
が、for all σ_{i} ∈ Σ_{i} について成立します。
σ'_{i} は混合戦略と仮定しましたので、σ'_{i} ≠ s^{+*}_{i} であり、この式は、
u_{i} (s^{+*}_{i}, s^{+}_{-i}) > u_{i} (σ'_{i}, s^{+}_{-i})
をも意味し、σ'_{i} が強支配戦略ということに矛盾します。
ゆえに、独立性公理が成り立つとき、強支配戦略が存在するなら、それは純粋戦略です。 - 222 ：takizawa：2006/05/06(Sat) 19:41 ◆MpyjNwOMVM
- 大変長くなりまして申し訳ございません。
もう一度よろしくお願い致します。 - 223 ：名無しさんの冒険：2006/05/07(Sun) 00:12
- だいたい大丈夫ですね。あとは細かいコメントです。
>>220は不要。
>>221の「{-i}の戦略をあるプロファイル{s^+_{-i}} に固定…」以降だけで十分。
証明したいことは(1.1)や(1.1')ではなく、
「σ'_{i} が強支配戦略ということに矛盾」という部分だけなので。
> (1.1) の両辺に任意の σ_{-i}(s_{-i}) >= 0 をかけると、
> σ_{-i}(s_{-i}) * u_{i} (s'_{i}, s_{-i}) > σ_{-i}(s_{-i}) * u_{i} (σ_{i}, s_{-i})
> これが、任意の σ_{-i} ∈ Σ_{-i} について成り立っているので
ここは多少嘘。σ_{-i}(s_{-i}) = 0 のとき、2行目の両辺は等しくなる。
よって、3行目は「>= が任意の σ_{-i} ∈ Σ_{-i} について成り立ち、
> がある σ_{-i} ∈ Σ_{-i} について成り立っているので」というのが正しい。
総和をとれば強い不等号になるのには変わりないけど。
>>221
> u_{i} (σ_{i}, s^+_{-i}) = u_{i} (∑λ_{k} * s_{i,k}, s^+_{-i}) = ∑λ_{k} * u_{i} (s_{i,k}, s^+_{-i})
> < u_{i} (s^{+*}_{i}, s^+_{-i})
> ですので、s^{+*}_{i} がs^+_{-i}に対する最適純粋戦略となります。
> すると、
> u_{i} (s^{+*}_{i}, s^{+}_{-i}) > u_{i} (σ_{i}, s^{+}_{-i})
> が、for all σ_{i} ∈ Σ_{i} について成立します。
不等号に両方とも >= を入れておいてください。
最適純粋戦略が s^{+*}_{i} だけとは限らないし、
σ_{i} がそのような最適純粋戦略にのみ正の重みを置く可能性があるからです。 - 224 ：名無しさんの冒険：2006/05/07(Sun) 00:14
- 誤：不等号に両方とも >= を入れておいてください。
正：不等号に両方とも = を入れておいてください。 - 225 ：takizawa：2006/05/08(Mon) 20:53 ◆MpyjNwOMVM
- ありがとうございます。
>>証明したいことは(1.1)や(1.1')ではなく、
>>「σ'_{i} が強支配戦略ということに矛盾」という部分だけなので。
なるほどおっしゃるとおりです。反例をあげれば十分でした。
>>最適純粋戦略が s^{+*}_{i} だけとは限らないし、
おっしゃるとおり、同じ効用の純粋戦略が２つ以上ある可能性もありました。
おかげさまで何とか証明できました。
誠にありがとうございます。
今、論文ねたをひとつ思いついておりますが、
あまりに単純すぎてまた、だめのような気がします。
がんばります。 - 226 ：名無しさんの冒険：2006/05/14(Sun) 14:51
- takizawa氏の書き込みを中心に結構ログがたまってきたから
このスレのTeX化計画更新を希望。
http://www.geocities.jp/ichigo_texmaster/ft01_93.txt
の形式に書き直して>>97に貼れるようにしてくれる人いたらうれしい。 - 227 ：名無しさんの冒険：2006/05/15(Mon) 12:13
- TeX化とか不毛だろうなー。
たきざわさんの質問はかなり特殊で、それ以外の人の役に立つとは思えないんだけど。
最近は僕しか答えてないし。
さて、たきざわさんもそろそろFT終わるし、次は何にしましょうか？ - 228 ：takizawa：2006/05/16(Tue) 00:55 ◆MpyjNwOMVM
- 何度も申し訳ございません。
頭の回転が遅いものでしてお手数おかけいたしました。
ようやく証明ができたと思います。
もう一度お願いいたします。
わけのわからないことを何度も書きまして申し訳ございません。
独立性公理が成り立つとき、強支配戦略が存在するなら、それは純粋戦略である。
(証明)
もしも強支配戦略が混合戦略ならば、
全てのσ_{-i} ∈ Σ_{-i} に対し、
σ'_{i} not equal σ_{i} が、
u_{i} (σ'_{i}, σ_{-i}) > u_{i} (σ_{i}, σ_{-i})
任意のσ_{i}に対して成り立つことをいいます。
σ'_{i} = ∑λ_{k} * s_{i,k}
と書くと、独立性公理により左辺は、0 <= k <= N-1 として、
u_{i} (σ'_{i}, σ_{-i}) = u_{i} (∑λ_{k} * s_{i,k}, σ_{-i})
= ∑λ_{k} * u_{i} (s_{i,k}, σ_{-i})
∑_{k=0}^{N-1} λ_{k} = 1
と書けます。混合戦略σ'_{i}がN個の純粋戦略よりなると仮定しております。 - 229 ：takizawa：2006/05/16(Tue) 00:56 ◆MpyjNwOMVM
- ここで{-i}の戦略をあるプロファイル{σ^+_{-i}} に固定したとき、
あるs_{i,m} (0 <= m <= N-1) が、ほかのs_{i,k} (k≠m) に対して、
u_{i} (s_{i,m}, σ^+_{-i}) > u_{i} (s_{i,k}, σ^+_{-i})
となったとすると、s_{i,m}への重み、λ_{m} をゼロとすることで、
∑_{k≠m}^{N-1} λ_{k} * u_{i} (s_{i,k}, σ^+_{-i}) > ∑_{k=0}^{N-1}λ_{k} *
u_{i} (s_{i,k}, σ^+_{-i})
が成りたちます。ここで、∑_{k≠m}^{N-1}λ_{k} = 1 です。独立性公理より、
(左辺) = u_{i} (∑_{k≠m}^{N-1} λ_{k} * s_{i,k}, σ^+_{-i}) = u_{i} (σ''_{i},
σ^+_{-i})
(右辺) = u_{i} (∑_{k=0}^{N-1} λ_{k} * s_{i,k}, σ^+_{-i}) = u_{i} (σ'_{i},
σ^+_{-i})
となり、
u_{i} (σ''_{i}, σ^+_{-i}) > u_{i} (σ'_{i}, σ^+_{-i})
であり、σ'_{i} が強支配戦略であることに矛盾します。
ゆえに、σ'_{i}を構成する、s_{i,k}はすべて同じ効用を与えます。
すると独立性公理より、
u_{i} (σ'_{i}, σ_{-i}) = u_{i} (∑λ_{k} * s_{i,k}, σ_{-i})
= ∑λ_{k} * u_{i} (s_{i,k}, σ_{-i})
= u_{i} (s_{i,0}, σ_{-i})
= u_{i} (s_{i,1}, σ_{-i})
・・・
= u_{i} (s_{i,N-1}, σ_{-i})
これは、σ'_{i} が強支配戦略であることに矛盾します。
ゆえに、σ'_{i}が二つ以上の純粋戦略の混合戦略であるという仮定が誤りであり、
独立性公理を仮定すると、強支配戦略が存在するならば、それは純粋戦略、
となります。 - 230 ：takizawa：2006/05/16(Tue) 00:58 ◆MpyjNwOMVM
- すみません。
>>229u_{i} (s_{i,m}, σ^+_{-i}) > u_{i} (s_{i,k}, σ^+_{-i})
不等号の向きが逆でした。
u_{i} (s_{i,m}, σ^+_{-i}) < u_{i} (s_{i,k}, σ^+_{-i})
です。
申し訳ございません。 - 231 ：takizawa：2006/05/16(Tue) 00:59 ◆MpyjNwOMVM
- 229の３行目です。
- 232 ：名無しさんの冒険：2006/05/16(Tue) 11:33
- > ゆえに、σ'_{i}を構成する、s_{i,k}はすべて同じ効用を与えます。
これは嘘。たきざわさんの証明は
「2つ以上の純粋戦略 s_{i,k} が最大の効用を与える」ことしか導かない。
反例は、プレーヤー i の戦略が3つあって、そこから得られる効用が順に 1, 1, 0の場合とか。
>>223の修正方法（不等号に等号を含める）を明示的に書けば次のようになります：
ある σ^+_{-i} を固定する。
これに対する純粋戦略のうちでの最適反応のひとつを s_{i,m} とする。
独立性公理より、これは混合戦略を含めた場合の最適反応のひとつにもなっている。
よって、得られる効用は少なくとも σ'_i と同程度か、それ以上である。
これは σ'_i が支配戦略であることに矛盾する。
（σ'_i が純粋戦略でないので、σ'_i ≠ s_{i,m} であることに注意せよ。）
FTを一冊読んで、
「どんな戦略に対する最適反応にも純粋戦略が少なくともひとつ含まれる」という性質と、
それの正否が独立性公理に依存してることを理解してないのはヤバいですよ。 - 233 ：名無しさんの冒険：2006/05/16(Tue) 18:03
- 読み直してみたらたきざわさんの証明で正しいと思い直しました。ごめんなさい。
あるs_{i,m} (0 <= m <= N-1) が、ほかの「ある」 s_{i,k} (k≠m) に対して、
ってことですよね。 - 234 ：takizawa：2006/05/23(Tue) 02:14 ◆MpyjNwOMVM
- いえ、お忙しいところ、わざわざありがとうございます。
申したかったことは、
強支配戦略が存在して、独立性公理が成り立つなら、
①Figure 1.3の、UとMのような関係も存在してはいけない、
②σ'に強く支配される戦略が含まれてはいけない、
ですので、σ'を構成するN個の各純粋戦略は同じ効用を与えないといけない、
と言おうとしておりました。
それから、>>229のようなことがいえる、と申そうと思いました。
お手数おかけして申し訳ございません。 - 235 ：takizawa：2006/05/26(Fri) 05:52 ◆MpyjNwOMVM
- 度々申し訳ございません。
F-T、５章で引用されています、
Fudenberg,Levine,and Maskin(1994)Econometrica
"The Folk Theorem with imperfect Public information"
をお読みの方がいらっしゃいましたら、どうかお教えください。
２箇所意味がわからず悩んでおります。 - 236 ：takizawa：2006/05/26(Fri) 05:53 ◆MpyjNwOMVM
- p.1010
Lemma 4.2
any v∈W is in B(W,δ) for any δ∈(δ',1)
この4.2の証明で自信がない部分がございます。
よろしくお願い申し上げます。
W は 局所self-decomposable (すみません、訳語がわかりません)だから、definition4.2より、
割引因子 δ_{U} の W の開被覆Uをとることができる。
そして、U∧W ∈ B(W,δ_{U}) (すみません、一部、正確な記号が出せません)より、
この U は decomposable であり、だから、(4,1)を満たし、そのα_{U} はenforceable。
ここで、各U の δ_{U} のうち、最大値をδ'とおけば、
δ∈(δ',1) のとき、どんな v∈W も B(W,δ)に含まれる、すなわち、
decomposable なことを示す。
そうすれば、
decomposable = [B(W,δ) に含まれる]
であり、さらに、
p.1009 最終節より、W ∈ B(W,δ_{U}) なら、W は equilibrium payoffs から成り、
つまり、W ∈ E(δ) となり、Abreu, Pearce, and Stacchetti (1986, 1990) より、
それゆえ、W は PPE(その後のゲームにおいてNASH均衡) である。
ことが言える。
δ' は δ_{U} の最大値なので、δ' <= δ なら、どこの U においても δ はdecomposable の
条件を満たせる。
あとは、各 U (∈W) の w(y;δ_{U}) と、vの線形結合で w(y;δ) があらわされることを示せば
、w(y;δ) はdecomposable と示せる。
つまり、
W ∈ E(δ) が示せたことになる。
で、
To complete the proof, ... は、NASH均衡になっていることを確かめている、
という解釈でよろしいでしょうか？
ただ、(4.2)のすぐ前の、
We claim that any v ∈ W is in B(W,δ) for any δ∈(δ',1). To see this, の文は、vにつ
いて、線形結合になっているといっている文になっているような気がするのですが、どこか解釈
を間違えておりますでしょうか？
あと、式(4.2)は確かに
w(y;δ) = λ*v + (1-λ) * w(y;δ_{U})
の形になっておりますが、このλは天下り的ですが、どうやって導出したのでしょうか？ - 237 ：takizawa：2006/05/26(Fri) 05:54 ◆MpyjNwOMVM
- p.1012
Lemma 4.3の証明で、
w'(y) = v' + δ*(1-δ') / {δ'*(1-δ)} * [w(y) - w^{-}]
の次の文で、
computation verifies that α is enforceable with respect to δ' and P'
が導出できません。
その少し前の、
Clearly α is enforceable with respect to δ and any translate v' + P
はもちろん容易に導出できます。
v + δ* v' = (1-δ) * g + δ * (w + v')
∴v + v' = (1-δ) * (g + v') + δ * (w + v')
より、
P' = v' + P
が成立します。
F-T を読むときには、とても難しい本だと思いましたが、引用されている論文を読みますと、F-Tは
実は、わかりやすくまとめられている本なのだ、ということに気がつきました。
元の論文のあまりの難しさに卒倒しそうです。 - 238 ：takizawa：2006/05/26(Fri) 05:56 ◆MpyjNwOMVM
- いつもお世話になっているだけで申し訳ございません。
なにとぞよろしくお願い申し上げます。 - 239 ：takizawa：2006/05/26(Fri) 10:44 ◆MpyjNwOMVM
- すみません。
F-Tでp.192に引用されております。 - 240 ：名無しさんの冒険：2006/05/27(Sat) 11:20
- >>236
全体の流れはあってると思います。
(4.2)の前後は「v が δ_U のもとでdecomposableならば δ のもとでもdecomposable」を示したいわけです。
> w(y;δ_{U}) と、vの線形結合で w(y;δ) があらわされる
線形結合ではなく、凸結合ですね。係数が非負じゃなきゃいけない。
１．w(y;δ) は w(y;δ_U) と v の凸結合
２．W が凸集合
３．w(y;δ_U) と v は共に W の元
から w(y;δ) が W に含まれていることがわかります。
(4.2)の右辺の係数は、割引因子を δ_U から δ に変えた場合に、
総利得やインセンティブの条件（逸脱による短期的なゲインと長期的なロス）を
一定に保つように定められています。
「インセンティブの条件を一定に保つ」とは、次のことを意味します：
割引因子が δ_U で将来利得が w(y;δ_U) で与えられた場合に誰も逸脱するインセンティブを持たないならば、
割引因子が δ で将来利得が w(y;δ) で与えられた場合にも誰も逸脱するインセンティブを持たない。
(4.1)の不等号部分の話です。
v_i >= (1-δ_U) g_i(a_i,α_{-i}) + δ_U ∑_y π(y|a_i,α_{-i}) w_i(y;δ_U)
ならば
v_i >= (1-δ) g_i(a_i,α_{-i}) + δ ∑_y π(y|a_i,α_{-i}) w_i(y;δ)
が成り立つことをチェックしてみてください。
同じような議論で>>237の疑問も解決するはずです。
つまり、任意の α_i(a_i) > 0 となる a_i と任意の a_i に対して、
(1-δ) g_i(a_i,α_{-i}) + δ ∑_y π(y|a_i,α_{-i}) w_i(y)
>= (1-δ) g_i(a_i',α_{-i}) + δ ∑_y π(y|a_i',α_{-i}) w_i(y)
が成り立つならば、
(1-δ') g_i(a_i,α_{-i}) + δ' ∑_y π(y|a_i,α_{-i}) w_i'(y)
>= (1-δ') g_i(a_i',α_{-i}) + δ' ∑_y π(y|a_i',α_{-i}) w_i'(y)
が成り立つことをチェックしてみてください。
もし必要なら、APS（appendixは無視したほうがいいかも）や
Fudenberg and Levine, Efficiency and Observability in Games with Long-Run and Short-Run Players
Mailath and Samuelson, Repeated Games and Reputations: Long-Run Relationships
http://www.ssc.upenn.edu/~gmailath/book.html
を読んでみるといいかも。 - 241 ：名無しさんの冒険：2006/05/27(Sat) 11:22
- 誤：任意の a_i に対して
正：任意の a_i' に対して - 242 ：takizawa：2006/05/30(Tue) 03:27 ◆MpyjNwOMVM
- お忙しいところ誠にありがとうございます。
早速もう一度よく読みなおしてみます。 - 243 ：takizawa：2006/06/03(Sat) 09:10 ◆MpyjNwOMVM
- >>240
p.1010,p.1012はそういう意味だったのですね。お蔭様まで、おっしゃいますとおりにすぐに導出できました。
ありがとうございます。
本当にすみません。いつもお世話になっているだけで申し訳ございません。
私も、どこかの板でお役に立てないかがんばってみます。
全くわかっておらず申し訳ございません。
p.1021 Lemma 6.2のproofで
Now, any polynominal is either identically zero or else equals zero only on a finite set.
Thus the determinant...
①相手が混合戦略を取ったときの方が、相手が純粋戦略を取ったときよりもRankは大きい(か同じ)
②Rankは「yの数と、そのyを与える(i,j)の選択」に依存するので、determinantのxの多項式がゼロかどうかも、
「yの数と、そのyを与える(i,j)の選択」に依存する。
ということだと思うのですが、
any polynominal = 0
の部分とのつながりがわかりません。
submatrixではなく、matrixのdeterminant がゼロということでしょうか？
p.10171行目より、max Rank = m+n-1
ですので。
Thus...
は、Π_{i,j}(α_{k}^{i,j}) のdeterminant ≠ 0 より当然、ということでしょうか?
p.1022 since(i) α' was arbitrary and (ii)if Π_{i,j}(α^{i,j}) has full rank, then,...
は、Π_{i,j}(α^{i,j})のε近傍で、Π_{i,j}(α^{i,j})もfull rank というような解釈でよろしいでしょうか？ - 244 ：takizawa：2006/06/03(Sat) 09:20 ◆MpyjNwOMVM
- p.1023 Lemma 6.3
証明 by an argument essentially the same as that in Lemma 6.1, it follows that
C(a_{i}) is open and dense in A_{-i}
とありますが、これは、
C(a_{i})の閉包がA_{-i}と一致する
という意味でしょうか?
A_{-i} ≠ a_{i} に対する最適戦略
だと思いますので、最適戦略という定義にはなっていないと思いますので、
これはすなわち、
すべてのα_{-i}は(a_{i},α_{-i})が、individual full rankとなる、
という意味でしょうか?
なんとなく悩んでいるのですが、
p.1015 Hyper plane の定義は、
coordinate = v_{i} の係数が1
regular = v_{i} の係数が2以上
となっておりますが、
coordinate = v_{i} の係数が(n-1)以下
regular = v_{i} の係数がn
のほうが、しっくり来るような気がするのですが、あほな質問をしまして申し訳ございません。
お忙しい所、本当に申し訳ございません。
少しは私も皆様のように人の役に立つようなことができるようになりたいです。 - 245 ：takizawa：2006/06/03(Sat) 09:23 ◆MpyjNwOMVM
- すみません。
>>すべてのα_{-i}は(a_{i},α_{-i})が、individual full rankとなる
純粋戦略なら全部、階数がfullで、condition6.3から、ということでしょうか? - 246 ：takizawa：2006/06/03(Sat) 09:43 ◆MpyjNwOMVM
- 本当に、全くわかっていない質問を致しまして申し訳ございません。
p.1035 Appendix 2 の λ_{i}(a_{i}'') の定義がよくわからないのですが、
∑_{a_{i}''∈A_{i}''} λ_{i}(a_{i}'') * Π_{i}(a_{i}'') = Π_{i}(a_{i}') (A2.1)
ここのΠ_{i}(a_{i}'')は、
Π_{i}(a_{i}'') = π(・|a_{i}',a_{-i}) =
/ π(y_{1}|a_{i}',a_{-i}) /
| π(y_{2}|a_{i}',a_{-i}) |
| π(y_{3}|a_{i}',a_{-i}) |
| ・ |
| ・ |
| ・ |
/ π(y_{n}|a_{i}',a_{-i}) /
のような意味でしょうか?(すみません、大括弧がうまくかけません)
つまり、p.1014の Π_{i}(α_{-i}) とは、異なる定義でしょうか?
そうしますと、(A2.1)は、
a_{i}' のときにy_{1},y_{2},y_{3},・・・,y_{n}になる確率を、
a_{i}'' のときにy_{1},y_{2},y_{3},・・・,y_{n}になる確率の
線形結合で表せる。
その係数(定数)が λ_{i}(a_{i}'')
といっているのでしょうか?
さらに、(A2.1)の1行上の、
λ_{i}(a_{i}') = 0
とは、
∑_{a_{i}'∈A_{i}'} λ_{i}(a_{i}') * Π_{i}(a_{i}') = Π_{i}(a_{i}'') (*)
となる、λ_{i}(a_{i}') は存在しない、すなわち λ_{i}(a_{i}') = 0
という意味でしょうか?
右辺が Π_{i}(a_{i}')でしたら、λ_{i}(a_{i}') = 1 になってしまいます。
さらに、(A2.2)と(A2.3)の間の式の1行上の文中で
λ_{i}(a_{i}') ≠ 0
とありますので、(*)となる λ_{i}(a_{i}') が存在する、という意味でしょうか?
全くわからず申し訳ございません。
元論文をあたって見ます。
今度、>>240で紹介してくださった本を探して参ります。
いつもいつも申し訳ございません。 - 247 ：takizawa：2006/06/03(Sat) 09:44 ◆MpyjNwOMVM
- / π(y_{1}|a_{i}',a_{-i}) /
| π(y_{2}|a_{i}',a_{-i}) |
| π(y_{3}|a_{i}',a_{-i}) |
| ・・・・・・・・・・・ |
|・・・・・・・・・・・・ |
|・・・・・・・・・・・・ |
/ π(y_{n}|a_{i}',a_{-i}) /
すみません。行列です。 - 248 ：takizawa：2006/06/03(Sat) 09:45 ◆MpyjNwOMVM
- うまくかけません。
申し訳ございません。 - 249 ：名無しさんの冒険：2006/06/05(Mon) 23:49
- ＞①相手が混合戦略を取ったときの方が、相手が純粋戦略を取ったときよりもRankは大きい(か同じ)
これは正しくない。例えば、Y = {0,1} として、2x2対称ゲームで、
二人が同じ純粋戦略をとれば y = 0、そうでなければ y = 1、というシグナル構造を考える。
このとき、相手が50%-50%で混ぜる混合戦略をとっていれば、
自分の逸脱によってシグナルの分布は変わらない（Π_i(α_{-i})のランクが 1）が、
相手が純粋戦略をとっていれば、自分の逸脱はシグナルの分布を変える（ランク = 2）。
②は意味が分からない。
＞submatrixではなく、matrixのdeterminant がゼロということでしょうか？
submatrix のままでいいと思うけど。
Π_ij(α) は正方行列とは限らないので、行列式はそもそも定義できない。
行列 M のランクとは、M の kxk 部分行列のうち、
行列式が 0 になるようなものが存在する k の最大値、だよね。
Π_ij(α(1)) の (m_i + m_j - 1)x(m_i + m_j - 1) 部分行列で
行列式が 0 となるものが存在するので、そういう部分行列を選んできて、
その行列の行列式が x を動かしたときにどう変化するかを見る。
これが x の多項式になるのはOKですか？
じゃあ、それがゼロになるような x は有限個しかないよね。
（x の多項式でなければ、直ちに解が有限個といえるとは限らない。）
＞p.1022 since(i) α' was arbitrary and (ii)if Π_{i,j}(α^{i,j}) has full rank, then,...
＞は、Π_{i,j}(α^{i,j})のε近傍で、Π_{i,j}(α^{i,j})もfull rank というような解釈でよろしいでしょうか？
いいと思います。ここでは、Π_ij(α) の部分行列の行列式が
α の連続関数になっていることを使っています。 - 250 ：名無しさんの冒険：2006/06/05(Mon) 23:53
- ＞C(a_{i})の閉包がA_{-i}と一致する
それはdenseの定義ですよね。たきざわさんはopenを忘れてますけど、
FLMでもopenという条件はこの後で使われてないので、まあいいでしょう。
＞すべてのα_{-i}は(a_{i},α_{-i})が、individual full rankとなる
違います。「ある稠密な開集合 C(a_i) が存在し、そこに含まれるすべての α_{-i} に対して
(a_i,α_{-i}) がindividual full rankとなる」という意味です。
Condition 6.3 から、すべての純粋戦略 a_{-i} に対して (a_i,a_{-i}) がindividual full rankとなり、
あとはLemma 6.2の証明を真似て「ほとんどすべての」混合戦略に対しても成り立つことを示します。
（FLMにはLemma 6.1とあるけど、6.2の誤りだと思う。）
regular/coordinate hyperplane の定義はFLMに従ったほうがいい。
Lemma 5.3-5.5, Theorem 5.1 の証明を読めば、何故こう定義するのかが分かる。
Mailath-Samuelsonの本はまだ出来上がってないと思います。pdfをダウンロードしてください。
Π_i(a_i)は p.1014 の Π_i(α_{-i}) とは異なる定義だけど、
これは行列というか、単なるベクトルです。
λ_i(a_i') = 0 の付近は文字通り読んでください。
「ベクトルたちが線形従属なら、
あるベクトルがそれ以外のベクトルの線形結合で表される」
という主張の「それ以外」という部分をあらわしてるだけです。
(*)は完全に意味不明です。
「(A.2.1)の1行上」の a_i' と「(A.2.2)と(A.2.3)の間の式の1行上」の a_i' は無関係です。 - 251 ：takizawa：2006/06/06(Tue) 02:34 ◆MpyjNwOMVM
- 誠にありがとうございます。
早速読み直して参ります。
ネットカフェのため、タイムラグがありまして申し訳ございません。
今お返事できます、即答できますことは、
>>行列 M のランク
逆行列を出すときに、
独立な式がいくつあるか、
掃き出しなどの操作で、単位行列になる部分がいくつ残るか、
というような定義、と記憶しております。
すみません。もう一度念のため読み直して参ります。
ですので、
観測できる結果が、プレイヤーの取れる行動と同じ数だけあれば、
逆行列を求めて解を出せる、
という、数学的な手続き、と理解しておりますが、
あっておりますでしょうか。
すみません。
もう一度教わりましたことを踏まえてよく読み直して参ります。
いつも誠にありがとうございます。 - 252 ：名無しさんの冒険：2006/06/06(Tue) 06:18
- 行列のランクの定義には色々あります。
１．行列式が非ゼロとなる正方部分行列のサイズの最大値
２．一次独立な行ベクトルの個数の最大値
３．一次独立な列ベクトルの個数の最大値
４．線形写像とみなしたときの像の次元
５．掃きだし法によって残るノンゼロな要素の個数
今回は５ではなく１を使う、ということです。２の観点も重要です。
＞観測できる結果が、プレイヤーの取れる行動と同じ数だけあれば、
＞逆行列を求めて解を出せる、
まあ、偶然 Y のサイズが m_i + m_j - 1 と等しければ、それでいいでしょう。
でも、そうとは限らないので、一般には「部分行列」をとらないといけない。 - 253 ：名無しさんの冒険：2006/06/09(Fri) 07:29
- いつも誠にありがとうございます。
数学力が不足しておりご迷惑をおかけ致します。申し訳ございません。
すみません。p.1035～p.1036近辺が、まだ理解できません。
APPENDIX2の部分が全くです。もうしわけございません。
(A2.3)の上の式、
∑_{a_{i}''∈A_{i}''/a_{i}'} - λ_{i}(a_{i}'') / λ_{i}(a_{i}') * Π_{i}(a_{i}'')
= Π_{i}(A_{i}')
の意味がわかりません。
Π_{i}(a_{i}'') = π(・|a_{i}'',a_{-i})
Π_{i}(A_{i}') = π(・|A_{i}',a_{-i})
で、二つ目の式は、A_{i}'中のどのa_{i}'を代入しても成り立つ、という意味でしょうか？
p.1035 (A2.3)とその前の式から、p.1036の最初の２本の式が導出できません。
λ_{i}(a_{i}') / λ_{i}(a_{i}^) をかけただけというのがわかりません。
(A2.3)が成り立たないのならa_{i}'はsubordinateだし、(A2.3)が成り立つのなら、
a_{i}'の代わりにa_{i}^がsubordinateになる、という(1)の証明の部分です。
∑_{a_{i}''∈A_{i}''/a_{i}^} - λ_{i}(a_{i}'') / λ_{i}(a_{i}^) * g_{i}^(a_{i}'')
= g_{i}^(a_{i}^)
を、(A2.2)からどうやって導出するのかがわかりません。
p.1036 式(A2.4) (A2.5)の後、
(A2.4)に(A2.5)を代入すると、λ_{i}(・)が(A2.1)を満たすことがわかる：
∑_{a_{i}∈A_{i}''} λ_{i}(a_{i}) * Π_{i}(a_{i}) = Π_{i}(a_{i}')
が導出できません。
申し訳ございません。 - 254 ：takizawa：2006/06/09(Fri) 07:34 ◆MpyjNwOMVM
- すみません。トリップ間違えました。
確認をお願い致します。
p.1027 Definition 7.1 は、
public outcome y は、y=(y_{1},y_{2},y_{3},・・・,y_{n}) で、
各プレイヤー、1,2,3・・・nのベクトルとしてあらわされる、
という解釈でよろしいのでしょうか？
そうしますと、
p.1026 Theorem 6.5の
support π(・|a_{i}',a_{-i}) ∈ support π(・|a)
のsupportとは、いったい何を指すのでしょうか？
申し訳ございません。
お蔭様を持ちまして、ほかの部分はどうにか理解できたと思います。
よろしくお願い致します。 - 255 ：名無しさんの冒険：2006/06/10(Sat) 08:28
- >>253
(A.2.3)の上の式の右辺、A_i' は a_i' のタイポだと思います。
＞p.1035 (A2.3)とその前の式から、p.1036の最初の２本の式が導出できません。
＞λ_{i}(a_{i}') / λ_{i}(a_{i}^) をかけただけというのがわかりません。
両辺にそれをかけると、かけたものが負なので、不等号は反転する。
あとは、シグマの中から a_i'' = a_i^ の部分を取り出して右辺に移し、
逆に、もともとあった右辺を左辺に移し、シグマに統合する。
＞(A2.4)に(A2.5)を代入すると
x, y, z, w をベクトル、a, b, c, d, e をスカラーとして、
a x + b y + c z = w,
d x + e y = z
のとき、w を x, y の線形結合で表すことはできますか？
もしこれができたら (A.2.4), (A.2.5) から (A.2.1) も導けるはずです。
>>254
関数 f のサポート（台）とは、f(x) ≠ 0 なる x たちの閉包のことです。
http://mathworld.wolfram.com/Support.html
π(・|a) も Y 上で定義された実数値関数とみなせますよね。
（n 次元ベクトルは n 点集合上で定義された実数値関数とみなせます。）
π(・|a) は a のもとで正の確率で生じるシグナルたちの集合のことです。 - 256 ：takizawa：2006/06/13(Tue) 02:26 ◆MpyjNwOMVM
- すみません。いつもありがとうございます。
>関数 f のサポート
は岩波の数学辞典などで調べてみたのですが、この論文の場合に何をさすのかがわからず悩んでおりました。
申し訳ございません。
早速もう一度読み直します。誠にありがとうございます。
どなたか一緒にこの勉強会（？）に参加してくださいませんでしょうか？
いつもお手数をおかけしているようで心苦しいです。
申し訳ございません。
といいつつ本当に申し訳ございません。
本当に勉強なさっていらしてすごいですね。感嘆しております。
F-Tではp.176,177あたりになります。
Benoit and Krishna(1993) Econometrica, 61[2],pp.303-323
"Renigotiation in Finitely Repeated Games"
におきまして、
論文p.311 EXAMPLE5
R(2) = {(3,7)(4,4)(7,3)}
なのですが、
(3,7) = (0,6) + (3,1)
は、perfect equilibriumではないですので、P(T)ではなく、したがって、
Q(T)でもありませんから、R(T)にもならないと思うのですが、
なぜ、(3,7)がR(2)に含まれるのかがわかりません。
また、論文p.320 LEMMA3のsketch book of proofで
X(s)は増えるときはDとあるのですが、
p.320、2段落目の最後、
|X(T)-Y(T)| >= 1
ですので、さらに、
(a) all the payoffs are integers
とありますので、増分は1だと思うのですが、なぜ最大値のDが出てくるのかがわかりません。
EXAMPLEと、Appendixの難度のギャップがすごすぎます。
雑談で申し訳ございません。
F-Tのp.177の例では、パレートなパスから逸脱すると、
ペイオフが(5,5)(3,3)→(5.5,0)(2,4)で、
プレイヤー1のペイオフは、8→7.5と減るようになっています。
しかし、論文のほうのEXAMPLE3では、G(2)(2回繰り返しゲーム)のとき、
ペイオフが(7,7)(3,3)→(8,0)(2,4)
で、逸脱とpunishmentなパレートをしても、プレイヤー1のペイオフは10で変わりません。
論文中のp.307のQ(T)の定義でもそうなっていると思います。
やはり、強制力がない、とか、思い直したのでしょうか？
なんとなく面白く思いました。すみません。 - 257 ：名無しさんの冒険：2006/06/13(Tue) 05:23
- >>255
＞π(・|a) は a のもとで正の確率で生じるシグナルたちの集合のことです。
は「π(・|a) のサポートは…」の書き間違いです。すみません。
>>256
＞(3,7) = (0,6) + (3,1)
＞は、perfect equilibriumではない
完全均衡による利得になります。次のような戦略を考えてください。
1期目に(0,6)を取る。
2期目には、1期目にプレーヤー1が逸脱したなら(1,3)を、
そうでないなら(3,1)を取る。
"X(S) increases by D in the first component" とは、
X(S) と X(S) + u を比較して、X(S) + u のほうが X(S) よりも D だけ大きいという意味です。
ここでは、X(S) + u が Q(S + 1) の
パレートフロンティアにあることを示したいわけです。
背理法で示してみましょう。
今、S + 1 期間繰り返しゲームで、最初の期に u を、
その後に X(S) を取らせる均衡に注目しています。
もしこれをパレート支配する均衡があるならば、
プレーヤー1は X_1(S) + D 以上の利得を得なければいけません。
1期目に D より大きな利得を得るのは不可能(*)なので、
少なくとも第2期以降 X(S) よりも右下方向にある利得を得る必要があります。
あとは、論文の議論に従ってください。
(*)の箇所をよく考えれば、何故 u を D を用いて定義したのかが分かると思います。 - 258 ：名無しさんの冒険：2006/06/15(Thu) 07:31
- いまさらですが、誤植を訂正させてください。
>>249
＞行列 M のランクとは、M の kxk 部分行列のうち、
＞行列式が 0 になるようなものが存在する k の最大値、だよね。
「0以外」の間違いですね。>>252はあってるはずだけど。 - 259 ：takizawa：2006/06/16(Fri) 13:02 ◆MpyjNwOMVM
- いつもお世話になっております。
誠にありがとうございます。
すみません。不勉強なことと、学力不足なものでして、申し訳ないのですけれども、
①英語の解釈を間違えているのか、
②数学的な理解を間違えているのか、
③たまたま偶然誤植なのか、
が分からずいつも混乱しております。たいてい②のことが多いですけれども。
大変参考になりました。早速もう一度考えて参ります。 - 260 ：takizawa：2006/06/16(Fri) 13:20 ◆MpyjNwOMVM
- 度々申し訳ございません。
Benoit and Krishna(1993)におきまして、
p.1031の用語の定義が分からないのですが、
細かいことを申して大変申し訳ございません。揚げ足を取るわけではないのですけれども、
①(0,0)(1,2)(3,3) ← は not downward-sloping
②(0,0)(1,2)(2,1) ← は downward-sloping
downward-slopingの定義は、二本目の辺が右下がり、ということでしょうか？
逆に、一本でも右下がりがあるということでしょうか？
③(0,0)(-1,-2)(-2,-1)
④(0,0)(-1,-1)(-2,-3)
は、(0,0)だけが、適切な解ですが、どう解釈すればよろしいでしょうか？
もうひとつ大変申し訳ございません。確認をお願い致します。
Fudenberg, Levine, and Maskin (1994) Econometrica
"The Folk Theorem with Imperfect Public information"
におきまして、
p.1036の(A2.4)の前の式は、(A2.2)より、
∑_{a_{i}''∈A_{i}''} λ_{i}(a_{i}'') * g_{i}(a_{i}'') = g_{i}(a_{i}')
∑_{a_{i}''∈A_{i}''/a_{i}'} - λ_{i}(a_{i}'') / λ_{i}(a_{i}') * g_{i}^(a_{i}'')
= g_{i}^(a_{i}')
∑_{a_{i}''∈A_{i}''/a_{i}'} - λ_{i}(a_{i}'') * g_{i}^(a_{i}'')
= λ_{i}(a_{i}') * g_{i}^(a_{i}')
∑_{a_{i}''∈A_{i}''/{a_{i}',a_{i}^}} - λ_{i}(a_{i}'') * g_{i}^(a_{i}'')
- λ_{i}(a_{i}') * g_{i}^(a_{i}')
= λ_{i}(a_{i}^) * g_{i}^(a_{i}^)
∴∑_{a_{i}''∈A_{i}''/a_{i}^} - λ_{i}(a_{i}'') / λ_{i}(a_{i}^) * g_{i}^(a_{i}'')
= g_{i}^(a_{i}^)
という導出でよろしいでしょうか？
よろしくお願い致します。
いつも申し訳ございません。 - 261 ：名無しさんの冒険：2006/06/16(Fri) 16:21
- 前半も FLM に関する質問ですよね。
outer boundary, downward-slopingともに、定義に従ってください。
V や V* の定義も忘れずに。
①②はともに系9.1の仮定を満たしません。
（②だと(0,0)と(1,2)を結ぶ線分もouter boundaryだが、これは非効率な点を含む。）
②だとフォーク定理が示せますが、
それは FLM の条件が不必要に強いというだけです。
Mailath and Samuelson の該当する章と見比べてください。
http://www.ssc.upenn.edu/~gmailath/chapters-web/ch9.pdf
(A.2.4) の前の式は g_i^(a_i) の係数がちょっとおかしいですが、
やってることは次のようなことです。
ax + by + cz = w, a ≠ 0 ならば (-b/a)y + (-c/a)z + (1/a) w = x.
導出は自分で確かめてください。 - 262 ：takizawa：2006/06/16(Fri) 17:44 ◆MpyjNwOMVM
- いつも本当に申し訳ございません。
遅くなりまして申し訳ございません。
本日、Mailath and Samuelsonをダウンロード致しました。
誠にありがとうございます。
早速確認いたします。 - 263 ：takizawa：2006/06/18(Sun) 12:41 ◆MpyjNwOMVM
- 何度もたびたび申し訳ございません。まだ悩んでおります。
>>(A.2.4) の前の式は
∑_{a_{i}''∈A_{i}''/a_{i}^} - λ_{i}(a_{i}'') / λ_{i}(a_{i}^) * g_{i}^(a_{i}'') - g_{i}^(a_{i}^) = 0
∑_{a_{i}''∈A_{i}''/a_{i}^}
- λ_{i}(a_{i}'') / λ_{i}(a_{i}^) * g_{i}^(a_{i}'')
- λ_{i}(a_{i}'') / λ_{i}(a_{i}^) * g_{i}^(a_{i}^)
= 0
∑_{a_{i}''∈A_{i}''}
- λ_{i}(a_{i}'') / λ_{i}(a_{i}^) * g_{i}^(a_{i}'')
= 0
になってしまうと思うのですが。
申し訳ございません。わかりません。
もうひとつお願いいたします。
Benoit and Krishna(1993)
I.
①1期目に(0,6)、2期目に(3,1)がperfectなら、逆に、
②1期目に(1,3)、2期目に(3,1)は、perfectでない、
つまり、両立しないと思うのですが。
(0,6)から(1,3)に逸脱した場合、
②のperfectを狙ったものなのか、①からの逸脱なのか、判断がつかないと思います。
ほかの明らかにおかしなところへ逸脱した場合は、(6,0)、(3,1)を狙ったのだろうと思われるような、
プレイヤー1が、2番目のアクションを選択した場合ですが、
は、判断できると思いますけれども。
プレイヤー1にとって(そして、プレイヤー2にとって、にもなっておりますが)
(1,3) + (1,3) = (2,6) < (0,6) + (3,1) = (3,7)
だから、perfectという理屈はわかります。
II
同様に、
(6,0) + (0,6) + (1,3) + (3,1) = (10,10)
と、
(6,0) + (0,6) + (6,0) + (1,3) = (13,9)
(0,6) + (6,0) + (0,6) + (3,1) = (9,13)
は、両立できないのではないでしょうか？
(6,0) + (0,6) + (6,0) + (3,1) = (15,7)
(6,0) + (0,6) + (6,0) + (1,3) = (13,9)
は、最後の1回(4回目のゲーム)が、強制力がないですので、
Nashな(1,3)または(3,1)のどちらでも良い、ということでしょうか？
III.
同様にして、
(9,7) = (6,0) + (0,6) + (3,1)
(7,9) = (6,0) + (0,6) + (1,3)
も、最後の1回(3回目のゲーム)が、強制力がないですので、
Nashな(1,3)または(3,1)のどちらでも良い、ということでしょうか？
で、これらからの逸脱が、
(10,4) = (6,0) + (1,3) + (3,1)
なのでしょうか？
あと、X(n)の3つ目の項の定義は誤植でしょうか？
申し訳ございません。
なにとぞよろしくお願い申し上げます。 - 264 ：takizawa：2006/06/18(Sun) 12:42 ◆MpyjNwOMVM
- お手数おかけしましてまことに申し訳ございません。
- 265 ：名無しさんの冒険：2006/06/18(Sun) 14:13
- (A2.4)の手前の式は間違っていますが、
その後の "so a_i^ is subordinate to A_i''" は正しい主張です。
>>261を参考にして「正しい式」を導出してください。
「両立できない」は、その正確な意味は分かりませんが、
多分無意味なことを論じています。
①をサポートする均衡と②をサポートする均衡は無関係です。
それぞれがrenegotiation-proofな完全均衡でありさえすれば構いません。
異なる均衡下では、同じ逸脱を観察しても異なるpunishmentを引き起こしえます。
＞プレイヤー1にとって(そして、プレイヤー2にとって、にもなっておりますが)
＞(1,3) + (1,3) = (2,6) < (0,6) + (3,1) = (3,7)
＞だから、perfectという理屈はわかります。
これもまったく意味が分からないです。
(subgame) perfectとrenegotiation proofnessの定義を理解してください。
ある戦略の組が perfect であるとは、
どんな（逸脱を含んでもよい）歴史を観察した後でも
どのプレーヤーも一人だけ逸脱しようとは思わないことです。
Benoit and Krishna (1985) をお読みください。
ある戦略の組が T 回繰り返しゲームで renegotiation-proof な均衡であるとは、
１．長さ t ≧ 1 のどんな（逸脱を含んでもよい）歴史を観察した後でも、
T-t 回繰り返しゲームの renegotiation-proof な均衡を誘導していて、
２．１を満たすそれ以外の均衡にパレート支配されないこと、です。
＞最後の1回(4回目のゲーム)が、強制力がないですので、
＞Nashな(1,3)または(3,1)のどちらでも良い、ということでしょうか？
これも「強制力がない」の意味が分かりません。
最後の期にパレート支配されない Nash ならばどれでもいいのはあたりまえです。
X(n) は誤植っぽいですが、どう直せばいいのかはよく分かりません。
たきざわさんはどうすればいいとお考えですか？ - 266 ：takizawa：2006/06/20(Tue) 02:57 ◆MpyjNwOMVM
- お忙しいところいつも誠にありがとうございます。
>>X(n) は誤植っぽいですが、どう直せばいいのかはよく分かりません。
>>たきざわさんはどうすればいいとお考えですか？
自分でもまじめに考えます。
ただ、論文中に示されている例R(1),R(2),R(3),R(4)
を満たすようなX(n)が導出できず、
また理論を理解ができておりませんでしたため、
R(5)以降を実際に戦略を考えて導出することも、
できずにおりました。
申し訳ございません。
これから、教わりましたことを元に、もう一度考えます。
本当に申し訳ございません。 - 267 ：takizawa：2006/06/23(Fri) 00:37 ◆MpyjNwOMVM
- いつも誠に申し訳ございません。
ごちゃごちゃ書きまして申し訳ございませんが、
なにとぞよろしくお願い申し上げます。
Benoit and Krishna(1993)におきまして、
p.307のQ(T)の定義で、all continuation payoffsのG(T-1)のくだりが、
先を切り取った最後の１回なのか、
最初の１回なのかですら悩んでおりました。
最後の１回でよいと思いますが、あっておりますでしょうか？
また、Benoit and Krishna(1993)におけます、Perfectとは、
subgame perfect
と、
trembling-hand perfect equilibrium in the agent-strategic form
の両方をあわせたものという解釈でよろしいでしょうか。
ただ、F-T8章は、incomplete informationですが、trembling-hand PE...は
completeな例しか出ていないと思います。それで、自信がありません。
EXAMPLE3は、たまたま、
P(2) = Q(2)
となっただけでしょうか？ - 268 ：takizawa：2006/06/23(Fri) 00:49 ◆MpyjNwOMVM
- EXAMPLE5につきましてですが、
2期目+1期目で表記しまして、
Q(3)=
subgame-perfectなもの
(1,3) + (3,7) = (4,10)
(3,1) + (3,7) = (6,8)
(1,3) + (4,4) = (5,7)
(3,1) + (4,4) = (7,5)
(1,3) + (7,3) = (8,6)
(3,1) + (7,3) = (10,4)
trembling-hand PE...なもの
(6,0) + (3,7) = (9,7)
(6,0) + (4,4) = (10,4)
(0,6) + (7,3) = (7,9)
(0,6) + (4,4) = (4,10)
の結果、
R(3) =
(4,10)
(7,9)
(9,7)
(10,4)
でしょうか。
さらに、
Q(4)=
subgame-perfectなもの
(1,3) + (4,10) = (5,13)
(3,1) + (4,10) = (7,11)
(1,3) + (7,9) = (8,12)
(3,1) + (7,9) = (10,10)
(1,3) + (9,7) = (10,10)
(3,1) + (9,7) = (12,8)
(1,3) + (10,4) = (11,7)
(3,1) + (10,4) = (13,5)
trembling-hand PE...なもの
(6,0) + (4,10) = (10,10)
(6,0) + (7,9) = (13,9)
(6,0) + (9,7) = (15,7)
(0,6) + (10,4) = (10,10)
(0,6) + (9,7) = (9,13)
(0,6) + (7,9) = (7,15)
の結果、
R(4) =
(10,10)
(13,9)
(15,7)
(9,13)
(7,15)
でしょうか。
また、
Q(5)=
subgame-perfectなもの
(1,3) + (10,10) = (11,13)
(3,1) + (10,10) = (13,11)
(1,3) + (13,9) = (14,12)
(3,1) + (13,9) = (16,10)
(1,3) + (15,7) = (16,10)
(3,1) + (15,7) = (18,8)
(1,3) + (9,13) = (10,16)
(3,1) + (9,13) = (12,14)
(1,3) + (7,15) = (8,18)
(3,1) + (7,15) = (10,16)
trembling-hand PE...なもの
(6,0) + (10,10) = (16,10)
(6,0) + (13,9) = (19,9)
(6,0) + (7,15) = (13,15)
(6,0) + (9,13) = (15,13)
(0,6) + (10,10) = (10,16)
(0,6) + (9,13) = (9,19)
(0,6) + (15,7) = (15,13)
(0,6) + (13,9) = (13,15)
の結果、
R(5) =
(16,10)
(10,16)
(19,9)
(13,15)
(15,13)
(9,19)
でしょうか。
で、これが正しければ、
X(n) の3項目 = (6n+7, 12n-9)
だとは思ったのですが、ただし、R(3)で、(13,3)が出てきてしまい、成立しません。
細かいことを申して申し訳ございません。 - 269 ：takizawa：2006/06/23(Fri) 01:01 ◆MpyjNwOMVM
- おっしゃるとおり前の論文を孫引きしております。
Benoit and Krishna(1985)におきまして、
p.911におけます、
Lemma 3,2の次の節の、
player specific worst perfect equilibria of G(T) and the associated payoffs, w_i(T)
と、
THEOREM 3.4におけます、
(a^1, a^2, ..., a^T)∈P(T) is the worst perfect equilibrium path for player i
and (u_i^1, u_i^1,...,u_i^1) is the associated path of i's payoffs (u_i^t = U_i(a^t)))
の違いも、
perfect equilibrium と、subgame perfect equilibrium でしょうか？
いつもお手数おかけして誠に申し訳ございません。
貴殿がF-Tのみならず、引用されているすべての論文までも読破し完全に理解していらっしゃり、
いつも感服致しております。
お手を煩わせまして誠に申し訳ございません。
ふざけているようで申し訳ございませんが、不快感を感じられましたら申し訳ございません。
どうぞお許しください。
貴殿がここまで読まれている、ということは、この部分ではもう論文を書ける見込みは薄いということでしょうか？
金融工学で、無裁定条件、とか申しながら、人のやっていない論文を囲うとしていることに、いつも、
われながら、面白みを感じてしまう今日この頃です。
確率統計の教科書でも、ご存知とは思いますが、有名な統計学者の言葉として、
「道に落ちていた金貨を拾おうとしていた子供に向かって、金貨だったらもう拾われているはずだからそれは金貨ではない」
という言葉が、昔、載っておりました。
思い出すたび、なんだか、おかしいです。
お忙しい所、誠に申し訳ございません。 - 270 ：takizawa：2006/06/23(Fri) 01:03 ◆MpyjNwOMVM
- すみません。少し文章が妙でした。
>金融工学で、無裁定条件、とか申しながら、人のやっていない論文を囲うとしている
書こう
>「道に落ちていた金貨を拾おうとしていた子供に向かって、金貨だったらもう拾われているはずだからそれは金貨ではない」
>「道に落ちていた金貨を拾おうとしていた子供に向かって、金貨だったらもう拾われて>いるはずだからそれは金貨ではない」
道に落ちていた金貨を拾おうとしていた子供に向かって
「金貨だったらもう拾われているはずだからそれは金貨ではない」
と言ったそうです。
と言う言葉が載っておりました。
です。 - 271 ：名無しさんの冒険：2006/06/26(Mon) 16:39
- Q(T) の定義では、
G(T-1) は最初の期を除く2期目からT期目までのゲームです。
G(T)のゲームツリーを頭に描いてください。
最初の期の結果が決まったあとから始まるゲームツリーは、
G(T-1)のゲームツリーと同じ構造をしているはずです。
EXAMPLE3では確かに P(2) = Q(2) となっています。
これは「たまたま」というよりも、
P(1) = R(1) （one-shotゲームのどの二つの均衡も
パレートの意味で比較できない）からの帰結です。
今回は、perfectはsubgame perfectのことだと考えていいと思います。
（trembling-hand perfectでも、そんなに結果は違わないはずですが。）
>>268は残念ながら意味が分かりません。
何かsubgame perfectを誤解してませんか？
例えば Q(3) に (9,7) が含まれるのは次のような理由からです。
第一期目に (6,0) を取る。
もしプレーヤー2が指示通りの行動を取っていれば、
2期目以降、R(2) で (3,7) をもたらすような戦略に従う。
そうでなければ、
2期目以降、R(2) で (4,4) （(7,3)でもいいですが）を
もたらすような戦略に従うことで、プレーヤー2に罰を与える。 - 272 ：takizawa：2006/06/27(Tue) 02:17 ◆MpyjNwOMVM
- 申し訳ございません。
どうも全く理解ができておりませんでしたようです。
もう一度よく読みなおして参ります。 - 273 ：takizawa：2006/06/27(Tue) 02:50 ◆MpyjNwOMVM
- すみません。
記憶で書いておりますので間違えておりましたら申し訳ございません。
もう一度、F-Tの該当箇所をよく読みなおして参ります。
間違えておりましたら誠に申し訳ございません。
ただ、subgame-perfectは、後ろ向きに、backwardに解いていって、
毎回、ナッシュ均衡になっていることでしたと記憶しております。
で、perfect equilibriumは、ナッシュ均衡のうち、
均衡パスから逸脱したりなどした場合に、
そのノードに到達したときにありえない、選択をしたりするはずのない、
選択肢を除外したものだったと思います。
で、たとえば、最後の一回の繰り返しゲームを除いて
それまでは協力をする協力解などは、subgame-perfectでは除外されます。
punishment戦略が働くからです。
ですので、subgame-perfectだけでは、協力解を導出できないと考えました。
説明が下手で申し訳ございません。 - 274 ：名無しさんの冒険：2006/06/27(Tue) 23:07
- たきざわさんのsubgame-perfectとperfect equilibriumに関する説明は、
両方ともsubgame-perfectの説明として正しく、
同じことを違った言い方で書いてるだけです。
（trembling-hand perfectの説明としては少し間違っていますが、
定義の違いは小さいので、ここでは問題にならない程度に正しいです。）
＞で、たとえば、最後の一回の繰り返しゲームを除いて
＞それまでは協力をする協力解などは、subgame-perfectでは除外されます。
ここが間違ってます。
stage gameの均衡利得が一意ならばそういうことは言えますが、
そうでない場合（そして、BKは主にそうでない場合に興味があります）は、
「協力解」は除外されません。 - 275 ：takizawa：2006/06/30(Fri) 10:23 ◆MpyjNwOMVM
- すみません。いつもお世話になっております。
勉強不足で誠にお恥ずかしいです。
結論から申しますと、間違いに気がつきました。
ただ、一部まだ、理解に自信がございません。何卒よろしくお願い申し上げます。
貴殿は、今すぐお手元には、もうお持ちではないかもしれませんが、
ギボンズ(日本語版)p.81の説明を読んで理解致しました。
繰り返しゲームの場合、
"段階ゲーム(1回限りのゲーム)においてナッシュ均衡が複数個存在するなら"
協力解は存在しました。
もし、
第１段階でAというある結果が発生すると予想したら、第2段階でBを、
第１段階でA以外の結果なら、第2段階でCを、
とる、という戦略を考えます。
ここで、B,Cはナッシュ均衡です。
すると、この結果は、subgame perfect(SPE)です。
少し、つまらない言い訳をさせて頂きますと、
理解があいまいのまま、F-Tのp.111の、
"囚人のジレンマではお互い裏切るという戦略しか存在しない。
backwardで考えると、SPEは段階ゲームの裏切りが反復される。"
という部分を読みましたので、SPEは、毎回裏切るのものとなんとなく思い込んでおりました。
F-Tにも、p.112～p.113にちゃんと、協力が発生するSPEの例が出ておりました。
申し訳ございません。 - 276 ：takizawa：2006/06/30(Fri) 11:00 ◆MpyjNwOMVM
- 誠に申し訳ございませんが、確認をさせてください。
論文やF-Tにもナッシュ均衡が複数存在する場合、と書いてありました。
ただ、まだ理解できていない点がございます。
教えて頂きました例や、ギボンズの例では、
"あるひとつの戦略"と、"それから逸脱したときの戦略"
の二つだけからなっております。
ところが、
Benoit nad Krishna(1993)EXAMPLE4のような場合、
G(3)におきまして、
1回目の段階ゲーム、と、R(2)の選択を次のようにしますときに、
(11,11)→(8,8)
(12,0)→ (6,14)
(0,12)→ (14,6)
(6,2) → (6,14)
(2,6) → (14,6)
その他に逸脱した場合、
(6,14)あるいは、(14,6)、(8,8)で、
1回目の段階ゲームの逸脱で利益を得た側を少なくする、
をとる、
という戦略は、
Q(3)のひとつの解、(19,19)というナッシュを得ることができます。
これは、以前教えて頂いたことなのかもしれませんが、
(12,0)
プレイヤー1が1回目の段階ゲームで、(11,11)から逸脱したものなのか、
(12,0)→ (6,14)
という均衡パスに従ったものなのかが分からないと思うのですが。
同時手番(動学)ゲームの時には、
相手の取る戦略、と申しますか、お互いのとる戦略に対し、
(common) belief が必要、
ということでしょうか?
例えば、
クールノー均衡なら対称な戦略をとる、
F-T,p.94,Figure3.15の例なら、プレイヤー2がCとDを等確率でとる
ということが、(common) belief になっていないといけない、ということでしょうか? - 277 ：takizawa：2006/06/30(Fri) 11:30 ◆MpyjNwOMVM
- さらに、
Benoit nad Krishna(1993)EXAMPLE4のG(3)におきまして、
Q(3) = (20,8),(8,20)
は、
(11,11)→(8,8)
(12,0) → (8,8) 逸脱したら、(14,6)で罰する、
(0,12) → (8,8) 逸脱したら、(6,14)で罰する、
(6,2) → (8,8) 逸脱したら、(14,6)で罰する、
(2,6) → (8,8) 逸脱したら、(6,14)で罰する、
その他に逸脱した場合、
(6,14)あるいは、(14,6)、(8,8)で、
1回目の段階ゲームの逸脱で利益を得た側を少なくする、
をとる、
これで、3回の繰り返しゲームを足し合わせた
(と申しますか、1回の繰り返しゲームとR(2)のペイオフを足し合わせました)
表から、ナッシュは、(20,8)、(8,20)となります。
ただこの場合、プレイヤー1の(12,0) → (8,8)からの逸脱をpunishできませんが、
これは(12,0)がプレイヤー1に最高のペイオフを与えますので、
逸脱する気が起きないから、という解釈でよろしいのでしょうか?
もう一通りの導出方法は、
(11,11)→(8,8)
(12,0) → (8,8) 逸脱したら、(6,14)で罰する、
(0,12) → (8,8) 逸脱したら、(14,6)で罰する、
(6,2) → (0,12) 逸脱したら、(8,8)で罰する、
(2,6) → (12,0) 逸脱したら、(8,8)で罰する、
その他に逸脱した場合、
(6,14)あるいは、(14,6)、(8,8)で、
1回目の段階ゲームの逸脱で利益を得た側を少なくする、
をとる、
ですが、このときは、(20,8)、(8,20)はナッシュにならなくなります。
(12,16)と(16,12)になってしまいます。
ですので、(20,8)の導出があっているか自信がございません。
解釈を間違えておりますでしょうか?
申し訳ございません。
何卒よろしくお願い申し上げます。
囚人のジレンマでは、one-shotゲームのナッシュが1つしかないからでpunishmentができないから、
ということだということは分かりました。 - 278 ：名無しさんの冒険：2006/06/30(Fri) 15:50
- >>276
（多分、たきざわさんは部分ゲーム完全均衡の定義を少し誤解してるだけなのですが、
そういうことを指摘するだけならアレなので、少しもってまわった回答をしてみます。）
たきざわさんの論点は、
１．ゲーム理論の基礎付けの議論としては大事な論点の1つですが、
２．応用（ナッシュ均衡（の精緻化たち）を前提とした分析）では、通常問題視しません。
今回の例で言えば、
「お互いのとる戦略に対し、(common) beliefが必要」は、問題のある仮定ですが、
繰り返しゲームや再交渉といった論点の中で取り立てて議論する必要が感じられないので、
とにかく仮定してしまって議論を進めましょう、ということです。
もしこの仮定が嫌いならば、部分ゲーム完全均衡を使わず、
Bernheim (1984), Pearce (1984)のrationalizabilityや、
その「部分ゲーム完全」バージョンを使ってください。
（rationalizabilityの元でBenoit+Krishnaの類似物が得られるかどうかは知りません。）
ゲーム理論の基礎については、Aumann and Brandenburger (1995)を参照してください。
ナッシュ均衡を用いて分析を行うために必要な仮定が何であるかを明らかにした論文です。
>>277
(20,8)は、第1期目に(12,0)を取り、
第1期目に逸脱がない、あるいはプレーヤー1だけが逸脱したなら、それ以降(8,8)を、
プレーヤー2が逸脱したなら、それ以降(14,6)を取るという戦略でサポートできます。 - 279 ：名無しさんの冒険：2006/06/30(Fri) 15:56
- >>276
>教えて頂きました例や、ギボンズの例では、
>"あるひとつの戦略"と、"それから逸脱したときの戦略"
>の二つだけからなっております。
これは一般には成り立ちません。
Abreuの初期の論文をいくつか読むと分かりますが、
N人完全モニタリングの繰り返しゲームの均衡戦略は、
「基本となる行動のパス」と「プレーヤーiが逸脱したときの行動のパス」の
N+1 個のパスからなる（としても一般性を失わない）ことが知られています。 - 280 ：takizawa：2006/07/04(Tue) 02:22 ◆MpyjNwOMVM
- いつも申し訳ございません。
もっとよく読んでまいります。
>>N+1 個のパスからなる（としても一般性を失わない）ことが知られています。
言われて見ますと、どこかでこの定義を読んだような気が致します。
申し訳ございません。もう一度よく読みます。
>>trembling-hand perfectの説明
は、F-T,p.351-p.355,にありますように、
strategic form で導出したナッシュのうち、ありえないものを排除するのが目的で、
均衡パスから逸脱したときにも、そのノードにおいてプレイヤーは最適な選択をするはずだ、
という考えに基づきます。
その結果導かれたのが、ε-perfect(trembling-hand) Perfect Equilibriumとなります。
さらに、tremblingの仕方が、ある人一人だと、相関してしまう可能性があります。
そこで、各逸脱のしかたが独立になるように、つまり、別人が選択をしている、
としたのが、agent-strategic form の trembling-hand PE となります。
で、これを一般にPEの定義とします。
という解釈でよろしいでしょうか。
お手数おかけして申し訳ございません。 - 281 ：名無しさんの冒険：2006/07/04(Tue) 03:30
- Abreuの結果は、FT, 5.1.3, pp160-165を読んでください。
PEの説明は大体あってますが、そんな細かいことは、今回は関係ありません。
話をそらさず、SPEだけに注目してください。
（それに、「均衡パスから逸脱したときにも、
そのノードにおいてプレイヤーは最適な選択をするはずだ、という考えに基づく」
のは、SPEでもbackward inductionでも同じことなので、SPEとの違いを説明できてません。
PEとSPEの主な違いは、弱支配される戦略を排除するかどうか、です。）
たきざわさんは、おそらくSPEの概念は理解しているのでしょうが、
BKに関する説明を見る限り、SPEの計算方法を理解しているとはいいがたいです。
同時手番があろうとなかろうと、複数均衡があろうとなかろうと、
小さい部分ゲームから順々に解いていくだけなのですが。 - 282 ：takizawa：2006/07/07(Fri) 10:52 ◆MpyjNwOMVM
- お手数をおかけして申し訳ございません。
恥の上塗りのようで大変お恥ずかしいですが、
Back Ward(BK?)は、
最後の節において、最適な行動を選択し、
それを順々にひとつづつ戻っていく、
という理解でよろしいでしょうか？
逆説的な言い方をしますと、
チェーン・ストア・パラドックス、において、最適な解を出せない、
ものが、BKでしょうか？
I人協力ゲームのような、参加人数が多い場合もBKでは、不安です。
これに対し、各サブゲーム(情報集合がひとつ)を、
後ろ向きに、順々に、ナッシュになるようにするのが
SPEでしょうか?
おっしゃいますとおり、理屈はわかっているつもりなのですが、実際ではどう計算するのか、
といわれますと、心もとないです。
やはり、練習問題などをたくさん解いていないと難しいです。
おかげさまをもちまして、
Benoit and Krishna (1993)
>>"X(S) increases by D in the first component" とは、
>>X(S) と X(S) + u を比較して、X(S) + u のほうが X(S) よりも D だけ大きいという意味です。
ここの部分をようやく理解できました。
誠にありがとうございます。申し訳ございません。
B^1、B^2が、Rに含まれるうちでは、
プレイヤー1、プレイヤー2、にとって、それぞれ、
最も外側の、と申しますか、最大のペイオフを与える点で、
さらに、Dは、1回ゲームにおける、最大のペイオフ、
ということだったわけですね。
このことから、
Dを与える戦略をとったときがもっとも最大で、
B_1、B_2という領域から飛び出すのは矛盾だ、
という解法をとっているということが理解できました。
ようやく理解できました。
Lemmma3, Lemma4も基本は同じ解法でした。
今は、その続きの部分の、p.321～p.322、Proof of Thorem 3, Case IIA,
を悩んでおります。
新たに、L'や、L''などを次々定義していきますが、これも、
最大値や領域に制約を加えるために、設定された定義でしょうか。 - 283 ：takizawa：2006/07/07(Fri) 10:53 ◆MpyjNwOMVM
- >>Abreuの初期の論文をいくつか読むと分かりますが、
>>N人完全モニタリングの繰り返しゲームの均衡戦略は、
>>「基本となる行動のパス」と「プレーヤーiが逸脱したときの行動のパス」の
>>N+1 個のパスからなる（としても一般性を失わない）ことが知られています。
今、関連する部分を探しておりますが、
F-T、p.157で、ペイオフがfull-dimensionのとき、
(プレイヤーの人数と、ペイオフの次元が一致するとき)
folk theorem が成り立つ、
punishmentに従ったプレイヤーたちに報いるために、プレイヤー人数分の戦略が必要、
F-T,p.161、
逸脱したプレイヤーをpunishするための、人数分のworst SPEが必要。
が関連しますでしょうか。
Benoit and Krishna (1987)でも、少し触れられているようです。只今読んでおります。
手間取って申し訳ございません。 - 284 ：takizawa：2006/07/11(Tue) 02:58 ◆MpyjNwOMVM
- 度々申し訳ございません。
>>Abreuの初期の論文をいくつか読むと分かりますが、
>>N人完全モニタリングの繰り返しゲームの均衡戦略は、
>>「基本となる行動のパス」と「プレーヤーiが逸脱したときの行動のパス」の
>>N+1 個のパスからなる（としても一般性を失わない）ことが知られています。
Benoit and Krishna (1985)
p.919 F. A Limit Perfect Folk Theorem
Theorem 3.7に、
プレイヤー人数とdimensionが同じ数あり、
Nashが各プレイヤーに2つずつある、
なら、Folk Theorem が成立する、
とあります。
今の所ここまでしか見つかりません。 - 285 ：takizawa：2006/07/14(Fri) 11:12 ◆MpyjNwOMVM
- お忙しいところ誠に申し訳ございません。いつもお世話になっております。
以前ご紹介して下さいました、
Abreu, Milgrom and Pearce (1991) Econometrica
"Information and iming in Repeated Partnerships"
におきまして、定義の理解に自信がないのですけれども、次のような解釈でよろしいでしょうか。
ペイオフは連続的に発生
tの間は、actionを変えられない
その間に、K個のシグナルを受け取る
p:２人が協力のときに、２人協力だった(C,C)とシグナルされる確率
q:１人がdefectのときに、２人協力だった(C,C)とシグナルされる確率
α:次の(t時間経過後)actionをdefectする確率
で、(3')式は、
g * (1- e^{-rt}) <= e^{-rt} * ∑_{k=1}^{K} v * (1-α_{k}) * (p_{k} - q_{k})
の間違いだと思うのですが、
v=π
になる条件、および、
(3') in LP が束縛条件
になる条件
がわかりません。
申し訳ございませんが、よろしければ、なにとぞご指導ください。
よろしくお願い申し上げます。 - 286 ：名無しさんの冒険：2006/07/15(Sat) 11:56
- (3')はタイポじゃないです。
∑_k (p_k - q_k) = 0 となるので、たきざわさんの式と一致します。
（p も q も確率なので、足し合わせると共に1。）
不完全情報なので、v=π とするのは無理です。
もし達成できたとしたら、どのようなシグナルが発生したとしても
今後の continuation payoff を v=π としなきゃいけない
（短期の最大利得 が π のとき、長期的に π を得るためには、
すべての時点で確率1で π が達成されなければいけない）のですが、
これではインセンティブのほうに問題が生じてしまいます。
Fudenberg-Levine-Maskin の Thm 6.5 は、このあたりの問題の一般化なので、参照してください。
最適な v においては(3')がバインドする理由は、AMP の説明では分かりにくいですね。
(3') がバインドしなければ、α_k のうち 0 より大きいものがいくつかあるので、
それらを 0 に近づけることによって、(2) により、v を上げることができます。 - 287 ：takizawa：2006/07/18(Tue) 02:04 ◆MpyjNwOMVM
- いつも本当にありがとうございます。
お教えくださいまして感謝しております。
>>(3')はタイポじゃないです。
すみません。おっしゃるとおりでした。
今すぐ確認できました。
>>Fudenberg-Levine-Maskin の Thm 6.5 は、このあたりの問題の一般化なので
ありがとうございます。早速確認してみます。
>>最適な v においては(3')がバインドする理由
文章が不明瞭で申し訳ございません。
p.1717に、最後の３行ですが、
”仮定よりpは全て非ゼロですから、v=πとなる均衡はない。”
”だから、(3')が束縛条件になる。”
と書いてあると思うのですけれども、
v=πのとき、pはゼロではないものも存在する、
となり、(2)式におきまして、α_kを全てゼロとすれば、v=πです。
このとき、"α_kを全てゼロ"は、Tit for Tat 戦略になっていると思います。
で、
>>（p も q も確率なので、足し合わせると共に1。）
が理解できておりません。
勘違いしておりましたようです。
t時間たって、次にactionを変更できるときに、
defectする確率がαで、
各α_kに対して、つまり、各裏切る確率に対して、
発生確率p_kが割り振られている、
という意味でしょうか。
つまり、たとえば、
次の期間、
α=(１０％、２０％、３０％、３５％、５５％)
の確率で裏切るとして、
それぞれが発生する確率が、
p=(１０％、１０％、１０％、３５％、３５％) （合計１００％）
ということでしょうか。
ちょっと意味を勘違いしておりました。
申し訳ございません。
いつもお忙しい所誠にありがとうございます。
本当に申し訳ございません。 - 288 ：名無しさんの冒険：2006/07/18(Tue) 14:25
- >このとき、"α_kを全てゼロ"は、Tit for Tat 戦略になっていると思います。
"α_kを全てゼロ" はSPEではありません。
どんなシグナルが出ても罰しないのだから、
協調するためのインセンティブが全くなくなります。
（このことは、(3)や(3')を満たさないことからも機械的にチェックできます。）
"α_kを全てゼロ" がどういう意味で TfT と呼べるのか僕には分かりません。
ただし TfT も（genericには）SPE ではありません。
これは TfT が（進化ゲーム、実験、計算機畑の人と違って）
伝統的なゲーム理論家の間であまり人気がない理由のひとつです。
シグナルは 1 から K まで K 個あり、
k 番目のシグナルが発生する確率が p_k や q_k です。
（k は FLM でいう y で、p_k や q_k は FLM の π_y(a) です。）
α_k は k 番目のシグナルが発生したことを条件として (D,D)-均衡に移る確率です。
α_k は条件付確率だと思ってください。
FLM でいえば、α(y)(D) みたいなものです。
α は trigger strategy のような戦略をひとつ定めます。
このような戦略だけに注目しても（強対称均衡の範囲内で）一般性を失いません。
これは bang-bang property と呼ばれ、APS が証明しています。 - 289 ：takizawa：2006/07/21(Fri) 11:42 ◆MpyjNwOMVM
- いつも申し訳ございません。すみません。
>>シグナルは 1 から K まで K 個あり、
>>k 番目のシグナルが発生する確率が p_k や q_k です。
これをようやく理解できましたが、間に合いませんでした。
いつも申し訳ございません。
>>"α_kを全てゼロ" はSPEではありません。
はい、おっしゃるとおりです。
(3)では、v = π + g
になってしまいますし、
(3')では、(左辺) <= 0
になりました。間違えておりました。
以前、
研究は、その分野では指導教官よりも詳しくなるくらいでないとだめだ、
と教わったことがございます。
ここに参りまして、貴殿を見まして、意味を理解したような気がします。
今更遅いですが、研究をいい加減に考えておりました。
反省しております。 - 290 ：takizawa：2006/07/21(Fri) 11:56 ◆MpyjNwOMVM
- 本当に初歩的なことをお聞きして申し訳ございません。
p.1721中段におきまして、
r * g < α_1 * (μ - λ) * π * r / ( r + α_1 * λ)
は、どのように導出するのでしょうか。
１度だけ裏切った場合を、従った場合が上回るようにすることから、
r(π+g) + r ∫_0^∞ π exp(-rt) exp(-α_1 μ t) dt
<=
rπ + r ∫_0^∞ π exp(-rt) exp(-α_1 λ t) dt
だと思うのですが、これを計算しますと、
r * g < α_1 * (μ - λ) * π * r / (( r + α_1 * λ)( r + α_1 * μ))
となってしまいました。
もう一度考えて参ります。 - 291 ：名無しさんの冒険：2006/07/24(Mon) 08:22
- >>290
たきざわさんの左辺第二項は、
永久に誰かが裏切り続けた場合の将来利得を計算しています。
でも、今回必要なのは、1度だけ裏切ることの便益とコストの比較です。
つまり、次の１と２を比較します。
１．ちょっとの間（[0,t] の間）だけ裏切ったことによる利得の増分 rgt と、
２．ちょっとの間だけ裏切ったことによる
２．１．その期間のシグナルの発生確率に与える影響 μt - λt、
２．２．シグナルが punishment を導く確率 α1、
２．３．punishment による長期的ロス π * r / ( r + α_1 * λ)
（punish されなかったら得られたであろう将来利得）
を掛け合わせたもの。 - 292 ：takizawa：2006/07/25(Tue) 03:54 ◆MpyjNwOMVM
- すみません。ありがとうございます。
早速戻りまして確認致します。
質問のために質問をしているようで、お忙しい所誠に恐縮です。
一人でしておりますと、不安と申しますか、ペースがつかめず、
このような事になりまして、申し訳ございません。
p.1724中段に、
ゲームは対称であり、対称な均衡にのみ注目する、
とありますが、
話が大変飛びまして誠に申し訳ございません。
F-T12章、p.493脚注17で引用されております論文、
Hendricks and Kovenock (1989)
Asymmetric information, information externalities, and efficiency,
Rand Journal of Economics 20;164-182
では、非対称な端点解も出て参ります。
クールノー均衡におきまして、
プレイヤー１の反応関数が、プレイヤー２の反応関数よりも級ではない場合だそうです。
で、これでも一般性を失わないとあります。
F-T、p.24～p.25にもクールノーの安定性の話が出てまいりますが、
これにも条件が出ているだけだと思います。
このような解は、繰り返しゲームからは排除されるのでしょうか。
すみません。
>>278ゲーム理論の基礎については、Aumann and Brandenburger (1995)を参照してください。
をまだ取りに行っておりません。
今、片道２時間近くかかる所におりまして、なかなか踏ん切りがつきません。
申し訳ございません。
いつもお世話になりまして誠にありがとうございます。 - 293 ：名無しさんの冒険：2006/07/25(Tue) 22:39
- 繰り返しゲームでは、対称均衡は導くものじゃなく、仮定するものです。
（対称均衡しか存在しないための（まともな）条件は知られていません。）
たとえ、ステージゲームでの均衡が対称なものしかなかったとしても、
繰り返しゲームで非対称な均衡はいくらでも作れます。
AMP も単に仮定しているだけです。
繰り返しゲームで対称均衡といった場合は、
ステージゲームでの話とは少し違った意味合いがあります。
対称均衡の場合、APS (1986) などを見れば分かりますが、
不完全情報のために効率的なアウトカムは達成不可能です。
（インセンティブを保つために、全員同時に懲罰しないといけないから。）
でも、FLM のように非対称均衡を許した場合、フォーク定理が証明できます。
これは、来期以降の利得を超平面上で動かすことで、
他の人にご褒美を与えつつ、裏切った人だけを懲罰することが可能だからです。
より詳しくは、『現代の経済理論』の中の松島さんの解説を読んでください。
IO の文脈では Athey and Bagwell (2001, RAND) と Athey, Bagwell, and Sanchirico (2004, REStud) を
読み比べてみるのがいいと思います。 - 294 ：takizawa：2006/07/28(Fri) 11:55 ◆MpyjNwOMVM
- いつも大変お世話になっております。
>>繰り返しゲームでは、対称均衡は導くものじゃなく、仮定するものです。
誠にありがとうございます。
読めば読みますほど、論文を書く自信がなくなって参りました、と申しますか、
恥かしくて、何を書こうとしているかなどと言えなくなって参りました。
くどくて、度々申し訳ございません。
>>290p.1721中段ですが、
∫_0^t r(π+g) exp(-rt) exp(-α_1 μ t) dt +
∫_t^∞ rπ exp(-rt) exp(-α_1 λ t) dt ・・・(*)
が、時刻tまでcheatして、時刻tからcooperateする解だと思います。
ここで、(*)は、
t→∞のとき(=ずっとcheatのペイオフ) < t→0のとき(=ずっとcooperateのペイオフ)
となります。で、これは当然成立します。
さらに、細かい証明を略しますと、a e^{-bx} の関数の単調性より、
(ずっとcheatのペイオフ) < (tまでcheatのときのペイオフ) < (ずっとcooperateのペイオフ)
が得られます。で、
(ずっとcheatのペイオフ) < (ずっとcooperateのペイオフ)
から、
p.1721中段の式、
r * g < α_1 * (μ - λ) * π * r / ( r + α_1 * λ)
が得られました。
数式の証明までお伺いして大変申し訳ございませんでした。
が、この考え方でよろしいのでしょうか。いつも、１つの式を導出するのに、実はものすごい労力が隠されていて驚かされます。
雑談ですみませんが、お恥かしいお話ですが、F-T p.258 (7.4)式も、
2階微分の式が出せずに、１週間ほどぼんやり眺めておりました。
f(t,t) = 0 (=c)
より、
f(t+dt,t+dt) - f(t,t) = 0
で全微分形にできる、と気がつくのに手間取りました。
お忙しい所雑談などして申し訳ございません。 - 295 ：takizawa：2006/07/28(Fri) 12:20 ◆MpyjNwOMVM
- 大変申し訳ございませんが、確認をお願い致します。
APM (1991)、p.1725におきまして、
∑_{k_1,k_2,...,k_t} (Π_{s} p) w
の記号の意味は、
actionが(a_j,a_j)のときに
①(k_1,k_2,...,k_t) というシグナルが発生する確率
②(k_1,k_2,...,k_t) というシグナルが発生する確率
・
・
・
○n (k_1,k_2,...,k_t) というシグナルが発生する確率
で、①、②、・・・、○nのk_1はそれぞれ異なり、k_2,・・・,k_tも異なる。
そして、これが、n通り存在する。
つまり、actionが(a_j,a_j)のときに発生するシグナル
(k_1,k_2,...,k_t)
ha
s通りあり、
その発生確率にペイオフをかけてs通りを足した、
という解釈でよろしいでしょうか。すなわち、
p_{jjk_s} の k_s は k^s (べき乗ではなくて、上付き) のような意味でしょうか。
ここでは、各periodにペイオフが発生し、終了時にシグナルがt period分tコまとめてくる
π_{jj} はperiodごとのペイオフ
です。
さらに、これは、p.1726～p.1727の
∑_{k} p_{ijk} f_k
も同じ意味でしょうか。
しかし、p.1729の F_J^{t-1} や
π_{s=1}^t f_{k_s}
は、罰金額同士を掛け合わせたもので、意味がわかりません。導出はどうやったのでしょうか。
確かに、
α^ = ε π_{s=1}^t f_{k_s}
= (1-δ) / (δ^t v F_j^{t-1}) π_{s=1}^t f_{k_s}
～ (1-δ) / (δ^t v) overline{F_j}
で、オーダーは無次元で、確率になっております。
overline{F_j} は、あるパスで考えたf_{k_s}をt間かけたものの平均値、
のようなものとお考えください。
細かいことを申して申し訳ございませんが、
p,1729
v = (1-δ^t) π_{jj} + δ^t v - ε (F_j)^t v
は、
v = (1-δ^t) π_{jj} + δ^t v - ε (F_j)^t v δ^t
で、
p.1731 APPENDIX中、
v <= π - g^P / (Q-P)
は、
v <= π - g * P / (Q-P)
の間違いだと思うのですが、LP#2 (ii')とLP#1(iii)から導出ができません。
大変申し訳ございませんが、なにとぞお教えください。
あと、p.1732
v^{-} (0) = π - g^λ / (μ- λ) > 0
lim v^{-} (t,r) = ・・・ = π - g^λ / (μ- λ)
も、g^λ→gλ
でよろしいでしょうか。 - 296 ：takizawa：2006/07/28(Fri) 12:27 ◆MpyjNwOMVM
- なにとぞよろしくお願い申し上げます。
長々と申し訳ございません。 - 297 ：名無しさんの冒険：2006/07/29(Sat) 03:54
- 少し記号が混乱してます。
Π の中の s は 1 から t まで動く。
Π_{s=1}^t p_{jjk_s} の意味は、n 人全員が a_j を選んだ場合に、
その後の t-期間にシグナル k = (k_1,...,k_t) が発生する確率。
1期間あたりのシグナルの種類を K_0 とおくと、
k は「K_0 の t 乗」通りの値を取りうる。
（たきざわさんが n とか s とか書いてるもの。）
k_s は第 s 期のシグナルという意味で、
上付きだろうが下付きだろうが構わないですが、下付きのままでいいです。
次元の話は、たきざわさんの主張どおり ε で調整してます。
意味は「そうすればうまくいく」としか、僕は答えられません。
力不足で申し訳ありません。
タイポは指摘の通りだと思います。
p 1731 の細かい導出は、僕もよく分かりません。
Prop 2 の(6)式をまねればいいのではないでしょうか？ - 298 ：takizawa：2006/08/01(Tue) 03:54 ◆MpyjNwOMVM
- いつも申し訳ございません。
誠にありがとうございます。
早速確認して参ります。 - 299 ：takizawa：2006/08/04(Fri) 12:32 ◆MpyjNwOMVM
- おかげさまで
>>297
は理解ができました。ありがとうございます。
F-T5章、Fudenberg,Levin, Maskin (1994) Econometricaで引用されています、
The Folk Theorem for Repeated Games: A Neu Condition
Abreu, Dutta, Smith (1994) Econometrica 62[4] 939-948
をお読みでしたらお教えください。
この論文でも、
>283 >>N人完全モニタリングの繰り返しゲームの均衡戦略は、
に関することが出て参ります。
本当に申し訳ないのですが、Lemmma 1 の証明のような例を実際にどうやっても作れないのですが、
どういう状態を指しているのでしょうか。
http://www.geocities.jp/takizawa_shinichiro/ftbbs/ADS.pdf
perfectly positively correlated と、perfectly negatively correlated
になりません。
本当に申し訳ございません。
実はまだ、超平面による証明の論文を理解しきれておりません。
よく読みます。 - 300 ：名無しさんの冒険：2006/08/05(Sat) 05:19
- 「Lemmma 1 の証明のような例」の意味が分かりません。
perfectly positively correlatedとは、
（適切な正のアファイン変換の後）どのような戦略の組に対ししても
両者が全く同じ利得を得ることです。
Fudenberg and Maskin (1986)の3人ゲームで full dimensionality を満たさない例
（3者が A と B、2通りの戦略を持ち、
全員一致で同じ戦略をとったとき、全員 +1 の利得、それ以外は全員利得ゼロ）や、
Lagunoff and Matsui (1997) では、
全員の利得がperfectly positively correlatedになるようなものを扱っています。
perfectly negatively correlatedとは、
（適切な正のアファイン変換の後）両者の利得がゼロ和になることです。 - 301 ：takizawa：2006/08/08(Tue) 04:50 ◆MpyjNwOMVM
- いつも申し訳ございません。
自分でも、質問が妙だと気がつきましたが、遅くなりまして申し訳ござません。
perfectly positively correlated と perfectly negatively correlated
の意味を判っておりませんでした。
お教え下さいまして誠にありがとうございます。
ただそれでも疑問なのですが、
まず、アフィンは原点となる点oも含むと思います。
Abreu, Dutta, Smith (1994)のp.940のNEUの定義ですと、
原点oは当然この条件を満たすと思います。
しかし、本来、ペイオフを平行移動して、マトリックスのどこか１つを
(0,0,....,0)にすることは可能なのではないでしょうか。
(これは、F-T11章p.462のburning the money 戦略とは当然異なる操作だと思います
ので可能だと思うのですが。すみません。まったく自信がありません。)
ですので、NEU, projection condition を満たす、dim F
が変わってしまうような気がして混乱しております。
全く進んでいないのですが、
Lemma 2 proof におきまして、
v^{jk} のjkや、v^{jk} が何を表しているかがわからないのですが。
j,kが二人ともminmaxされている、という意味でしょうか。
それとも、j,k成分かとも思いましたが、すると、n(n-1)の意味がわかりません。
その場合には、j,kの取れる場合の数は、各プレイヤーが取れるaction数の積になると思うのですが、
そうなっておりません。
度々申し訳ございません。
細かいことにこだわりまして申し訳ございません。
本来こうしたことも、引用文献を孫引きして、自分で理解してらっしゃると思います。
申し訳ございません。
perfectly positively correlated と perfectly negatively correlated
を全く理解しておりませんでした。
誠にありがとうございます。 - 302 ：takizawa：2006/08/08(Tue) 05:19 ◆MpyjNwOMVM
- 度々申し訳ございません。
NEUの定義が、p.940で、
π_i(a) = c + d π_j(a) for all a∈A
とあるので疑問に思いました。
全く見当はずれなことを申しておりましたら申し訳ございません。
すみません。これは、私がdimの意味がわかっていないということになるのだと思います。
アフィンでは、
0以外の点の数、と申しますか、
ある一点を原点と考えたときのベクトル数
と申しますか、が次元になると思います。
ペイオフのベクトルの次元は、
と申しますか、一般にゲーム論で次元と申しますときは、
アフィンの次元でしょうか。
すみません。つまり、一般論としてペイオフうんぬんの話がありますときには、
全員(0,0,....,0)のペイオフを持っていると考えるのでしょうか。
一般的な話ではなく、どちらでも変わらないような気もして参りました。
すみません。もう一度考えて参ります。
数学ができなくて申し訳ございません。低レベルで大変申し訳ございません。
最近、自分は実はすごい馬鹿だということがよくわかってまいりました。 - 303 ：名無しさんの冒険：2006/08/08(Tue) 06:36
- feasible set F の次元とは、アファインの次元ということであってます。
F のアファイン包をとり、それを原点を通るように平行移動した場合、
それの線形空間としての次元と一致します。
別の言い方をすれば、F 上に始点と終点を持つベクトルたちを選んだとき、
そいつらが一次独立としてとれるような最大の本数です。
> しかし、本来、ペイオフを平行移動して、マトリックスのどこか１つを
> (0,0,....,0)にすることは可能なのではないでしょうか。
可能です。可能ですが、アファインとしての次元は不変です。
> Lemma 2 proof におきまして、
> v^{jk} のjkや、v^{jk} が何を表しているかがわからないのですが。
> j,kが二人ともminmaxされている、という意味でしょうか。
違います。v~{jk} と v^{kj} はそれぞれ n 次元ベクトルです。
ここは、次のようなことをいっています：
異なる 2 人のプレーヤーの組をどのように選んだとしても、
その組み合わせに対応して、以下の 2 条件を満たすような feasible payoff vector を 2 本選べる。
１．一人目のプレーヤーにとっては、一本目のベクトルのほうが二本目よりも望ましく、
２．二人目のプレーヤーにとっては、二本目のベクトルのほうが一本目よりも望ましい。
プレーヤーの組として n(n-1)/2 組あり、各組に対して 2 本ずつ選ぶので、
全部で n(n-1) 本のベクトルを選ぶことになります。 - 304 ：takizawa：2006/08/11(Fri) 13:03 ◆MpyjNwOMVM
- いつもありがとうございます。お世話になっております。
教わりましたことから考えまして、>>299の図は次元もペイオフも間違えておりました。
申し訳ございません。
記号が多くてまだ混乱しております。
w^{i}_{i} = min{v_{i} : (v_{-i}, v_{i}) ∈ F)}
で、
F^* = {F かつ IRを満たす}
です。
p.941 2つ目のDefinition
vectors {v^{1},・・・,v^{n}}
は、
v^{1} : プレイヤー1がminmaxされたときのペイオフベクトル
・・・
v^{n} : プレイヤーnがminmaxされたときのペイオフベクトル
のn個のベクトルでしょうか。
すると、p942の underline{v}^{i} と定義がかぶるような気がするのですが、
これは、minmaxペイオフを0になるようにアフィン変換したあと、
SPEにおいて、w^{i}_{i} は0以下になる可能性があるから、という解釈でよろしいでしょうか。
つまり、minmaxでは0にしかならないけれど、SPEでは、場合によっては0以下をとりえるということでしょうか。
何度も申し訳ございません。
p.945脚注9におきまして、
ペイオフco[(0,-1),(1,0),(2,1)]で、
プレイヤー1がminmaxされたとき(1,0)で、
プレイヤー2がminmaxされたとき(0,-1)で、
だと思うのですが、これですと、f_{i}の定義と一致してしまいます。
さらにこのとき、(0,0)のペイオフは入っておりません。
それに、このペイオフは、p.940のNEUの定義を満たさないと思うのですが、
つまり、
π_i(a) = c + d π_j(a) for all a∈A
において、c=d=1のときが成立してしまいます。
何を間違えておりますでしょうか。申し訳ございません。 - 305 ：takizawa：2006/08/11(Fri) 13:12 ◆MpyjNwOMVM
- 何度も本当に申し訳ございません。
最後に、p.946におきまして、
(9)式の右辺は、f_{j}より大きい、その理由は、
π_i^*(lim γ_{-i}^{i} (δ)) <= f_{i} (※)
だから、とありますが、
①minmaxされた値が0に規格化
②f_{i} は、(j≠iのペイオフ) => 0 つまり、IRなときのプレイヤーiの最小ペイオフ
③π_i^*(lim γ_{-i}^{i} (δ)) は、SPEのうち、プレイヤーiのペイオフが最小な戦略における第1期目のiのペイオフ
④π_j^*(lim γ_{-j}^{i} (δ)) は、SPEのうち、プレイヤーiのペイオフが最小な戦略における第1期目のjのペイオフ
⑤x^{i}(δ) : プレイヤーiのペイオフが最小になるSPE
だと思うのですが、(9)式の左辺→f_{j}は自明ですが、
(9)式の右辺 > f_{j}
の理由が(※)となる理由がわかりません。
MSNは同時に負になるペイオフがないということだからでしょうか。
いつも申し訳ございません。
ありがとうございます。 - 306 ：名無しさんの冒険：2006/08/14(Mon) 01:45
- > p.941 2つ目のDefinition
> vectors {v^{1},・・・,v^{n}}
v^i たちは任意で、ミニマックス利得とは本来無関係です。
（関係してても構わないけど、関係してるかどうかは定義に含まれない。）
もし適当に選んできた v^i たちの組がほげほげの性質を満たすならば、
そのときは「v^i の組が payoff asymmetry を満たす」と呼ぶことにしよう、という定義です。
直後のレンマでは、そういう v^i の組が存在することを示しています。
実際、Abreuらは、ミニマックスとは無関係にそういう組を構成しています。
> p942の underline{v}^{i} と定義がかぶるような気がするのですが、
おっしゃってることがよく分かりません。
> w^{i}_{i} は0以下になる可能性がある
w_i^i を証明内部のように定義 (min{v_i : (v_i,v_{-i}) in F}) すると、
当然 0 以下になりえます。F は feasibility だけを要請していますから。
> minmaxでは0にしかならないけれど、SPEでは、場合によっては0以下をとりえる
これは嘘です。（正確には、SPE は 0 「未満」にはなりえません。）
脚注9の場合、f_1 = 1, f_2 = 0 となります。
(0,0)がFに含まれるかどうかは、論文のどこでも仮定されていません。
たきざわさんのおっしゃるとおり、この例はNEUを満たしません。
>>305は、もし π_j^*(lim γ_{-j}^{i} (δ)) <= f_j となれば、NSM に矛盾するからです。 - 307 ：takizawa：2006/08/15(Tue) 00:20 ◆MpyjNwOMVM
- いつもお世話になっております。
申し訳ございません。
Definition vectors{v^{1},・・・,v^{n},}はiがminmaxされたときのペイオフではありませんでした。
>>303で教えて頂きました説明がv^{i}でした。
p.941のProofのすぐ下の部分に、
v^{jk}の凸結合とする、
と書いてありました。申し訳ございません。
言い訳をさせてください。言い訳がましいですが、ネットカフェで書いておりますもので、教わりましたことを理解するのが、
次の回になってしまいまして、タイムラグがありまして申し訳ございません。お手数おかけいたします。
p.945の脚注9に関連してですが、F-T５章p.152～p.153では、
feasibleなペイオフは(0,0)を含み、(0,0)がminmax
となっております。
これは、Public Randomization あるいは、繰り返しの結果得られるfeasibleなペイオフ
だから、という意味でよろしいでしょうか。 - 308 ：takizawa：2006/08/15(Tue) 00:57 ◆MpyjNwOMVM
- >>303
>異なる 2 人のプレーヤーの組をどのように選んだとしても、
>その組み合わせに対応して、以下の 2 条件を満たすような feasible payoff vector を 2 本選べる。
>１．一人目のプレーヤーにとっては、一本目のベクトルのほうが二本目よりも望ましく、
>２．二人目のプレーヤーにとっては、二本目のベクトルのほうが一本目よりも望ましい。
に関しまして、念のため確認をお願い致します。
度々、申し訳ございません。
projection conditionの(a)dim F_{ik} = 2 を仮定しまして、原点oを含めない形としております。
そのほうがわかりやすい形になりましたもので申し訳ございません。プレイヤーは３人です。
すると、
http://www.geocities.jp/takizawa_shinichiro/ftbbs/ADS19942.pdf
となります。
これでよろしいでしょうか。
最もシンプルな形で申し訳ございません。ただ、今回の例では、*の部分を1にしたため、
3*2=6本の異なるベクトルにはならず、3本が同じベクトルになっております。
これでも可でしょうか。
たびたび申し訳ございません。
いつも本当にありがとうございます。
>> minmaxでは0にしかならないけれど、SPEでは、場合によっては0以下をとりえる
>これは嘘です。（正確には、SPE は 0 「未満」にはなりえません。）
もっとよくSPEを学んで参ります。
いつもありがとうございます。 - 309 ：takizawa：2006/08/17(Thu) 11:30 ◆MpyjNwOMVM
- すみません。
>308 の
>ここで
>v^{12}=
>v^{13}=
>v^{23}=
>より、
>dim v^{12}= dim v^{12}= dim v^{12}=2
は、
ここで
F_{12}=
F_{13}=
F_{23}=
より、
dim F_{12}= dim F_{12}= dim F_{12}=2
の間違いでした。申し訳ございません。
今手元にwordがございませんので、後ほど修正致します。 - 310 ：takizawa：2006/08/17(Thu) 12:50 ◆MpyjNwOMVM
- いつもいつも、勝手に質問ばかりしてまことに申し訳ございません。
Bergin and MacLeod(1993)Journal of Economic Theory 61,42-73
"Efficiency and Renegotiation in Repeated Games"
におきまして、
p.45 2.preliminaries
v_i = inf_{a_-i} sup_{a_i} u_i(a_i, a_{-i})
σ_{it} : A^{t-1} → A_{i}
でよろしいでしょうか。
いくら拡大しても読めないのですけれど、申し訳ございません。
なんとなく、stage gameの戦略と、全体の戦略を、
actionと区別していないので、混乱しております。
すみません。 - 311 ：takizawa：2006/08/17(Thu) 13:03 ◆MpyjNwOMVM
- 細かいことばかり聞いて申し訳ございませんが、Bergin and MacLeod(1993)JET
p.46中段
overline{c} (h_t,σ)
= [∑_{τ=t}^{T} δ^{τ-t} u(α_τ(h_t,σ)) ] / (1+δ+・・・+δ^{T-t})
で、総和記号は、
∑_{τ=t}^{T}
Tでよろしいでしょうか。 - 312 ：takizawa：2006/08/21(Mon) 23:21 ◆MpyjNwOMVM
- よろしくお願い申し上げます。
度々申し訳ございません。>>308修正いたしました。
http://www.geocities.jp/takizawa_shinichiro/ftbbs/ADS19942.pdf - 313 ：takizawa：2006/08/21(Mon) 23:21 ◆MpyjNwOMVM
- 申し訳ございません。なにとぞよろしくお願い申し上げます。
いつもまとまりのない質問をして申し訳ございません。
>>306
>これは嘘です。（正確には、SPE は 0 「未満」にはなりえません。）
といいますのは、minmaxされたペイオフが0になるように
アフィン空間を平行移動したその後のことでしょうか？
ですから、最悪の均衡は、
(最悪のSPEのペイオフ) => (minmaxされたときのペイオフ)
だから、という理解でよろしいでしょうか。
そうでない場合は、すべてのペイオフがマイナスになっているステージゲームもあり得ると思うのですが。
従いまして、
Nash #1
Nash #2
minmaxされた(=留保効用)
の３つのactionが少なくともある、という理解でよろしいでしょうか。 - 314 ：takizawa：2006/08/21(Mon) 23:22 ◆MpyjNwOMVM
- これに関連しまして、
>>『現代の経済理論』の中の松島さんの解説
を取りに行って参りました。
とてもよくわかりやすい本を紹介して下さいまして誠にありがとうございます。
SPEを少し理解できるようになったような気が致します。
松島p.70におきまして、
SPE逸脱を罰する最も厳しいペナルティが0以下にならないのは、企業の例だから、
参加する/参加しない、作る/作らない、という選択肢が入っているからでしょうか。
対称ゲームでしたら、minmaxでfeasibleなのは、
(自分のペイオフ)=>0
ですから、
(自分のペイオフ) = (相手のペイオフ) => 0
は当然だと思うのですが。
確か、この公共財ゲームでは、参加する/しない、を含めると別のゲームになる、
というようなことが書いてあったと思うのですが、
http://www.iser.osaka-u.ac.jp/~saijo/pdffiles/spite-iden.pdf
これは、協力ゲームだからでしょうか。 - 315 ：takizawa：2006/08/21(Mon) 23:29 ◆MpyjNwOMVM
- さらに、SPEの件に関して疑問が２つございます。
基本的な質問で申し訳ございませんが、
結局SPEは
①one-shot-deviation をしても利益が出ないとき(このとき逸脱後はone-shot-NASHを取り続ける)
②"もっとも厳しいペナルティ経路"(=逸脱後は最悪なSPE)、よりはましな戦略
③ステージゲームのNASHの繰り返し
のいずれかを満たすとき、という解釈でよろしいでしょうか。
囚人のジレンマの無限回繰り返しゲームは、①、③は満たしますが、②は満たしません。
これは、ε-近傍とか極限の問題であり、本来囚人のジレンマの1-shot-NASHは含まないけれど、
FOLK理論より、そのぎりぎりの極限までは含む。
だから、actionが有限なゲームでは、便宜上含むということにする、
という理解でよろしいでしょうか。
APS(1994)では、minmax=0 に設定したから、SPE=>0 という理解でよろしいでしょうか。
松島においては、Abreuのクールノー寡占モデルで、利益が不なら生産しないはずだから
ペイオフ=>0
とあります。
しかし、西條では、参加する/参加しない、は別のゲームになるという論文があったと思うのですが。
すみません。ちょっと今探しております。
うろ覚えな質問をして申し訳ございません。 - 316 ：takizawa：2006/08/21(Mon) 23:39 ◆MpyjNwOMVM
- Folk理論(ギボンズとF-Tからです。すみません。)
Friedman(1971)と、Abreu(1988)によりSPEを証明。最悪のSPEよりましなペイオフの戦略はすべて取れる。
2人ゲームではさらに厳しく、留保効用(=minmax)以上の利得はすべて達成可能となる。
で、minmaxが少なくとも0以上といいますのは、
①feasibleという制限
②IR条件
③参加する/参加しないの選択ができるとき
④アフィン変換で平行移動後
のいずれかができるときだと思うのですが。
以上を踏まえてまだわからないのですが。
松島p.70におきまして、
"割引ファクターδがある程度大きい場合にはa~ ^{∞} はゼロ"
とありますが、これは、
二人ゲームで最悪の経路はminmaxだから、という前提に基づくのでしょうか。
二人ゲームでない場合は、最悪のSPEが脅しの戦略となり、最悪のSPEはminmaxではない、
とギボンズp.96にあります。(すみません。貴殿はお手元にお持ちでないかもしれませんが。)
ですが、これでは、このとき、minmax = 0 の設定より、
a~ ^{∞} はゼロにならなくなってしまうと思うのですが。
そのあたりを証明したのが、Fudenberg and Maskin(1986)とあります。
まだこの論文を読めておりません。申し訳ございません。
読みたい論文の増える速度のほうが、論文を読む速度よりも速いので、収拾がつきません。
申し訳ございません。
いつも長々と、お忙しいところ申し訳ございません。
もう少し自分の頭を整理してから参ります。
要領の悪い質問だらけで申し訳ございません。
なにとぞよろしくお願い申し上げます。
お忙しいところすみません。 - 317 ：名無しさんの冒険：2006/08/23(Wed) 02:59
- >>313
>(最悪のSPEのペイオフ) => (minmaxされたときのペイオフ)
そです。SPEでなくてNashでも同じ不等式が成り立ちます。
「従いまして、」以下は意味不明です。
クールノーゲームでは、「生産量ゼロ」と「参加しない」が同じアウトカムをもたらすから、
常に「参加しない」という選択肢が与えられていると見なしてかまいません。
ちなみに、ベルトランゲームの場合は「価格∞」と「参加しない」がほぼ同等。
>>315
「結局SPEは①②③のいずれかを満たすとき」っていうまとめはダメすぎます。
完全モニタリングの場合は②を一般性を失わずに仮定してもよく、
①や③は、それと同等なアウトカムをもたらす②な均衡に置き換えられます。
歴史的には①の考え方に基づく方法でフォーク定理が証明されていました。
minmax folk theoremではなくNash-threat folk theoremと呼ばれ、
ナッシュ均衡より大きな利得を維持する均衡しか構成しない、少し弱めの定理です。
囚人のジレンマでは、"もっとも厳しいペナルティ経路"がone-shot Nashの繰り返しなので、
①と②に違いがないのですが、
一般のゲームの場合は、この違いが難しく、ここがFriedmanとFMの違いです。
>>316
「minmaxが少なくとも0以上」かどうかは、標準化の仕方によるので、
よい質問の立て方ではない。
（ゲームに「参加しない」場合の利得がゼロ、というのも標準化のひとつ。） - 318 ：takizawa：2006/08/25(Fri) 00:54 ◆MpyjNwOMVM
- ありがとうございます。
お忙しい所いつも申し訳ございません。
>>『現代の経済理論』の中の松島さんの解説
がとてもわかり易くまとめられており大変感謝しております。
早くFriedmanの論文も読むように心がけます。
ちょっとまだ、そこまで昔の論文にさかのぼれません。
囚人のジレンマの場合は、
松島p.86にあります条件
(xi)もっとも厳しい対称均衡ペナルティは、単純なマルコフ連鎖構造によって記述できる
Abreu, Pearce and Stacchetti(1986)
などもその一例でしょうか。
Bergin and Macleod(1993) JET "Efficiency and Renegotiation in Repeated Games"
にもわかり易くまとめられているのを今日発見致しました。
まだまだ引用文献が大量にあり、読みきるのにどれだけ時間がかかるのか予想もつきません。
いつも大変お世話になっております。
本当にありがとうございます。
深く感謝いたします。
質問しているだけで、教わっているだけでありまして、厚かましくて誠に申し訳ございません。
不快感をお感じでしたらどうぞお許しください。申し訳ございません。
皆様は、このような論文を、勉強会で勉強なさったのでしょうか。
授業や研究室会がありましたのでしょうか。
私では、数学力不足もありまして、また、経済学の基礎が欠けていることもありまして、
到底独力では困難です。
長々と大変失礼致しました。 - 319 ：takizawa：2006/08/29(Tue) 03:28 ◆MpyjNwOMVM
- いつも厚かましくて申し訳ございません。
なにとぞよろしくお願い申し上げます。
Bergin and Macleod(1993) JET "Efficiency and Renegotiation in Repeated Games"
におきまして、
p.60～p.61の、
order >^{s} 順序関係につきまして、
φは、φ(h)であり、ある履歴に基づくペイオフのベクトルですので、
大小関係はノルムで考えていると思います。
(p.61では、各成分で表示されておりますが。)
だとしますと、このとき、
反射則と推移則葉満たすが、反対称則は満たさない、
と言うのはわかります。しかし、
>^{C}
にも同じ考え方を適用しますと、同じ結論になってしまいます。
さらに、p.61 Definition 5 の後の段の説明で、
ヨ{P_i}_{i=1}^{m}, ヨ{P_i}_{i=1}^{k}, ヨ{P_i}_{i=1}^{n}
とありますが、これらは、
k = m = n
でなくてもよろしいのでしょうか。i,k,m,nはプレイヤーの数だと思うのですが、
m,k人までペイオフが大きければ、
>^{C}
を満たしたことにすると言うことでしょうか。
また、p.61 Definition 7 の proof におきまして、
前半は、WRPなのは、Definition 3 から自明ですが、後半の
Since the ordering・・・
以下がわかりません。
>^{C} はd*から生成されるから、>^{C} の最大値性により、
φ'(H) d* φ(H) な φ' が存在する。 ・・・(※)
とありますが、φ*がmaxなら、
φ* d* φ' for all φ'≠φ*
で、(※)とならないと思うのですが。
順序関係と、前順序は以下のとおりでよろしいでしょうか。一応調べました。
ー順序関係ー
数の大小、集合の包含などの関係から抽出された概念。
考える範囲において常に次の③法則が成り立つような関係<=
反射則 ：x <= x
反対称則：x <= y かつ y <= x なら x = y
推移則 ：x <= y かつ y <= z なら x <= z
ー前順序ー
反射則および推移即は成り立つが、必ずしも反対称側が成り立たないもの。
なにとぞよろしくお願い申し上げます。
お忙しいところいつもお時間を割いて頂き誠に申し訳ございません。
本当にありがとうございます。
もっと人間関係や勉強会を考えるべきでした。 - 320 ：名無しさんの冒険：2006/08/30(Wed) 08:21
- ＞p.60～p.61の、
＞order >^{s} 順序関係につきまして、
＞φは、φ(h)であり、ある履歴に基づくペイオフのベクトルですので、
＞大小関係はノルムで考えていると思います。
なんでノルム？定義をちゃんと見てください。
φ >^s φ' とは、φ(H)∩(φ'(H)+R_++^n) が非空であること、と書いてあるはずです。
（p49の記号を使えば、φ(H) > φ'(H) とも書けます。） - 321 ：takizawa：2006/09/01(Fri) 13:44 ◆MpyjNwOMVM
- >>320
申し訳ございません。
もう一度よく読みなおして参ります。
いつもお世話になりまして誠にありがとうございます。 - 322 ：takizawa：2006/09/04(Mon) 23:28 ◆MpyjNwOMVM
- 申し訳ございません。いつもお世話になっております。
>>320
おっしゃいますとおり、ものすごい勘違いをしておりました。
Bergin and Macleod(1993) p.61 >^c につきまして、お蔭様で理解できました。
F-T1章p.26 Figure 1.15 のcycleしてしまう均衡のお話でした。
indirectly dominate で transitive が成り立たないとはそういう意味でしょうか。
dominate 戦略などのお話でした。完全に勘違いしておりました。
お忙しい所、いちいちお調べになるお手間を取らせまして、誠に申し訳ございません。
勉強会をしたり、後輩の面倒を見る、という意味を最近理解致しました。
ありがとうございます。 - 323 ：takizawa：2006/09/04(Mon) 23:38 ◆MpyjNwOMVM
- 図に乗っておりますようで申し訳ございません。
International Economic Review (1993) 34[1]
Bergin and MacLeod "Continuous Time Repeated Games"
をお持ちでしたらお願い申し上げます。
p.24 一本目の式から2行目、
for i∈N and λ(T-N) = 0
は、確率測度のような話だと思うのですが、
λ(T) = 0、λ(N) = 0
ならわかるのですが、
T-N
ですと任意の値を取れてしまうのではないでしょうか。つまり、
T→∞、N→∞のとき、λ(T-N) → 1
だと思うのですが、どこの解釈が間違えておりますでしょうか。 - 324 ：takizawa：2006/09/04(Mon) 23:45 ◆MpyjNwOMVM
- International Economic Review (1993) 34[1]
Bergin and MacLeod "Continuous Time Repeated Games"
におきまして、
この論文におきまして、hはoutcomeとありますが、
p.24 (2.2) 式直前に、the set of outcome pathes (or histories) ともあります。
hは普通にhistoryのことと考えてよろしいでしょうか。
また、outcomeはペイオフのことでしょうか? - 325 ：takizawa：2006/09/05(Tue) 00:31 ◆MpyjNwOMVM
- すると、p.24の距離の定義におきまして、
D_i(h_i, h^~_i) などが、history h_i と h^~_i の距離とありますが、
p.25 Theorem 1 の proof におきまして、
D( x(h), h, [overline{t},τ) ) = 0
D( x(h'), h', [0,t^*) ) = 0
などとあり、
x(h')はh'のもとでのaction、
h'はhistory
だと思います。すると、
actionとhistoryの距離をとることとなり変ではないかと思いました。
仮に、h'後のactionを h' + action というhistoryと解釈しても、
h' + a
と
h'
では、１回分長さが異なると思います(非連続の場合のたとえですが)。
そこで、
Definition 1 を読みますと、ここでは、
D_i ( x_i(h'), a_i, [t,t+ε) ) = 0
とありました。ですのでこれを、
D_i ( x_i(h'), a_i(h), [t,t+ε) ) = 0
という意味と解釈しました。
p.25 Theorem 1 proof 中においても、
D( x(h), h, [overline{t},τ) ) = 0
D( x(h'), h', [0,t^*) ) = 0
p.26 Theorem 1 proof 中、
D( x(h'), h', [τ,τ+ε) ) = 0
などがございますが、
D( x(h'), a(h'), [τ,τ+ε) ) = 0
という解釈でよろしいでしょうか。
お忙しい所いつも申し訳ございません。
なにとぞよろしくお願い申し上げます。 - 326 ：名無しさんの冒険：2006/09/05(Tue) 10:10
- >>323
T も黒板書体の N も実数値ではなく集合（R の部分集合、B_T の元）です。
集合 A と B に対して、A - B, A / B, A＼B などは、
A と「B の補集合」の交わりを表すときがあります。
>>324
ここでは、アクションの経路のことをoutcomeと呼んでいます。
pathやhistoryも似た意味です。
ペイオフは(2.1)で与えられる実数なので、少し意味が違います。
>>325
「x(h')はh'のもとでのaction」ではなく H の元です。
p 24 の下から 7 行目を読んでください。
ちなみに、T* = ∞ で離散の場合は、h はアクションの無限列です。
「１回分長さが異なる」というのは意味不明です。
定義 1 内の a_i とは、おそらくアクション a_i を
「常に a_i を取る」という定数列（H_i の元）と同一視したものです。
つまり、D_i(x_i(h'),a_i,[t,t+e)) = 0 とは、
[t,t+e) の間にプレーヤーiが同じアクションa_iを取り続けることを意味します。
a(h) は意味不明です。 - 327 ：takizawa：2006/09/08(Fri) 14:32 ◆MpyjNwOMVM
- いつも教わっているだけで誠に申し訳ございません。
>>つまり、D_i(x_i(h'),a_i,[t,t+e)) = 0 とは、[t,t+e) の間にプレーヤーiが同じアクションa_iを取り続けることを意味します。
そういう意味とは思いませんでした。申し訳ございません。異なる経路をとったときの距離かと思いました。
お蔭様を持ちまして、理解することができました。ありがとうございます。
>>A と「B の補集合」の交わりを表すときがあります。
数学を良くわかっておりませんで申し訳ございません。注意致します。
厚かましくて申し訳ございません。
complete の定義はp.26 より、
収束する２つのコーシー列がS内にあり、(=Sはコンパクト)
この２つのコーシー列x^n、y^n の距離の最大値(supを大雑把に意訳しました)が、
n→∞
のときにゼロになる、
このときのみ、x^n と y^n は、同じ１つの戦略x∈S^* に収束する。
このとき、x∈S^* をcomplete という。
という解釈でよろしいでしょうか。
もう一箇所、p.31 におきまして、
delay が impose されないときには、”任意の分割が均衡になる”という、”よく知られた結果となる”
とあるのですが、これは一見、F-T4章、p.113、Rubinstein-Stahl Bargaining Model の離散タイプと矛盾した解に見えます。
特に、p.117 の⊿→0のくだりです。
申し訳ございません。よく知られた結果が何を指すのかがわかりません。
連続ゲームにおけるお話でしょうか。
いつもお世話になっておりますだけで、誠に申し訳ございません。
誠にありがとうございます。 - 328 ：名無しさんの冒険：2006/09/09(Sat) 14:39
- 完備(complete)は完全に数学の用語で、この論文だけで理解するのは無理です。
収束、コーシー列、完備距離空間、完備化、などの概念を数学の本で勉強してください。
「delayがない」とは、割引因子が完全に 1 の場合を指しているんだと思います。
これは Rubinstein-Stahl の結果と矛盾しません。
「Δ = 0 のときのどの均衡も、Δ -> 0 のときの均衡の極限として表される」とは限らないからです。
（均衡対応がパラメータ Δ に関してlower hemicontinuousとは限らない、と言い直しても構いません。）
「よく知られた結果」とは、Nash demand game と呼ばれる同時手番のゲームに関する結果を指すんだと思います。
"Two-Person Cooperative Games" (Econometrica, 1953) が古典です。 - 329 ：takizawa：2006/09/12(Tue) 04:20 ◆MpyjNwOMVM
- いつもお世話になっております。誠にありがとうございます。
いつも申し訳ございません。
>>完備(complete)は完全に数学の用語で、この論文だけで理解するのは無理です。
お恥ずかしいです。申し訳ございません。
私の知っております、数学におけます完備は、関数を正規直交展開をするときの完備、
ぐらいです。
もっと勉強して参ります。
研究とは大変なのだと、ようやく理解して参りました。お恥ずかしい限りです。
>>「delayがない」とは、割引因子が完全に 1 の場合
>>「Δ = 0 のときのどの均衡も、Δ -> 0 のときの均衡の極限として表される」とは限らない
なるほどおっしゃるとおり、その可能性を考えておりませんでした。
極限が異なる論文の例は今までたくさんありました。気がつくべきでした。
>>「よく知られた結果」とは、Nash demand game と呼ばれる同時手番のゲームに関する結果
ありがとうございます。早速確認します。
いつもお忙しいところ申し訳ございません。 - 330 ：takizawa：2006/09/12(Tue) 04:28 ◆MpyjNwOMVM
- すみません。
今気がつきましたが、お恥ずかしいので少々言い分けさせて頂きますが、
波動関数やフーリエ級数展開で言うところの、正規直交関数展開、するときに要求される、
関数の完備性
と同じことのようです。
無限級数の形で表現されます。
お手数おかけして申し訳ございません。 - 331 ：takizawa：2006/09/12(Tue) 04:31 ◆MpyjNwOMVM
- 度々申し訳ございません。
少々私用かもしれませんが、私用で怒られてしまうかもしれませんが、お許しください。
「先日、このスレを見てメールを下さった方、お返事は届きましたでしょうか。
フリーメールですので、ひょっとしますと、メーラーに自動で削除されたかもしれません。
申し訳ございません。また、ありがとうございました。」
申し訳ございません。大変失礼致しました。 - 332 ：takizawa：2006/09/12(Tue) 04:49 ◆MpyjNwOMVM
- 度々申し訳ございません。恥ずかしいので一所懸命言い訳しております。
完備市場
http://www.math.chuo-u.ac.jp/~sugiyama/06/06-07.pdf#search='%E5%AE%8C%E5%82%99%E5%B8%82%E5%A0%B4'
http://www.econ.hit-u.ac.jp/~faculty/ronbun/jjiale.html
金融工学でも、この用語を用いておりました。申し訳ございません。
位相数学の、より一般化された概念をもっと調べる必要があるということかなと今思っているところです。
失礼致しました。 - 333 ：名無しさんの冒険：2006/09/12(Tue) 09:38
- 距離空間が完備とは、任意のコーシー列が収束することです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99 - 334 ：名無しさんの冒険：2006/09/12(Tue) 16:09
- 「完備」ってコトバは、数学の中でもいろいろな文脈で使われ、
それぞれ異なった意味があることがあるので注意だね。
もちろん経済学の中でも。 - 335 ：takizawa：2006/09/15(Fri) 15:00 ◆MpyjNwOMVM
- >>「完備」ってコトバは、数学の中でもいろいろな文脈で使われ、
>>それぞれ異なった意味があることがあるので注意だね。
はい、おっしゃるとおりでした。
どうも意味が異なっておりましたようです。
まだ完全に理解できておりませんが、なんとなく感じはつかめました。
ところで、この論文における、結果のひとつとして、
「慣性を満たすようなSPEは存在しない」
という結論に少しショックを受けております。
ある領域に入ると、即座に、ゲームの結果が出てしまい、逆に、そうでなくては、一意に定まらないから、
ということのようです。説明が下手で申し訳ございません。 - 336 ：takizawa：2006/09/15(Fri) 15:01 ◆MpyjNwOMVM
- すみません。説明不足でした。
極限としては存在します。
たびたび申し訳ございません。 - 337 ：名無しさんの冒険：2006/09/16(Sat) 09:16
- 連続時間繰り返しゲームでは、最近Yuliy Sannikovが一世を風靡しています。
http://www.econ.berkeley.edu/~sannikov/
不完全モニタリングとすることで、
Bergin and MacLeodよりも「もっともらしい」結果が出ているので、
参考にしてください。 - 338 ：takizawa：2006/09/19(Tue) 06:31 ◆MpyjNwOMVM
- いつもお世話になっております。誠にありがとうございます。
>>連続時間繰り返しゲームでは、最近Yuliy Sannikovが一世を風靡しています。
わざわざありがとうございます。
早速読まさせて頂きます。
現在、
Abreu Pearce Stachetti (1993) JET "Renigotiation and symmmetry in repeated games"
を読んでおります。いつも申し訳ございません。
くどくて申し訳ございません。以前の教わりましたことに関連することを見つけたと思うのですが。
p.224 にあります、(P)がSPEの定義でしょうか。そして、
p.228 σ^(x_,x_) が囚人のジレンマの場合で、1shot NASHとペナルティなSPEが一致する場合、
と解釈すればよろしいでしょうか。
また、
p.228 Theorem 3 で、1shotの対称な解にのみ注目すればよい。それは、平均すると対称な解は非対称な解以上のペイオフをもたらすから。
そして、ペイオフ最大化を考えるから、対称な解が合理的、
という解釈でよろしいでしょうか。
つまり、これは、ペイオフの集合が凸集合だから、ということと強く関係していると思うのですが。
プレイヤー１とプレイヤー２でペイオフ集合が同じ場合、凸集合の性格から、1shotの対称解に注目すればよいことになりますでしょうか。
繰り返しゲームでrenigotiationの時には、対称な解が最大値を与える均衡として残る、という一般論と解釈してよろしいでしょうか。
もうひとつ、p.229 におきまして、
Theorem 5 proof
Obviously, r=> π(x^{cn}) の直前までは理解できるのですが、
ここでなぜ、obviously 七日がわかりません。
申し訳ございません。
なにとぞよろしくお願い申し上げます。
いちごの、他のスレも読んでみたりしておりますが、やはり、経済の基礎からしっかり学んでいないとだめだ、と痛感させられます。
少しかじって、いい気になっている自分が恥ずかしいです。
ちょっと別の分野の踏み込んだ話になりますと、全く理解できません。
と申しますか、知らないことだらけです。 - 339 ：takizawa：2006/09/22(Fri) 12:46 ◆MpyjNwOMVM
- 今日はご挨拶だけして失礼致します。
お邪魔致します。
APSも早く読み終えるように致します。
申し訳ございません。
>>293
を読んでいなかった訳ではございません。
>>繰り返しゲームでは、対称均衡は導くものじゃなく、仮定するものです。
>>たとえ、ステージゲームでの均衡が対称なものしかなかったとしても、
>>繰り返しゲームで非対称な均衡はいくらでも作れます。
>>『現代の経済理論』の中の松島さんの解説
をもう一度よく読みなおします。
ただ、フォーク定理が成り立つ、というのと、動学的に最適行動をとる、ということは別のような気も致しまして、
申し訳ございません。分かっておりませんのに大変失礼致しました。
動学均衡ですと、常に利得の最大化を目指す、というような物だったと思い込んでおりまして、
その場合、対称均衡しかなくなってしまうのか、がよく分からず悩んでおります。
論文を書くとか、研究をする、には程遠いような状況です。
申し訳ございません。
ただ、ぼんやりと考えておりましたことが、いきなり破綻しそうな方向へ話が展開しておりまして、
ちょっと悩んでおります。
いつも申し訳ございません。
お手数おかけ致します。
人間関係の構築が下手で申し訳ございません。
なるべく、貴殿や皆様にご迷惑をおかけしませんよう努力致します。 - 340 ：名無しさんの冒険：2006/09/23(Sat) 01:43
- >>338
＞p.224 にあります、(P)がSPEの定義でしょうか。そして
そうですが、「そして」以降は意味不明です。
＞繰り返しゲームでrenigotiationの時には、対称な解が最大値を与える均衡として残る、という一般論と解釈してよろしいでしょうか。
APS の定義を採用するならば、そうです。
「obviously」なのは、例えば定理２から直ちに従うからです。
あるいは、p224 の CBE の定義で、γ を x^{cn} の繰り返しとしたら、
r_ = l(σ) >= π(x^{cn}) です。（r_ の定義は p226 参照）
>>339は意味不明です。 - 341 ：takizawa：2006/09/26(Tue) 04:54 ◆MpyjNwOMVM
- いつも申し訳ございません。
今回もかなり理解ができておりませんでした。
いつも中途半端な質問をして申し訳ございません。もう少ししっかり読みます。
そもそもこの論文の前提を理解しておりませんでした。
ようやく理解できました。
ちょっとまとめさせてください。申し訳ございません。
perfect monitoring のときに、symmmetricな均衡が存在する条件を導出していました。
(A1),(A2):symmmetricな均衡が存在するのに必要な条件。p.219のような状態を起こさない条件。
(A4):perfect monitoring のときに、strongly symmmetric なCBEに必要な条件。
(A5):x^{cn} は最大のペイオフを与え、しかも対称。つまりπ(x^{cn})より大きいペイオフは均衡にならない。
より、symmmetricに必要な仮定を導いております。
わからないのですが、(A6),(A7)により、Theorem5,6が導出できますが、Theorem5が何のためにあるのかがわかりません。 - 342 ：takizawa：2006/09/26(Tue) 05:08 ◆MpyjNwOMVM
- たびたび申し訳ございません。もう２点お願い致します。
p.230 Theorem 6 proof中、
These inequalities may be seen to imply π(x_{2}) > π(x_{1})
とあり、かなり気弱で非断定的な推測のような文章で、その後、Hence...
と証明が続きます。
私には、π(x_{2}) > π(x_{1}) が導出できませんでした。が、生意気を申して申し訳ございませんが、
この部分の証明はおそらくの推定に基づいている、という解釈でよろしいでしょうか？
もう１点ですが、
Folk Theorem は δ→1 のとき、Feasible で、IRなすべてのペイオフが実現可能とありますが、
これは、直感的には、例えば、δ→1 のとき、
∑_{k=0}^{∞} δ^{k}×1 → ∞
∑_{k=0}^{∞} δ^{k}×10 → ∞
だから、どちらも、(stage game のペイオフ) > 0 なら、∞になるから、変わらなくなるから、
というような直感的解釈でよろしいでしょうか？
これは、ご紹介下さった、『現代の経済理論』のp.94におけるRadner論文の問題点と同じことだと思います。
ちょっと話題はそれますが、数学的には、一応、
∑_{k=0}^{∞} δ^{k}×1 < ∑_{k=0}^{∞} δ^{k}×10 a.s. (almost surely)
a.s.でよいかわからないのですが、今探しておりますが、
このような感じの定義もあったと思うのですが、どう解釈すればよろしいでしょうか。
いつも申し訳ございません。 - 343 ：takizawa：2006/09/26(Tue) 05:10 ◆MpyjNwOMVM
- >>「obviously」なのは、例えば定理２から直ちに従うからです
すみません。昨日理解できまして、書き込みに参りましたが、間に合いませんでした。
いつも申し訳ございません。 - 344 ：名無しさんの冒険：2006/09/26(Tue) 11:34
- >>341
定理5はそれ自体で面白さを味わってください。
renegotiationを課したもとでの均衡利得の集合に関する定性的な性質です。
>>342
π(x2) > π(x1) は導出できます。
f(x1;δ1) > f(x2;δ1) の両辺に δ1/(1 - δ1) を掛けたものと、
f(x2;δ2) > f(x1;δ2) の両辺に δ2/(1 - δ2) を掛けたものの両辺を足し合わせて整理すると、
[δ2/(1 - δ2) - δ1/(1 - δ1)] [π(x2) - π(x1)] > 0
が得られます。δ2/(1 - δ2) > δ1/(1 - δ1) なので、π(x2) > π(x1) です。
Folk Theorem の直感的解釈はダメ過ぎです。
そんな簡単な方法で理解できるようなつまらない定理じゃありません。 - 345 ：名無しさんの冒険：2006/09/27(Wed) 03:44
- δ -> 1 に飛ばす前に 1-δ を掛けて正規化してください。
両辺∞のまま左右の大きさを比較しても、ぐだぐだなだけです。 - 346 ：takizawa：2006/09/29(Fri) 13:27 ◆MpyjNwOMVM
- いつも誠にありがとうございます。いつもお世話になりまして申し訳ございません。
ご紹介くださる文献をすべて読破するのは、私には困難そうです。
わざわざご紹介してくださっているのに、申し訳ございません。
やはり、才能のある方が、さらに、好きでなさるから、すごい結果が出るのだなあ、
と痛感します。
興味はあり、読んでみたいと思いますが、能力的に無理そうです。
また、お恥ずかしいですが、我ながら、そこまで大それた論文を書こう、書ける、とも思えません。
そういう考えがそもそもいけないのかもしれませんが、どちらかと申しますと、自分のことですが、
思いつきで行動しているようです。
ちょっとしたアイデア勝負のようなものしか思いつけません。
私の現状では、基礎的な論文を理解するのが精一杯のようです。
もやもやとアイデアのようなものは考えましたが、その前に読んでおきたい、読むべきなのだろう論文が、
まだ少なくとも６つほどございます。
皆様どう収拾をつけていらっしゃるのか、いつも不思議です。
きりがなくて収拾がつきません。
長々と申し訳ございません。
>>定理5はそれ自体で面白さを味わってください。
すみません。ちょっと、ユーモアを感じました。申し訳ございません。
>>両辺∞のまま左右の大きさを比較しても
はい、申し訳ございません。お恥ずかしいので一応言い訳をさせて頂きますが、
∞/∞、0×∞
などは、不定形となり計算できない、
何らかの変形をするのが一般的、
ということは、
一応センターレベルですので、存じております。
>>Folk Theorem の直感的解釈はダメ過ぎです。
>>そんな簡単な方法で理解できるようなつまらない定理じゃありません。
はい、もっと一所懸命考えます。
お忙しいところありがとうございます。
いつも申し訳ございません。
思いつきで書かないように致します。 - 347 ：takizawa：2006/10/03(Tue) 06:02 ◆MpyjNwOMVM
- いつもお世話になっております。
なにとぞよろしくお願い申し上げます。
Fudenberg and Levine (1991) JET 54, pp.26-47
"An Approximate Folk Theorem with Imperfect Private Information"
におきまして、
p.36 4. A Folk Theorem
For an example of such a game,...
におきまして、
In this case, all players can choose zero output levels,
がわかりません。
p_{i} < c_{i}
となる場合も発生しえるから、それが、SPEのpunishment
(つまりsupport)になるということでしょうか。
p.38におきまして、
Proof of Theorem 4.1 の Step 2 (Temporal Structure)
がわかりません。
細かい表記を気にして申し訳ございませんが、
A review stage lasts l^{R} L' periods, and a communications stage lasts l^{C} L^{C} periods.
は、
l^{C} L^{C} → l^{C} L'
の間違いでしょうか？さらに、
Each stage is further subdivided into phases; a review stage into L^{R} phases indexed by h=1,..., L'
は、
indexed by h=1,..., L^{R}
でしょうか？
Fig. 1 中におきましても、
h = L'
は
h = L^{R}
でよろしいでしょうか？
そうしますと、これらを前提にしました上で、
Set L^{C} = N × (N-2) × (N-1)!
がわかりません。communication phase を、
l^{C} L' = l^{C} L^{C} l'
とわけ、review phase l'個に対応して、
l^{R} L' = l^{R} L^{R} l'
とわけるのはわかりますが、L^{C}はどこから出てきたのでしょうか？
また、L'はベクトルの次元数ですから、必要な反復数l'は、
L'とL^{C}よりl'が求まり、それおり、L^{R}が求まる、ということでよろしいでしょうか？
最後にご確認をお願いいたします。
L^{C} (N=3) = 3 × 1 × 2! = 6
L^{C} (N=4) = 4 × 2 × 3! = 48
でしょうか？ - 348 ：takizawa：2006/10/06(Fri) 12:18 ◆MpyjNwOMVM
- いつも申し訳ございません。
一応一通り最後まで読みましたが、なかなか理解ができません。
L'の説明は、p.40 Step3(Strategies) の解説部分で理解できたと思います。
review フェーズにおいて、状態がrewardかpunishmentかで
l^{R} overline{L^{h}} または、l^{R} underline{L^{h}}と、
変わりました。申し訳ございません。
経過報告のようなことを致しまして申し訳ございませんが、
ちょっとまだ、
式(4.2)、
p.43、
l^{R} >= (1+γ) l^{ijk} / γ
p.44
Prob{ ヨji
| overline{π_{j}^{h}(・)} - π_{j}(・,α^{-h}) | <= ε'
and
(1/(overline{L^{h}} l^{R}))
∑_{t=1}^{L^{h} l^{R}} r_{i}(t) > g_{i}(overline{α^{h}}) + 2ε } <= β
p.45
Prob{ overline{x} <= g_{i}(overline{α^{h}}) + η + ε
and ρ_{i} > g_{i}(overline{α^{h}}) + 2ε }
<= 1-β
p.45
Prob{ | overline{π_{k}^{jki}(・)} - π_{k}(・,α^{jki}) |
> ε' } >= β
など、細部が導出できておりません。
細部とは申せ、いくつも積み重なりますと、最後のほうでは完全にわからなくなります。
もう少し自力で読めるようにがんばります。
いつも申し訳ございません。 - 349 ：takizawa：2006/10/08(Sun) 04:30 ◆MpyjNwOMVM
- いつも申し訳ございません。何とか間に合いましたようでほっと致しました。
いろいろ間違えておりましたようです。申し訳ございません。
理解できましたところだけ要点をまとめてみます。よろしくお願い致します。
T = l' (l^{R} L^{R} + l^{C} L^{C})
におきまして、定義がたくさんあり間違えました。
enforceable なペイオフベクトル overline{v} ∈ overline{V}
punishable なペイオフベクトル underline{v} ∈ underline{V}
とすると、任意のv∈V* (= overline{V} U underline{V} ) は、
ペイオフの次元数と同じ数(L')一次結合すれば表せるから、
v = ∑_{h=1}^{L'} overline{μ^{h}} overline{v^{h}}
v = ∑_{h=1}^{L'} underline{μ^{h}} underline{v^{h}}
が成り立つ。ここで、
overline{L^{h}} / L{R} = overline{μ^{h}}
underline{L^{h}} / L{R} = underline{μ^{h}}
∑_{h} overline{L^{h}} = ∑_{h} underline{L^{h}} = L^{R}
で、各overline{L^{h}}、underline{L^{h}} が整数になるようにL^{R}を決定すると、
p.38 Step 2 の１行前の |・| <= ε、|・| <= ε の式が出せます。
だから、L^{R} ≠ L' です。
で、
T = l' (l^{R} L^{R} + l^{C} L^{C})
となりました。 - 350 ：takizawa：2006/10/08(Sun) 04:39 ◆MpyjNwOMVM
- 大きく2点まだわからないのですが、申し訳ございません。
定義がわからなくなってしまいました。
p.38 Lemmma 4.2 とそれに関連しますAppendix で言いたいことは、
imperfect game において、
action profile overline{α^{h}} がenforceable であるためには、
プレイヤーiのみがoverline{α^{h}} から逸脱すると、
プレイヤーiのペイオフは低下する。
ということだと思うのですが。
λ_{j} は重みとあり、(つまり、∑_{j∈N} λ_{j} = 1 でしょうか？)
π_{j} はαに対するoutcomeの確率分布、
ですから、どちらも確立で、和が1、各値は1以下だと思います。すると、
∑_{j≠i} λ_{j} π_{j}(・,α_{i},overline{α^{h}}_{-i}) ) >= g_{i}(α_{i},overline{α^{h}}_{-i}) + η
は、g_{i}が期待ペイオフですから、λ_{j} π_{j}とgは比較できない、時限の異なるものだと思うのですが。
λ_{j}は何らかのペイオフということでしょうか？ - 351 ：takizawa：2006/10/08(Sun) 04:44 ◆MpyjNwOMVM
- さらに、p.39の図の説明に関連します部分におきまして、
毎period確認できるoutcomeが発生し、それらをいくつか束ねたのがphaseで、さらにまとめたのがstage
というのが本来の姿だと思います。
rewardからpunishへの変化が1度きりなので、このゲームはTit for Tat 戦略の1種でしょうか？
(punishの対象、相手、は変化できます)
p.37とp.40を見ますと、
g(α)=v
などとありますので、
ペイオフは各stageの終わりにのみ発生し、全部でl'回発生、ということでよろしいでしょうか。
そして、ペイオフの変動により、プレイヤーiの逸脱を確認できる、
ということでしょうか。
いつもお忙しいところまことに申し訳ございません。
もっと自力でよく読みます。
なにとぞよろしくお願い申し上げます。 - 352 ：名無しさんの冒険：2006/10/08(Sun) 22:38
- しばらく忙しいので、僕からは返事ができないと思います。
どうか悪く取らないでください。
勝手な理由ですみません＞たきざわさん＋少数のROMのみなさん - 353 ：takizawa：2006/10/10(Tue) 04:33 ◆MpyjNwOMVM
- いつもお世話になりまして誠にありがとうございました。
落ち着かれましたら、また是非ご教授お願い申し上げます。
自力でせずに、頼っているだけで申し訳ございません。
一応、現在の疑問の部分は、ある程度自力で解釈できました。
今後も、貴殿が戻られましたときに備えて、勝手に書き込み、記録をしていてもよろしいでしょうか。
また、もしもどなたか、ご協力くださる方がいらっしゃいましたら、なにとぞよろしくお願い申し上げます。
私は、教わっているだけで申し訳ございませんけれど、努力致します。
この論文では、ただ、細かいところを気にして申し訳ないのですが、
p.40 overline{π'} の定義につきまして、
(逸脱する確率) = (誰からもpunishされない確率) = (1-overline{π'})
ですから、overline{π'} は
(誰か一人でもpunishする確率)
だと思います。
p.40 Step 4のoverline{π'}の定義は、
(誰からもpunishされない確率)
になっており逆だと思います。
p.41、p.42のπ^、π'もそのように定義されていると思います。
深く感謝しております。
図に乗りましたようで、申し訳ございません。
ご迷惑をおかけしましたら、また、ご不快に致しましたら申し訳ございませんでした。
ちょっとまだ、π関連が、それぞれ、どれがベクトルなのかスカラーなのか、行列なのかで混乱しております。
もしよろしければ、また、なにとぞ、よろしくお願い申し上げます。
私の人間性や、性格が原因でないとよいのですが。 - 354 ：takizawa：2006/10/10(Tue) 04:35 ◆MpyjNwOMVM
- 今まで、ひょっとしますと１年以上わたり、お教えくだり、深く感謝しております。
今までで、研究では、一番お世話になったような気が致します。
私にも、何か、ご恩返しがいつかできるといいな、と思います。
本当に申し訳ございませんでした。 - 355 ：takizawa：2006/10/13(Fri) 11:48 ◆MpyjNwOMVM
- また、余裕ができましたら、なにとぞよろしくお願い申し上げます。
それまでは、経過報告をしていてもよろしいでしょうか。
現在は、
APS(1990)Econometrica, 58[5], toward a Theory of Discounted Repeated Games with Imperfect Monitoring
を読んでおります。
相変わらず、この系統の論文は、定義が厳格で、理解が難しいです。
ようやく、何を論文が証明しているのかを、少しは理解できるようになった気が致します。
たくさん読まないとなかなか理解ができません。
どうも、感謝の念を忘れると申しますか、
しばらくすると、教わることを当然のように考えてしまい、
誠意というものがなかったと反省しております。
もう少し失礼にならないように、自分で読むように致します。
それでは失礼致します。
どなたか、私と一緒に論文を読んでくださる方、ご協力お願い致します。 - 356 ：takizawa：2006/10/17(Tue) 06:26 ◆MpyjNwOMVM
- まだ、APS(1990)を読んでおります。
- 357 ：takizawa：2006/10/19(Thu) 17:35 ◆MpyjNwOMVM
- まだ、APS(1990)を読んでおります。
すみません。
一人ですと、なかなか読むのがはかどりません。
どうぞ、ぜひ、また戻っていらしてください。
なにとぞよろしくお願い申し上げます。
今日は、論文を集めに学校に来ました。 - 358 ：takizawa：2006/10/24(Tue) 05:48 ◆MpyjNwOMVM
- いつもお世話になっております
APS(1990)Econometrica p.1062にて、
(*) {t} + V(δ') + ε B_{z} < co V(δ)
の次の式
／
|x^{1}_{i} A^{i} x^{2}_{i} A^{i} ・・・ x^{d}_{i} A^{i} |
| ・・・
|x^{1}_{j} A^{j} x^{2}_{j} A^{j} ・・・ x^{d}_{j} A^{j} |
＼
はさらにその次の式、
u(p) = t + u'(p) + η∑_{l=1}^{d} overline{λ}_{k}^{l} x^{l}
when p∈I_{k}, k=1,...,K
において
η∑_{l=1}^{d} overline{λ}_{k}^{l} x^{l}
の
η∑_{l=1}^{d} overline{λ}_{k}^{l}
を
t(1,1,...,1)
とするようなλを求めたわけでしょうか。
どなたかお教えください。よろしくお願い致します。
APS(1990)ようやく読み終えました。 - 359 ：takizawa：2006/10/27(Fri) 12:07 ◆MpyjNwOMVM
- なんだか、一人で書き続けている変な人で申し訳ございません。
現在は、
Lehrer(1992) Mathematics of Operations Reserach 17[1]
Two-Player Repeated Games with Nonobservable Acions and Observable Payoffs
を読んでおります。
確認をお願い致したいのですが、
p.203 Definition 3.1, 3.2にあります、p～p'、および p'>pは、
同値関係や順序関係ではなく、
p.203で定義されている意味でよろしいのでしょうか？
また、同値関係と順序関係の違いがはっきりと理解できません。
よく調べて参ります。
大変申し訳ございませんが、もしもどなたか
Fudenberg and Maskin (1990) American Economic Review 80[2]
Evolution and Cooperation in Noisy repeated Games
をお持ちでしたら、お送り頂けませんでしょうか？
私も大学の図書館入校証を持っておりますので、著作権法違反にはならないと思います。
ただ、なかなか、所蔵している図書館までとりに行くのが困難です。
あるのかどうかもちょっと確証がもてません。
あつかましくて申し訳ございません。
申し訳ございません。
どなたかお持ちでしたら、大変お手数ですが、よろしくお願い申し上げます。 - 360 ：名無しさんの冒険：2006/10/31(Tue) 00:37
- >>Takizawa氏
AERなのであれば、JSTORにアクセスすればダウンロードできますから、
貴殿の大学がJSTORへのアクセスがあるかどうか調べてはいかがですか？
あとRepeated gameを勉強されているようですが、何か理由があるんで
すか？ - 361 ：takizawa：2006/10/31(Tue) 05:08 ◆MpyjNwOMVM
- >>360様
コメント・お返事ありがとうございます。
JSTORへのアクセスは可能ですが、AERはオンラインではないようです。
さらに所蔵している図書館が別キャンパスでした。
図書館は相互利用協定のようなものがありますので、紹介状を書いて頂けば別の大学へも行けますが、
現在卒業してしまいましたので、少々不便です。
あつかましくて申し訳ございません。
>>あとRepeated gameを勉強されているようですが
F-Tを勉強させて頂きまして、
興味を持った分野と申しますか、自分の今までのバックグラウンドが生かせそうな分野
と申しますか、論文の題材を思いついた分野と申しますか、
そう思いました。
ただ、まだまだ勉強不足で、絞り込めていないようだと最近気がつきました。
幅広くなんとなく、読んでいるだけになってしまってはだめですね。
もっと深く理解しないとだめだとわかって参りました。お恥ずかしいです。
長々申し訳ございません。 - 362 ：takizawa：2006/10/31(Tue) 05:35 ◆MpyjNwOMVM
- いつも申し訳ございません。
Lehrer(1992)
をまだ読んでおります。
どうかお願いします。どなたかお教えください。
p.205のexample 3.11と3.12においてUEP=LEPの領域が異なる理由がまだ理解できません。
繰り返すことで、逸脱を、相手が実現したペイオフから探知できる可能性がある場合、
しか均衡にならない、と言うことでしょうか。すみません。もう少し考えて参ります。
p.209最終行
By the previous observation, we get (p',q) not{∈} C_{2}.
のprevious observation がどこのことをさしているのかがわかりません。
この条件があればこの後の証明はすぐに理解できました。
p.210 Remark 4.15 (a)、(b)におきまして、
(a)qはqよりも大きいすべての戦略の中で、最適なもの。
(b)pはp'の中で最適な戦略であるだけでなく、
とありますが、
今までの論文の流れですと、逆で、つまり、
p>p'、q>q'
なpとqについて成り立つと思うのですが。
申し訳ございません。よく読みます。
今後ともなにとぞよろしくお願い申し上げます。 - 363 ：名無しさんの冒険：2006/11/01(Wed) 00:25
- スレッド名をTakizawaに変えてもいいぐらい、人いませんねここｗ
JSTORにアクセスできてAERはオンラインじゃないっていうのは不思議ですね。
JSTORでEconomicsをさがせばAERはあります。いまいち状況がわからず、す
みません。連絡先がわかるなら、メールで送ってもいいですよ。
私はRepeated game周辺の研究状況をあまりしりませんが、オークションなど
と同じように十分研究がつくされた感があったもので、どうしてTakizawa氏が
興味があるのかしりたかったわけです。 - 364 ：takizawa：2006/11/03(Fri) 14:13 ◆MpyjNwOMVM
- >>363様
ありがとうございます。
JSTORとの契約では、AERは電子ジャーナルとして契約されていないようです。
電子ジャーナルのページでAERがありませんでした。
雑誌により、あるものとないものがあるようです。
お手数おかけして申し訳ございません。
>連絡先がわかるなら、メールで送ってもいいですよ。
ご好意誠にありがとうございます。
お世話になっておりますだけで申し訳ございません。
>>オークションなどと同じように十分研究がつくされた感があったもので
そうとは知らずお恥ずかしいです。申し訳ございません、そして、ありがとうございます。
F-Tとギボンズから始めましたもので、現在の最先端の研究がどういう状態にあるのか存じませんでした。
ここのスレで、『現代の経済理論』の中の松島さんの解説、を紹介して頂き、かなりこの分野が研究されていることを初めて知りました次第です。
お恥ずかしい限りです。
F-Tを読んでみました限りでは、この分野は、面白い題材があり、論文がかけるかもしれない、と思いました。
私が思いつくことぐらいは、どなたかすでに考えていらっしゃいますね。
しかしまた、この分野は、とても数学的で面白いです。
ただ、私の能力では、理解するのが精一杯で、とてもこのような論文は書けそうにありません。
当たり前だ、といわれるような気も致します。
本当に、理解するので精一杯です。 - 365 ：takizawa：2006/11/03(Fri) 14:14 ◆MpyjNwOMVM
- また、どなたかお願い致します。
お忙しいところ大変申し訳ございませんが、ぜひよろしくお願い致します。
Lehrer(1992)の証明が厳密すぎてついていけません。
現在、式の細かい導出で手間取っております。
p.215 (5.8a)から(5.8b)の導出などです。
(5.8a) β^{j}_{k} <= h_{2}(p^{j},q^{j}) + 4|∑_{1}| |∑_{2}| cε_{k}
(5.8b) β_{k} <= b + 3・2|∑_{1}| |∑_{2}| cε_{k} + cγδ_{k}
で、なぜ、右辺第２項の係数が3・2になるのかがわかりません。３通りありますから、3・4になると思いました。
また、同じくp.215 (*)の導出におきまして、
(*) <= ・・・・
= ∑_{s_{2} ∈ ∑_{2}} (h_{2}(p^{j}_{k}s_{2})/#M^{j}_{k}) (∑_{t∈M^{j}_{k}} Z_{t}(s_{2}) + cε_{k} |∑_{1}| )
で、|∑_{1}| と大きさをとっていますが、この係数のcは#M^{j}_{k} / p^{j}_{k}s_{1} で、
s_{1} の関数ですから、そのまま大きさを定数扱いで取れないと思うのですが。
本質的ではない、重箱の隅を気にして申し訳ございません。
今のところそのあたりで困っております。
関連する論文は、全て、数学的な厳密な証明が肝だと思われますので、これを大雑把に読み飛ばすのは
本質を理解していないことになるような気がして、なかなか進めません。
到底このような厳密な証明は、私にはできそうにありません。
いつもお世話になっているだけで申し訳ございません。 - 366 ：名無しさんの冒険：2006/11/04(Sat) 19:30
- 大学等の機関でJSTOR利用できるようになってれば、AERは入ってるよ（ただし、数年前の分までが利用可）。
東京か大阪に住んでいるなら、国会図書館を利用してJSTORを使うという手もある（ただし、プリントアウトのみ） - 367 ：名無しさんの冒険：2006/11/05(Sun) 10:02
- 街の図書館でも国会図書館のサービスは利用可能。ただし
係員がわからない人が多いから上司に相談、結局国会図書館に
相談など結構むだな時間がかかる。 - 368 ：名無しさんの冒険：2006/11/05(Sun) 16:44
- えっ、その辺の町の図書館から、JSTOR逝けるの？
- 369 ：名無しさんの冒険：2006/11/05(Sun) 17:22
- >>366
いいこと聞いた。ありがとう！
大学によっては購読契約してない雑誌もあるから何かの役に立ちそう。 - 370 ：名無しさんの冒険：2006/11/05(Sun) 18:30
- >>369
ぜひとも試して報告よろ！ - 371 ：takizawa：2006/11/07(Tue) 06:27 ◆MpyjNwOMVM
- いつもお世話になっております。誠にありがとうございます。
>>国会図書館を利用してJSTORを
存じませんでした。
大学の図書館は、e-Journalのリンクボタンでいけるようになっていますが、
AERはそのボタンがついていなかったです。
申し訳ございません。今度よく確かめて参ります。
ここ数年は、行く度にオンラインのシステムが変わっておりますため、
見落としていたかもしれません。申し訳ございません。
お蔭様で、Lehrer(1992)を読み終わりました。
ただ、細かいところを気にして申し訳ないのですが、一部理解し切れませんでした。
情報の大小関係の部分とそれに関連するExampleです。
p.203 Definition3.3のD_{i} と C_{i} および～と>(すみません。記号が出ないので代用します)は理解できたと思います。
そこでわからないのですが、p.205 Exampleで、
得られる情報量が減ってしまうから、Ex(3.12)の(X,W)は均衡にならない、とあります。
逆に、Ex(3.11)では、プレイヤー２にとってXの情報量のほうがWの情報量より多いから、
プレイヤー２はWよりXを選択し、ペイオフを増やせるとあります。
ここで疑問なのですが、プレイヤー２にとってWとYの情報量は同じです。
WについていえることはYについてもいえるはずだと思うのですが。
つまり、この理屈でいくと、Ex(3.11)において、
(W,Y)=(3/4,0)
も均衡ではなくなると思いました。
プレイヤー１の側からも同じ考察をしろということでしょうか？
プレイヤー１にとっては、WとXの情報量は同じ、YとZはWとXより劣ります。
W～X
Z,Y not{>} W,X
です。 - 372 ：takizawa：2006/11/07(Tue) 06:39 ◆MpyjNwOMVM
- で、Ex(3.11)中の、
Here, {{W,X},{Y},{Z}}
S_{1} = S_{2} = {{W},{X},{Y,Z}}
が何を言っているのかがわかりません。
相手の手を識別できるという意味なら、
S_{1} = {{W},{X},{Y,Z}}
S_{2} = {{W,Y},{X},{Z}}
で、情報量は、
プレイヤー２：W～Y、X>Z、W,Y>Z、W,Y not{>} X、
X>W,Y (Ex.3.11のとき)、
X>W,Y (Ex.3.12のとき)
プレイヤー１：Y～Z、X>Y,Z、W>Y,Z、W not{>} X、X not{>} W
だと思います。
相手が手を変化させたことをこちらが自分のペイオフの変化からキャッチできるか、という意味ですよね。
そして、そのキャッチできる個数を、情報量と呼んでいると思います。
つまり、partitionのようなものだと理解しております。
さらに細かいことを申しますが、
p.206の2行目、
By chaning this payoff (1,0)...
は(0,1)でよろしいでしょうか。
この理解であっておりますでしょうか？
いつも申し訳ございません。
英語の解釈を間違えたのか、誤植なのか、数学の解釈を間違えたのか、
混乱しております。
どなたかご存知でしたらお教えください。
現在は、
Abreu, Pearce, Stacchetti (1986) JET
"Optimal Cartel Equilibria with Imperfect Monitoring"
を読んでおります。
ようやく一通り少しは目を通せつつあるような気が致します。
論文を、作者名の略で、APSとか呼ぶのは、この論文あたりが元だったのですね。
今回気がつきました。
皆様、きっちりと、昔の論文も読んでいらっしゃるのだ、と改めて驚き、びっくり致しました。
とてもすごい量勉強なさっていますね。
申し訳ございません。
今後ともなにとぞよろしくお願い致します。 - 373 ：名無しさんの冒険：2006/11/09(Thu) 17:14
- NonDiscountingのケース（Lehrerとか)は、経済学ではあまり重視されないので、経済での応用に興味がある場合はあまり時間をかける必要はありませんよ。
- 374 ：takizawa：2006/11/11(Sat) 09:17 ◆MpyjNwOMVM
- いつもお世話になっております。
>>373
ありがとうございます。
割引があるもっと現実的なモデルを考えるということですね。
おっしゃいますとおり、極限が異なってしまう、などの難点が指摘されておりました。
APS(1986)におけます、生産コストの定義C_{0}は、
限界コストが増大する、収穫逓減を表している、
という考えでよろしいでしょうか。
本質的でとても面白い論文です。 - 375 ：takizawa：2006/11/14(Tue) 09:21 ◆MpyjNwOMVM
- お邪魔致します。
たびたび申し訳ございません。
現在、
Fudenberg and Maskin(1990) AER
Evolution and Cooperation in Noisy Repeated Games
を読んでおります。
ありがとうございます。
なんだか、勝手に日記を書いているようで申し訳ございません。 - 376 ：takizawa：2006/11/16(Thu) 12:46 ◆MpyjNwOMVM
- いつもお世話になっております。誠にありがとうございます。
Fudenberg and Maskin(1990) AER
を読み終わりました。
この論文は、進化ゲーム論でした。
まだ、進化ゲーム論と、ゲーム論をどう使い分けるのか理解が不十分ですが、
均衡にいたる手法の一つ、と大雑把に理解しております。
http://civitas.e.yamagata-u.ac.jp/evogame/
ここなどを読んでおります。 - 377 ：takizawa：2006/11/16(Thu) 14:26 ◆MpyjNwOMVM
- Noisy Prisoner's Dillema
は、ESの枠組みでしか語られておりませんでしょうか？
検索で、１１件ほど見つけましたところです。 - 378 ：takizawa：2006/11/16(Thu) 16:00 ◆MpyjNwOMVM
- F-Tでは、ESというようには特定していなかったように読めましたもので。
もう一度読んで参ります。
いろいろご迷惑をおかけして申し訳ございません。
Farrel and Maskin(1989)Games and Economic Behavior
"Renegotiation in Repeated Games"
を読み始めたところです。 - 379 ：takizawa：2006/11/21(Tue) 08:27 ◆MpyjNwOMVM
- よろしくお願い申し上げます。
Farrel and Maskin(1989)をまだ読んでおります。
もっと早くたくさん読まないと難しいと悩んでおります。
p.335式(5)
p_{i} = (1-δ^{t_i}) g_{i}(a^i) + δ^{t_i} v_{i}
をどうやって導出したのか悩んでおります。
p.341
Pareto-efficient なペイオフは、
v_{i} (2-log(v{i})) > 1
なときのみWRPだとありますが、この条件をどう出したのかがわかりません。
v_{1} (1-log(v{1})) > v_{2}
v_{2} (1-log(v{2})) > v_{1}
からでしょうか？
よろしくお願いいたします。
どなたかお教えください。
ネットにおきましても、攻撃的な、と申しますか、社会性のなさが影響しておりますでしょうか。
ご迷惑おかけして申し訳ございません。けんかを売るからいけないのかなと思っているところです。
逆に、ネットで訓練をしておけばよかったか、と反省しております。 - 380 ：takizawa：2006/11/21(Tue) 08:28 ◆MpyjNwOMVM
- どうみても荒らしになっておりますようで、申し訳ございません。気をつけます。
- 381 ：名無しさんの冒険：2006/11/22(Wed) 02:43
- >>takizawa氏
以前AERの論文をメールで送ったものです。荒らしになってるとは思いませんが、
takizawa氏専用のスレッドになりつつあるのは確かなようです。
スレッドの活性化のために、問題提起やご自身のアイデアについて意見を交換さ
れたりするのはいかがでしょうか？あまり細かい話になりますと、それだけ話に
付いていける人たちのグループが小さくなってしまいますので、できれば大まか
な議論でも十分だと思います。
頑張ってください。 - 382 ：takizawa：2006/11/24(Fri) 11:24 ◆MpyjNwOMVM
- takizawaです。いつもお世話になっております。誠にありがとうございます。
>>以前AERの論文をメールで送ったものです
その節は誠にありがとうございました。
>>381
ご助言誠にありがとうございます。
すみません。ひとつ勘違いに気がつきました。お恥ずかしいので訂正させてください。
>>p.335式(5)
>>p_{i} = (1-δ^{t_i}) g_{i}(a^i) + δ^{t_i} v_{i}
>>をどうやって導出したのか悩んでおります。
これは、Porter(1984)の論文などにもあるのと同じ方法で、
T期間punishmentをした後、元に戻る、というSPEを考えたものでした。
申し訳ございません。
やはり、繰り返しゲームは、FLM(1994)Econometricaにすべてがまとめられている、と申しますか、ここに集約されるということでしょうか。
私の能力では、まだ、この論文は理解し切れません。
大意はつかめますが、何をしようとしているかはわかりますが、証明法がわかりません。
以前ご紹介頂きました、「Mailath-Samuelsonの本」が同じ方向の内容に見えました。
これを読みこなすようでないと困難でしょうか。
思いついたことがあるのですが、どういう意味があるのか、価値があるのか、どう関連するのか、まったく検討がつきません。
もう２つほど読みたい論文がございます。
これを読めば、もう少し理解が深まると思うのですが。
まったく見当違いのことを申し上げてしまうとお恥ずかしいですので、ちょっとまだ、議論をお願いできるレベルにございません。
もっとがんばって読みます。 - 383 ：takizawa：2006/11/28(Tue) 09:28 ◆MpyjNwOMVM
- いつもお世話になっております。
追加で、もう２・３読みたい論文ができました。
FLM(1994)Econometrica
などにありますように、
ペイオフを、
今回のペイオフと今後のペイオフの２つに分解して、その凸結合とみなす。
のが基本のようです。
これに関連する論文は、
いずれもFolk理論を説明するためのもの、
という解釈でよろしいのでしょうか。
そうしますと逆に、
ペイオフの領域を狭めるような均衡を出してしまった場合は、
価値があるのでしょうか？
どうも、「やってみたら、こんな答えが出ました。」という以上のものができそうにありません。
また、FLM(1994)Econometricaや「Mailath-Samuelsonの本」で答えは出た、ということでしょうか。
すみません。まだよくわかりません。もっとよく読みます。 - 384 ：takizawa：2006/12/05(Tue) 08:52 ◆MpyjNwOMVM
- いつもお世話になっております。
突然申し訳ございません。
あちこちで、
Maskin and Tirole, "Markov Perfect Equilibrium I"
Maskin and Tirole, "Markov Perfect Equilibrium II"
が紹介されていますが、
IIの方は存在しませんでしょうか？
先日論文を取りに参りましたが、見つからないです。
I Observable Actions
II Unobservable Actions
だったと思うのですが、Iのほうも、actionsは観測できない、つまり、unobservableなケースを議論していると思います。
IとIIがまとめて論文にされたということでしょうか？
mimeoなどでは、最初I,IIまとめて、立ったのが、論文になるとき分割されたように書いてあります。
partitonが異なる場合、というのは、unobservableだと思います。
もしもご存知でしたら、どなたかお教えください。
FLM(1994)、AMP(1991)、APS(1990)、APS(1986)、GP(1984)をあわせて考えております。
Tit for Tat でT期間punishしたあと、元に戻る戦略、を考慮するのはなぜでしょうか。
そのほうがペイオフが大きくなるから、という解釈でよろしいでしょうか。
unobservableのとき、非対称のpunishmentのほうがよい、という理由が理解しきれません。
observableでも非対称のほうがよい気もします。
Unobservableなとき、対称なpunishmentはMarkovで記述される、というのも、
APS(1986)に言葉で導出されていただけのように記憶しております。(もう一度確かめます)
これから、Matsushima先生の論文を読もうと思います。
よろしくお願い申し上げます。 - 385 ：takizawa：2006/12/08(Fri) 11:45 ◆MpyjNwOMVM
- いつもお世話になっております。
>unobservableのとき、非対称のpunishmentのほうがよい、という理由が理解しきれません。
>observableでも非対称のほうがよい気もします。
「現代の経済学」にも触れられていましたが、定量的な証明がないので、ちょっと納得し切れません。
割引率に依存する、とあります。
もしもpunishmentがそうだとすると、
stochastic gameやdifferential gameに自動的になってしまいますが、
そういうものなのでしょうか？
>いずれもFolk理論を説明するためのもの、
>という解釈でよろしいのでしょうか。
そもそもFolk Theoremが成立することを示そうとしているわけですよね。
ちょっと困っております。 - 386 ：takizawa：2006/12/12(Tue) 08:03 ◆MpyjNwOMVM
- いつもお世話になっております。
ついに誰からもコメントを頂けなくなってしまいました・・・(;_;)/。
これから、Kandori先生の論文を読もうと思います。
現在は、private informationが主流のようですね。
じっくりと、これだと思った論文をよく読んで、疑問点を考える。
と教わったことがありますが、ようやくその意味がわかったような気が致します。
>>383
のようなことを聞いていてはだめですね。自分でよく考えます。 - 387 ：名無しさんの冒険：2006/12/15(Fri) 15:55
- かわいそうなのでレス。
>unobservableのとき、非対称のpunishmentのほうがよい、という理由が理解しきれません。
>observableでも非対称のほうがよい気もします。
トリガー均衡は、observableだと効率的だけど、unobservableだと非効率的ですね。
RadnerMyersonMaskinの例がF&Tにのっていたはずです。
>もしもpunishmentがそうだとすると、
>stochastic gameやdifferential gameに自動的になってしまいますが、
>そういうものなのでしょうか
そういうものではありません。stochastic gameやdifferential gameは違う
ゲームです。punishmentは一つのゲームのなかの均衡の一部に過ぎません。
それが違うことが、ゲームの違いに結びつくというのは理解に苦しみます。
>いずれもFolk理論を説明するためのもの、
>という解釈でよろしいのでしょうか。
Dynamic Decompositionは、Folk理論を証明するために有用です。
しかし、それだけが目的ではありません。むしろ、均衡利得集合
の特定化（APS)で、その有効性が決定的になります。 - 388 ：名無しさんの冒険：2006/12/16(Sat) 06:31
- まだ基本的な理解に問題があるようなので、F&Tの5章、
あるいはピアスのサーベイを熟読して本当に理解して、
研究の流れをつかむことをお勧めします。それまでは、
論文を読んでもあまり意味がありません。 - 389 ：名無しさんの冒険：2006/12/18(Mon) 07:06
- 久しぶりにレスします。
私的モニタリングは、2002年のJETの特集号と、
Sekiguchi, Ely-Horner-Olszewski などからはじめるといいと思います。
たきざわさんが純粋に理論を目指すならば、
Dynamic Decompositionの有用性を過信しすぎないほうがいいので、
「Folk理論を説明するためのもの」という理解でもかまわないと思います。
APSがあるからといって、
特殊な場合以外では均衡利得の集合を具体的に計算するのは大変です
（たとえばMailath-Oabara-Sekiguchi）し、
公的モニタリングでも、Dynamic Decompositionを用いてPPEを調べることは
即ち私的戦略を無視することにつながり、そこからロスが生じえます。
この辺りはKandori-Obaraを読んでください。
>observableでも非対称のほうがよい気もします。
固定したδの元ではその通りです。
Abreu の optimal (severest) penal code の議論を思い出してください。
optimal (severest) penal code はプレーヤーの名前 i に依存して選びます。
対称均衡（たとえばNash trigger）で効率性にロスが生じないのは、
δを十分大きくとっている場合の話です。
言い換えると、unobservableなら、どんなにδを大きく取っても、
対称均衡から生じるロスがゼロにいかない場合があります。
Radner-Myerson-Maskinの例は、戦略の対称性ではなく
シグナル構造の対称性（pairwise identifiability が成り立たない）ゆえに、
「たとえ非対称均衡を用いても効率性にロスが生じる」例なので、
ここでの議論では適切ではないかもしれません。 - 390 ：名無しさんの冒険：2006/12/18(Mon) 12:35
- 確かにRMMの例はよくなかったですね。AMPの例はのっていたんでしたっけ。
まあ、2シグナルの繰り返し囚人のジレンマで考えてみるのが、一番の早道です。
後は、特に付け加えることはないのですが、
>unobservableのとき、非対称のpunishmentのほうがよい
は、第一義的には、対称均衡では非効率的なContinuationPayoffsを正の確率で
使わなくてはいけない事実を指しているはずです。上のコメントは
正しいですが、Takizawaさんを混乱させるかも知れません。
詳しく言えば、「observableでも非対称のほうがよい」
という事実を、「unobservableのとき、非対称のpunishmentのほうがよい」
ことと矛盾しているかのように考える元の質問を放置しておく
のはよくないかと。大事なのは、Takizawaさんが「unobservableのとき、
非対称のpunishmentのほうがよい」というステートメントの特殊
な意味を理解することです。そうしないと、その先に行っても
苦労するばかりです。ましてやPrivate StrategyあるいはPrivate
Monitoringなどは、ちょっとまだ避けた方が...... - 391 ：389：2006/12/19(Tue) 03:35 ◆ys6g9pvftc
- そうですね。補足していただいてありがとうございます。
2つだけコメントさせてください。
対称均衡に限った場合は、オリジナルとしては APS の 1986年の論文かと。
AMP でもオッケーですが。
あと、細かいことですが、2シグナルだと pairwise identifiability が成り立たなくなるので、
3シグナル以上のほうがいいと思います。
＞対称均衡では非効率的なContinuationPayoffsを正の確率で使わなくてはいけない
これは、固定したδのもとでは、非対称均衡でも（多くの場合）そのまま成り立ちます。
（Pareto フロンティアが「平ら」になってる Athey-Bagwell は例外。）
だから、対称・非対称の違いをもう少し正確にいうには、
対称均衡の場合に δ を 1 に飛ばしても非効率性が消えないことを説明する必要がありそうですね。
まあ、このあたりは具体的に収束のオーダーを見てやらないことには何も言えないわけですが。 - 392 ：名無しさんの冒険：2006/12/19(Tue) 16:35
- ＞3シグナル以上のほうがいいと
御意。やはり、FLMの3シグナルの例がベストですかね。
ご存知のとおり、「効率的なContinuationPayoffs」という言い方が、意味しているのは、ある特定の超平面上にContinuationPayoffsを乗っけることができるということです。(あるウェイトで測った場合に、全てのContinuationPayoffsが同じだけ「効率的」だと）。もちろん、こういう「効率性」の使い方は厳密にはスロッピーで、δ を 1 に飛ばしたときに、その場合に非効率性が何故消えるかを理解しなくてはいけないんだけど。でも、上のような言い方以上になると掲示板の限界を超えてしまうような......だから、大学院レベルでも、専門家を除けば、まあこの程度の理解でOKじゃないかと。 - 393 ：takizawa：2006/12/28(Thu) 06:26 ◆MpyjNwOMVM
- いつもお世話になっております。
お教えくださいましてありがとうございます。
さぼっておりまして申し訳ございません。
おっしゃいますとおり、もう一度F-T５章をよく読みます。
申し訳ございません、反抗しているわけではございませんが、
FLM(1994)Econometrica、p.1004、２段落目、２行目、
v_{1} + v_{2} >= 3/2
の式におきまして、なぜ、3/2以上なのかがわかりません。
3/2はどこから出てきたのでしょうか。
細かい初歩的な質問ばかりで申し訳ございません。
>>均衡利得集合の特定化（APS)で、その有効性が決定的になります。
>>トリガー均衡は、observableだと効率的だけど、unobservableだと非効率的ですね。
RadnerMyersonMaskinの例がF&Tにのっていたはずです。
いろいろありがとうございます。
もっとよく読みます。
やはり、FLMが一番面白いです。難しくて理解できておりませんけれど。 - 394 ：名無しさんの冒険：2006/12/28(Thu) 09:14
- V* をちゃんと計算してみたら？
minimax値はふたりとも0なので、
V* は (0,0), (3/2,0), (1,1), (0.3/2) を結んだ四角形だよね。
（3/2 は (1,1) と (2,-1) を結ぶ線分の y 軸切片です。） - 395 ：名無しさんの冒険：2006/12/30(Sat) 09:40
- ↑自己レス。x 軸切片のまちがい。
- 396 ：takizawa：2007/01/02(Tue) 09:54 ◆MpyjNwOMVM
- あけましておめでとうございます。
>>394
ありがとうございます。
早速確認します。今全く勉強しておりませんですみません。
文章の書き方が下手ですみません。
>>もしもpunishmentがそうだとすると、
>>stochastic gameやdifferential gameに自動的になってしまいますが、
>>そういうものなのでしょうか？
この文章は、
>>Unobservableなとき、対称なpunishmentはMarkovで記述される、というのも、
>>APS(1986)に言葉で導出されていただけのように記憶しております。(もう一度確かめます)
この文章に続けて書こうとしたものです。
結果の数が、actionと同じ数だけないと判断できない、
というunobservableの場合の条件はわかります。
で、differential gameやstochastic fameにおいては、状態量、という、ひとつの結果だけで、
記述される、ということも理解しております。
つまり、differential gameやstochastic fameにおいては、そもそもunobservableなときの、
結果がactionの数と同じだけ必要、という条件を、特殊な場合を除くと、満たせないわけですよね。
ここまでは理解できているつもりです。
間違えていなければですが。
長々申し訳ございません。
あまりに馬鹿だと思われますと悔しいですので、少し弁明させて頂きました。
上塗りになっていないといいのですが。
いつもお世話になります。 - 397 ：takizawa：2007/01/08(Mon) 08:41 ◆MpyjNwOMVM
- もう一度読み直して参りました。
おかげさまで、あいまいにしていた所を思い出しました。
>>394
ありがとうございます。おっしゃるとおりでした。
あつかましくて申し訳ございませんが、報告させてください。あと、お教えください。
確認が２点と、質問が１点ございます。
要領よくなくて申し訳ございません。
①F-T p.193 Example 5.4の
Π_{i} (work,work)
は、FLM(1994)の3.1式の、
π(12|α) w_{i}(12) + π(0|α) w_{i}(0)
に対応したもので、
9/16 w_{g} + 7/16 w_{b}
5/8 w_{g} + 3/8 w_{b}
となり、
Π_{i} (work,work)は、
-i の戦略がworkのとき、
iがwork
iがshirk
の確率を行列を段重ねにして書いたものですよね。 - 398 ：takizawa：2007/01/08(Mon) 08:49 ◆MpyjNwOMVM
- そして、F-T p.193 の続きの部分ですが、
均衡における合計のペイオフの最大値は２、
とあります。
これは、
対象ペイオフマトリックスで、均衡となる確率から出したもの、
(正確な言葉を知らず申し訳ございません。)
つまり、
プレイヤ1がworkとshirkするときで無差別になる、
と同時に、対象対称性から、
プレイヤ2がworkとshirkするときで無差別になる、
と言う条件から出したと思います。
(説明が下手ですみません。)
work shirk
work (5/4,5/4) (1/2,3/2)
shirk (3/2,1/2) (0,0)
において、
プレイヤ1がwork/shirkする確率を、p,(1-p)
プレイヤ2がwork/shirkする確率を、q,(1-q)
としたとき、
5/4q + 1/2(1-q) = 3/2q
で、
q=2/3
対称性より、
p=2/3
です。
よって、二人のペイオフの合計の期待値は、
(5/4*2/3*2/3 + 1/2 * 2/3*1/3 + 3/2*1/3*2/3) * 2 = 2
で、2です。
しかし、FLM p.1003 の例では、shirk がworkに対し、dominate 戦略です。
したがって、ペイオフは0になりませんでしょうか？ - 399 ：takizawa：2007/01/08(Mon) 08:59 ◆MpyjNwOMVM
- 長くなり申し訳ございません。
②その続きの、F-T p.194 なのですが。
言われた条件で、式を追いかけて導出することはできました。
しかし、条件自体がわかりません。
(一つ目)
6行目、
stationary だから、均衡ペイオフがv*の時の第１期目のペイオフは、v*より大きい。
stationary なら、v*と等しくなるのではないでしょうか？
すみません、stationary を理解できておりません。
Tit for Tat、Green and Porter(1984)の戦略、Triger戦略、はstationary とは言わないと思うのですが。
(二つ目)
式を２本置いて、次の段落で、
v_{g} <= v* だから、もしもv* が5/4に近いならば、・・・
とあります。
ここでは、
v* = (1-δ)α + δ β
より、α > v* ならば、β < v* となることを用いていると思います。
ただ、そもそも、
v_{g} <= v*
と、どうしていえるのかがわかりません。 - 400 ：takizawa：2007/01/08(Mon) 09:04 ◆MpyjNwOMVM
- ③第３点目ですが、おっしゃいました、RMMの例との相違点は、理解できていると思います。
ちょっと逆説的で、下手な説明をして申し訳ございません。
F-T p.195～p.196 におきまして、結果が３つのときでも、
Π_{12}(work,work) =
π(work,work)
π(shirk,work)
π(work,work)
π(work,shirk) すみません。ここは行列です。
=
(1/2,3/8,1/8)
(1/4,1/2,1/4)
(1/2,3/8,1/8)
(1/4,1/2,1/4)
であり、このrankはrank=2です。
つまり、
あるprofile α はindividual full-rank だけれど、
別のprofile α' はindividual full-rank ではない、
ということですよね。 - 401 ：takizawa：2007/01/08(Mon) 09:13 ◆MpyjNwOMVM
- 逆に、結果が２つの場合ですが、
F-T p.195結果が３つの場合から類推すると、
Π_{12}(work,shirk) =
π(work,shirk)
π(shirk,shirk)
π(work,work)
π(work,shirk) すみません。ここは行列です。
=
(3/8,5/8)
(0,1)
(9/16,7/16)
(3/8,5/8) ここも行列です。
→ rank = 3 （＊）
と本来なりますが、
こうならないのは、
F-T p.195の、結果が2つ、の例では、
2人ともshirkなとき、結果がgとなる確率が0だから、
（＊）において、rank=3ではなく、rank=2で、
これとは逆に、>>400 においては、
確率分布が、
π(shirk,work) = π(work,shirk)
だから、rank=2で区別できない、
ということでしょうか。
FLMでは、区別できる例になっているわけですよね。
要領よくなくて、説明が長く申し訳ございません。
現在は、
F-T p.196 Theorem 5.11の、iのminimaxとbestが一致、というあたりの意味がわからず考えております。
いつもお世話になります。
誠にありがとうございます。 - 402 ：takizawa：2007/01/10(Wed) 03:25 ◆MpyjNwOMVM
- ああ、間にあった。と申しますか、あまりにも馬鹿なことを書くので見放されたのでしょうか。
よろしくお願い致します。
見放されてかわいそうなtakizawa （；＿；）/です。
気がつきましたのであわてて書きます。どうも私は本質を理解していないようです。
②のstationary うんぬん、ですが。
F-T p.194 8行目の、
”at least v*”
という表現が気になりまして。
Since the set of these equilibria is stationary, the...
の、set of these equilibria はAbreuの言う、
V(δ) = B(V(δ))
のことを言っていますよね。
で、この集合の中で最大値をv*とする、とあります。
すると、v*以上の値はないと思ったのですが。
それで、stationaryの意味を間違えたかな、とかいろいろ考え込みました。
ひょっとして、v*は対称な解だから、非対称な解も考えればそれ以上を選択でき、だから、
at least と書いたのでしょうか。と今日気がつきました。
じつは、
v*以上がないのに、at least v* と書いたのは、
均衡からの逸脱を考えたとか、あるいは、one-shotでの話かな、とかいろいろ考えてしまいまして。
えんえん、わけのわからない、初歩的な説明をして申し訳ございません。
一人で書きまくってすみません。
(ア)囚人のジレンマが無限回のとき
CCCCCCCC・・・・・
CCCCCCCC・・・・DDDD・・・・
・・・
CCDD・・・
CD・・・・・
DD・・・・・
すべて、NASHですよね。
で、これらのうち、
CCCCCCCC・・・・・
がv*かな、と思いました。
C:協力、D:裏切り、とします。
もちろん、均衡から逸脱しても利益は得られない、というの、one-shot NASHの前提は成り立っているのですよね。
それで、v*以上を得られる、というのが、どういう状態を指すのか、
set of these equilibria が何を指すのか、を考えておりました。
申し訳ございません。 - 403 ：takizawa：2007/01/10(Wed) 03:32 ◆MpyjNwOMVM
- ③RMMで、ペイオフ行列は、(ちょっとわかりづらいですが)
(5/4,5/4)(1/2,3/2)
(3/2,1/2)(0,0)
で、このとき、(5/4,5/4)はパレートで、δ→1なら、enforceableです。
でも、δ→1でも、結局ペイオフは、(1,1)になってしまい、Folk Theoremは成り立っていない、
それはimperfeect monitering のせいだ、
という話ですよね。
おかげさまでそこは理解できたと思います。
なんだか、墓穴を掘りまくるような質問をしてしまいまして申し訳ございません。
去年から、徹夜で連日ぶっ続けでテレビゲームしてまして、頭が朦朧としております。
申し訳ございません。 - 404 ：takizawa：2007/01/10(Wed) 03:39 ◆MpyjNwOMVM
- だらだらまとまりなく書いて申し訳ございません。
ですから、
②におきまして、②の解釈でよろしいのなら、
v*がcontinuatrion payoff の最大値ですから、
v* >= v_{g} >= v_{b}
となります。
で、集合が、stationaryだ、ということなら、そう思います。
ただ、逆に、stationaryでない集合、がどのようなものなのか、がわかりません。
Since the set of these equilibria is stationary,
は
Abreuの言う、
V(δ) = B(V(δ))
を、さしているわけですよね。
均衡がstationaryでない、という意味かと思ったり、いろいろ考えました。
どうも申し訳ございません。 - 405 ：takizawa：2007/01/10(Wed) 04:17 ◆MpyjNwOMVM
- どんどん長くなりましてすみません。
コメントをもう一度読みましたが、私だけレベルが明らかに低いです。
よく読んで参ります。
>>Radner-Myerson-Maskinの例は、戦略の対称性ではなく
>>シグナル構造の対称性（pairwise identifiability が成り立たない）ゆえに、
>>「たとえ非対称均衡を用いても効率性にロスが生じる」例なので、
>>ここでの議論では適切ではないかもしれません。
おかげさまで、RMMの例を理解できたと思います。
とりえるペイオフの確率分布が変わることが大事なわけですよね。期待値は同じでも。
ただ、
>>ここでの議論
が何を指すのかがわかりません。
>>APS
は、
APS(1986)JET, Optimal cartel equilibria with imperfect monitering
でしょうか。
>>「効率的なContinuationPayoffs」という言い方が、意味しているのは、
>>ある特定の超平面上にContinuationPayoffsを乗っけることができる
このあたりから、FLMを理解できておりません。直感的な意味はわかっていると思うのですが、
数学的な議論がついていけません。
>>公的モニタリングでも、Dynamic Decompositionを用いてPPEを調べることは
>>即ち私的戦略を無視することにつながり、そこからロスが生じえます。
ちょっとまだそこまでたどり着けません。
>>2シグナルだと pairwise identifiability が成り立たなくなるので、
>>3シグナル以上のほうがいいと思います。
ちょっとまだ混乱しております。
確率分布が異ならないといけないんですよね。
たとえ結果がy1、y2、y3と３つであっても、それぞれを取る確率の分布が、
プレイヤー１がしたときとプレイヤー２がしたときで、異ならないといけないんですよね。
もう一度よく読みます。 - 406 ：takizawa：2007/01/10(Wed) 04:18 ◆MpyjNwOMVM
- 長くなって申し訳ございません。今日は本当にここまでにします。
いただいたコメントを読んでいるうちに、混乱して、またわからなくなって参りました。
もう一度読み直して参ります。 - 407 ：名無しさんの冒険：2007/01/19(Fri) 12:14
- 短期的な経済変動の安定化は、長期的な経済成長にもプラスであると言われ
ることが多い。では、短期的な変動を押さえるとどのような事が起きて
（もしくは起きなくて）長期的な成長へつながるのだろうか？仮説を自由に
のべよ。についての解答お願いします。 - 408 ：名無しさんの冒険：2007/01/20(Sat) 12:52
- >>407
ふざけんな、カス。
クソ食って寝てろ。 - 409 ：名無しさんの冒険：2007/01/21(Sun) 14:30
- >>407
テスト前になるとこんな阿呆が湧いて来て困る．
スレタイぐらい読め．字が読めねぇのかこの首都圏底辺私大生．
二度とくるなよ，クズ野郎． - 410 ：takizawa：2007/01/25(Thu) 05:53 ◆MpyjNwOMVM
- いつも勝手に長々と書き込み申し訳ございません。
よろしければどなたかお教えくださいますととてもありがたいです。
突然気がつき疑問に思いました。
やはり、おっしゃいますとおり、私は理解が足りないようです。
読みました文献は、
現代の経済理論(1994)II章、松島
Grenn and Porter(1984)
APS(1986)
Radner(1986)未読
RMM(1986)未読
AMP(1991)
APS(1986)
Abreu(1988)未読
FLM(1994)
などです。
未読が多くて申し訳ございません。未読の論文はまだ、Abstractと結論に、斜め読みしたぐらいです。
早く読みます。 - 411 ：takizawa：2007/01/25(Thu) 05:54 ◆MpyjNwOMVM
- で、突然わからなくなりました。
均衡パスは理解できますが、それを保障するpunishmentのパスに疑問を覚えました。
舌足らずですが、一応は基本は理解できたつもりです。
最近のここでの議論ですが、
確率分布がプレイヤーごとに変わるから、誰が逸脱したかを感知できる、
その結果、punishmentを個別にできるようになり、まとめて対称にpunishしてしまう今までの考察に比べ、
効率が改善し、Folk Theoremの可能性が高まる、
というお話だと思います。
松島(1994)のp.95～p.96あたりにとてもわかりやすくまとめられていると思います。
松島(1994)のp.94によりますと、シグナルがbである割合が1/4+εを超える場合にはpunishとあります。
これは、p.97でいう尤度比の大小、とおなじpunish構造だと思います。
つまり、punishには、
①Tit for Tat、クールノー均衡で、トリガー価格を設定、
②1/4+εを超える場合にはpunish、尤度比の大小
の２通りの方法があると読めます。
ここで、FLM(1994)におきまして、確率分布が変わるから相手の逸脱を感知、というのは、②の方法によるものをさしていると思います。
1/4+εということ、つまり、何度かやってみて、その結果を見るわけでしょうか。
予想された結果よりも得られたペイオフなどがずれていることを観測するわけです。
逆に、one-shot-deviationは、あくまで、相手が逸脱すると、逸脱した瞬間、その１発目で感知して、punishしないといけないと思います。
one-shot-deviationで利益が出てはいけない、とはそういう意味だと思います。
ここで、矛盾を感じました。②の方法では、ある程度やってみないと、相手が逸脱したかわからないわけです。
それなのに、逸脱を１発目で感知する、(逆に１回逸脱しても利益にならない)、という制約条件が温存されているのはなぜでしょうか？
初歩的で勘違いをした見当違いな質問でしたら申し訳ございません。 - 412 ：takizawa：2007/01/25(Thu) 05:54 ◆MpyjNwOMVM
- ところで、self-generatingは、B(V)=Vで、これを満たすなら、Dunamic-Programming decompositionが可能、というところまでは理解できました。
>>Radner-Myerson-Maskinの例は、戦略の対称性ではなく
>>シグナル構造の対称性（pairwise identifiability が成り立たない）ゆえに、
>>「たとえ非対称均衡を用いても効率性にロスが生じる」例なので、
F-T、p.195で、確率分布が対象になっていることですよね。
ところで、松島先生はすごい方なのですね。
よく読みなおしましたら、F-Tにも、Matsushimaと文献が引用されていました。
とても驚きました。
いつも長々と申し訳ございません。
未熟な私ですが、どなたかご指導くださいますと大変ありがたく存じます。
ひょっとしますと、わけのわからないことを長々と書いているかもしれません。申し訳ございません。
もう少し要領よくまとめるように致します。 - 413 ：takizawa：2007/01/25(Thu) 06:00 ◆MpyjNwOMVM
- すみません。追加させてください。
punishの方法ですが、
①Tit for Tat、クールノー均衡で、トリガー価格を設定、
をしているのは、
Green and Porter(1984)、APS(1986)、などで、クールノー均衡を扱い、トリガー価格を設定。
②1/4+εを超える場合にはpunish、尤度比の大小
をしているのは、
Radner(1986)、RMM(1986)、AMP(1991)、FLM(1994)など
でよろしいでしょうか。
あと、松島(1994)のp.97に
Abreu等(1986)の問題にした尤度比の大小・・・
という文章がありますが、Abreuの論文のどこでこれを議論しているのかがよくわからないのですが、申し訳ございません。
お恥ずかしいですが、よろしければお教えください。
ほかの教科書などで読みまして、初めて、あの論文はそういうことも言っていたのか、とわかることが多いです。
お恥ずかしい限りです。 - 414 ：名無しさんの冒険：2007/01/28(Sun) 04:17
- http://arielrubinstein.tau.ac.il/papers/74.pdf
ルービンシュタインの理論家としてのジレンマについてのペーパー。
精力的に理論の勉強をされてるTakizawaさんも是非一読ください。 - 415 ：名無しさんの冒険：2007/01/29(Mon) 07:16
- 解説記事↓ご参考まで
http://blog.livedoor.jp/yagena/archives/50030629.html - 416 ：takizawa：2007/01/31(Wed) 05:15 ◆MpyjNwOMVM
- わざわざありがとうございます。
>>415
の引用を見て反省しました。そんなに原書の参考書を読んでおりません。
>>397～ >>405
は自己解決致しました。
今更ながら一人で長々と書いて申し訳ございません。
F-T p.194の最下行(work,work)ならΠ_{i}、とΠ_{j}、の1行目は同じになる。
とあります。
それから、
FLM(1994)、p.1014、にinduvidual full rankなら最大値であること、とありますのが、
Rankの最大値つまり、(a_{i},・)を変えたときに得られる最大値で、判別できる数のことで、
これらから、
FLM(1994)、p.1014、p.1017にあります、induvidual full rankとpairwise full rank
の定義につながるわけですね。
ようやく理解致しました。
説明がまた要領を得ず申し訳ございません。
ただ、まだ、>>411が自信がないのですが、
もう少しまともな表現をしますと、
>>FLM(1994)におきまして、確率分布が変わるから相手の逸脱を感知、
>>②
は、累積結果を見ている、と言う解釈でよろしいでしょうか？
いつも申し訳ございません。 - 417 ：takizawa：2007/01/31(Wed) 05:20 ◆MpyjNwOMVM
- すみません、あと間違えました。
one-shot-deviation は、one-stage-deviationの間違いです。
申し訳ございません。
>>407>>408>>409
お邪魔して申し訳ございません。
スレ違いと、余計なお世話で申し訳ございません。
私なぞがでしゃばりますと、また笑われてしまうと思いますが、
どなたもレスなさらないので。
オペレーションズ・リサーチによくある話だと思います。
短期的な最適解の和が、長期的な最適解には一致しない、という話ですよね。
具体的な話は、経済学初心者でちょっと無理です。申し訳ございません。
コレスキー分解法、とかいう数値解法があったと思います。
あれ？これ、同じことをどこかで書き込んだ記憶がありますが・・・？
どうも申し訳ございません。お邪魔致しました。
何か面白いことをご存知でしたらお教えください。
スレ違いすみません。 - 418 ：takizawa：2007/02/06(Tue) 08:24 ◆MpyjNwOMVM
- >>417
すみませんちょっと修正します。
人の修論をざっと読んだだけですので、うろ覚えなのですが。
長期的な最適解を予想するのに、修正コレスキー分解法を用いている、というのがあったと思います。
単にコレスキー分解ですと、LUとかあの三角形に分解する、単なる数値計算プログラムの話になってしまいますので、
あわてて訂正させて頂きます。
いつも何度もすみません。 - 420 ：takizawa：2007/02/09(Fri) 08:06 ◆MpyjNwOMVM
- 大変申し訳ございません。
見つからないので上げさせてください。
原因は私でしょうか？ - 422 ：takizawa：2007/02/12(Mon) 01:11 ◆MpyjNwOMVM
- >>411
>>それなのに、逸脱を１発目で感知する、(逆に１回逸脱しても利益にならない)、という制約条件が温存されているのはなぜでしょうか？
>>初歩的で勘違いをした見当違いな質問でしたら申し訳ございません。
すみません。自己解決しました。期待値になってました。
申し訳ございません。
dat落ちしそうなので、必死にあげております。申し訳ございません。 - 423 ：名無しさんの冒険：2007/02/12(Mon) 23:35
- それにしても、繰り返しゲーム勉強してなにすんの？やり尽くされた感の
ある分野じゃない？ - 424 ：名無しさんの冒険：2007/02/15(Thu) 00:48
- 理論家ってほんと無力だよな。空想の世界だけで生きてる。
- 425 ：名無しさんの冒険：2007/02/15(Thu) 22:25
- >>424 喪前の言うのは経済学の理論家のことだろ？
理科系の分野では理論の検証を実験を通してやれるだろうけど、経済学では
基本的にできないだろ（実験経済学とかいうのもあるようだけど）。ってい
うか検証を前提にしたり、それが可能な理論なんて作る気ゼロだろ、きっと。
理論をやる連中が、自分達のモデルの検証をやる勇気あるとは思えん。 - 426 ：名無しさんの冒険：2007/02/16(Fri) 01:45
- 物理でも、理論屋と実験屋は別の人がやっていますよ
- 427 ：名無しさんの冒険：2007/02/16(Fri) 11:37
- その昔，根岸御大がこんなことを言っていた．
「理論家といっても理論にはハードセオリーとソフトセオリーがある」
ハードセオリーってのは本当に純粋な数理経済学．
根岸御大の時代で言えば，一般均衡理論の均衡解の存在証明みたいなものを
手を変え品を変えいろんなモデルでやってた人たちかな．
これはこれでいいんだと思う．何に役立つか判らんけども，特にかく仲間内の
ゲームのルールみたいなのがあって，その中で賞賛を受ける．たまに応用で役立つものが
生まれたりもする．
ソフトセオリーってのは，現実の政策との接点を探りながらモデルを構築する人たち．
思うに日本の大学はこの手の人たちの生産に手間取ったんじゃないかな．
アメリカのセオリストたちはモデルを述べる前にくどいくらい実証的なサポートをつけるけど，
日本ではそういう習慣が根付くのに時間がかかったように思う．
だから理論家と実証家の二分法がまかり通っているけど，経験上，アメリカでは両者の垣根はとても低いよ． - 428 ：名無しさんの冒険：2007/02/17(Sat) 00:36
- タッキーは議論が始まると急に顔ださななくなるからなぁ。
タッキーの意見が聞きたい。 - 429 ：名無しさんの冒険：2007/02/18(Sun) 10:29
- タッキーはいつも質問をするだけして、自分が質問されたらトンヅラですか？
- 430 ：名無しさんの冒険：2007/02/20(Tue) 14:36
- 逃亡タッキー、かえって来い。みんなまってるぞ。
- 431 ：takizawa：2007/02/22(Thu) 01:48 ◆MpyjNwOMVM
- いつもありがとうございます。お世話になっております。
流れとまったく関係なくて申し訳ございませんが、
ものすごい間違いをしておりましたので、直させてください。
>>411
>>①Tit for Tat、クールノー均衡で、トリガー価格を設定、
>>②1/4+εを超える場合にはpunish、尤度比の大小
ですが。間違えておりました。
FLMで、プレイヤ間でペナルティ構造が異なると、大数の法則を用いなくとも、
δ→１の時に、
(裏切ったときのペイオフの期待値) < (強調のときのペイオフの期待値)
とすることができました。
Reiview 戦略のみが、結果の累積で判断ですね。
まとめますと、
FLM:期待値で逸脱を制約
APS(1986):Markov punishment (review戦略とは異なる)
Radner:Review 戦略、1/4+εの例、と同じ。
Green Porter (1984):Trigger 戦略
でした。申し訳ございません。
長文すみません。
考えましたら、私の質問も少し板違いでしょうか。
どうも申し訳ございません。 - 432 ：takizawa：2007/03/03(Sat) 04:07 ◆MpyjNwOMVM
- 保守あげ、します。
どうもすみません。 - 433 ：takizawa：2007/03/06(Tue) 02:58 ◆MpyjNwOMVM
- 保守あげです。
ﾟ ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣＼
／ ￣/＼ | メインタンクブロー！！ |
｡ |＿ ／＼ ＼ ＼＿＿ ＿＿＿＿＿＿_／
〃,| ＼ ＼./＼ ∨
|＿. ＼.／＼： ＼ ∠⌒∧ ⊿
〃：＼ ￣ ＼ ＼./ ＼＿(´∀｀ ||） |__|∴
： ＼＿ ＼ ／＼ ＼￣＼ゝ) ） ／／∴∵
： 〃＼ ￣ ＼ ：＼ / ＼ ＼/／／ ∵ ∴
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
どうもすみません。 - 434 ：名無しさんの冒険：2007/03/07(Wed) 21:58
- タッキーはさ、謙虚なふりして、自分の質問は答えてもらおうとするのに、他の人からの
質問には答えないだろ。きたないよな。 - 435 ：takizawa：2007/03/10(Sat) 08:41 ◆MpyjNwOMVM
- いつもお世話になりまして誠にありがとうございます。
質問に答えないと申しますか、まだ、知識不足で、広範な議論ができません。
金融工学とゲーム論と物理数学をかじったというレベルで、限られた部分しか知識がございませんでして、議論についていけないです。
申し訳ございません。
もっとまじめにやります。すみません。
また怒られてしまいそうですが、松島先生の
JET,98,(2001)Multi Market Contact, Imperfect Monitoring, and Implicit Collusion
におきまして、p.168式(9)が何の条件で、どう導出したかがわかりません。お教え頂けませんでしょうか？
また、細かいことを気にして申し訳ございませんが、自信がないのですけれども、
①p.173(A4)は、不等号が、r > m{p(C,C)-ε(m)}、でよろしいでしょうか？
さらに、
②p.174の最後の一連の不等式の証明で、
m p(C,C) < r(m) - 1
なら必ず成立しますが、そうでない場合は、r = m p(C,C)、のときに、
f(mp(C,C),m,0) > ∑_{r=0}^{r(m)-1} f(r,m,0)
がなぜない、と言い切れるのかがわかりません。
すみません。もっとよく考えます。
また、もう少し抽象的なことや、ほかの本のこともお伺いしたいのですが、
どなたかお願いできませんでしょうか。
なにとぞよろしくお願い申し上げます。 - 436 ：takizawa：2007/03/10(Sat) 08:43 ◆MpyjNwOMVM
- 長文すみません。
物理のような数学のような範囲なら多少はお役に立ちたいと思います。
ただ、私なぞよりはるかにできる方がいらっしゃりますので、でしゃばるのが恥ずかしいです。
長々すみません。 - 437 ：名無しさんの冒険：2007/03/10(Sat) 17:42
- タッキー負けるな！ずっとがんばって欲しいぞ
とりあえずスレ保守 - 438 ：takizawa：2007/03/14(Wed) 09:57 ◆MpyjNwOMVM
- いつもお世話になっております。
>>389
>>公的モニタリングでも、Dynamic Decompositionを用いてPPEを調べることは
>>即ち私的戦略を無視することにつながり、そこからロスが生じえます。
>>この辺りはKandori-Obaraを読んでください。
Kandori-Obara(2006)econometrica, 74[2] Efficiency in Repeated Games Revisited
のことでしょうか。 - 439 ：takizawa：2007/03/14(Wed) 10:04 ◆MpyjNwOMVM
- 度々申し訳ございません。
Matsushima(2001)Lemma4,p.169におきまして、
w_{i}(k,m) is nonincreasing with respect to k in {0,...,k^}
という文章が２度出てくるような気がします。
同様に、Matsushima(2001)Lemma4,p.170におきましても、
w_{i}(k,m) is nonincreasing with respect to k ∈ {k*(r(m)-1,m-1),...,k~}
という文章が２度出てきます。
どちらも、全領域で非増加関数、と言っていますが、それでは意味が無い様な気がします。
よくわからないのですが、どうぞお教えください。
すみません。もう一度よく読んで参ります。 - 440 ：名無しさんの冒険：2007/03/17(Sat) 13:58
- >>どちらも、全領域で非増加関数、と言っていますが、
>>それでは意味が無い様な気がします。
別のテーマさがせ。 - 441 ：takizawa：2007/03/20(Tue) 11:56 ◆MpyjNwOMVM
- >>440
きついですね。もう一度よく読みます。
私もかれこれ、このスレに１年半お世話になっておりますようです。
昔の部分をもう一度読み直してみまして、昔のほうが謙虚だった、と反省しております。
もう一度よろしくお願い申し上げます。
不完備情報と不完全情報が、また、わからなくなり読み返しております。
先日気がついたのですが、ギボンズでは、ベイジアンなのに、完備不完全情報のモデルが最初に出てきます。
４章p.176です。教えて頂きましたラスムッセンの定義に反するような気がしなくもないですが、少々混乱しております。
それと、このスレをpdfにまとめてみたのですが、Wordにコピーしてpdfに変換しましたら、200頁とかになってしまいました。
アップしても意味がないと思うのですが、どうしたものでしょうか。
長々申し訳ございません。 - 442 ：takizawa：2007/03/20(Tue) 12:47 ◆MpyjNwOMVM
- 雑談して申し訳ございません。
私の能力ではまだ一人で理解するのは困難です。
大変あつかましいとは存じますが、なにとぞ、また、ご指導下さいますようお願い申し上げます。
私のやろうとしているテーマは、間違えてはいないと思うのですが、自信がありません。
いろいろ何度も読み直しておりますが、悩んでおります。
今後ともよろしくお願い申し上げます。 - 443 ：名無しさんの冒険：2007/03/20(Tue) 13:48
- 「４章p.176」って、日本語版ですか、英語版ですか？
- 444 ：takizawa：2007/03/25(Sun) 01:12 ◆MpyjNwOMVM
- >>443
すみません。日本語版です。ハルサニの、不完備情報→不完全情報、への変換、は存じておりますが、
それとは別問題で、いきなり登場しているような気がするのですが。
さらに、>>431で、
>>Reiview 戦略のみが、結果の累積で判断ですね。
>>まとめますと、
>>FLM:期待値で逸脱を制約
と書きましたが、訂正させて頂きます。間違えておりましてお恥ずかしいです。
FLMも、Review戦略と同様に、累積結果で判断していますでしょうか。
よくわからないのですが、
現代の経済理論(1994)p.96におきましては、逸脱があると、逸脱したプレイヤーが特定できるように結果の確率分布が変わります。
(しかし、この確認は、累積結果を見ていると思います。)
さらに、その逸脱したプレイヤーが損するようにpunishを形成することで、自動的に逸脱を防げます。 - 445 ：takizawa：2007/03/25(Sun) 01:14 ◆MpyjNwOMVM
- 現代の経済理論(1994)p.96を、FLMp.1007の(3.10)式とその数値例を用いて解釈させてください。
現代の経済理論(1994)p.96におきましては、たとえば、
プレイや１が裏切ると、y=8の確率が高まる。
プレイヤ２が裏切ると、y=0の確率が高まる。
というようなデザインになっていると思います。
ですから、どちらを罰すればよいか判断できます。
と申しますか、
y=8の時には、プレイヤ１を問答無用で罰する、
y=0の時には、プレイヤ２を問答無用で罰する、
ことにより、逸脱を防いでいます。
ここまでは理解できたつもりです。 - 446 ：takizawa：2007/03/25(Sun) 01:29 ◆MpyjNwOMVM
- すみません。書いておりまして突然理解しました。やはり、前の解釈であっておりました。
期待値で逸脱を阻止しています。
enforceableの定義ですね。
あるactionをとっている限りは、continuation payoffを考えたとき、裏切ると損をするようになっている、
というのが、p.1009のenforceabilityの定義でした。そして、それを反復すると申しますか、その集合内に次の
continuation payoffも存在するのがBの定義ですね。
話が飛びますが、
階数が３なので、
どちらが裏切っているかを、裏切っていない状態から識別できる、
ということもわかります。
つまり、
プレイヤ１裏切る、プレイヤ２裏切る、２人とも裏切ってない、
の３つの状態にpublic outcomeの発生確率分布の違い、が対応するから、
ということは理解しております。 - 447 ：takizawa：2007/03/25(Sun) 01:34 ◆MpyjNwOMVM
- どうも一人で書き散らします、頭のおかしい人で申し訳ございません。
少し頭を整理してから参ります。今回も質問を書きとめて参りましたが、書いておりますうちに余計混乱致しました。
わからないことが少しわかって参りました。申し訳ございません。
FLMp.1009の条件は、逸脱した人が瞬時に特定されpunishされ得る、ことが前提で成立すると思います。
しかし、FLMp.1007の数値例では、累積確率を見ないと、
プレイヤ１とプレイヤ２のどちらが逸脱したかが判断つかないと思うのですが。
FLMの例では、
プレイや１が裏切ると、y=8がおきなくなる。
プレイヤ２が裏切ると、y=12がおきなくなる。
という形をとっております。
そして、
"y=0のとき２人とも罰する必要はない"
と本文中にありますが、混乱しております。
申し訳ございません。どなたかお教えください。
なにとぞよろしくお願い申し上げます。 - 448 ：takizawa：2007/03/25(Sun) 01:36 ◆MpyjNwOMVM
- 申し訳ございません。
どなたかどうぞお教えください。
いくら考えましてもどうしてもわかりません。
なにとぞよろしくお願い申し上げます。 - 449 ：takizawa：2007/03/25(Sun) 01:48 ◆MpyjNwOMVM
- 自分自身が裏切っているかどうかはわかるわけですから、
累積結果を見るならば、review戦略と同じことになり、シグナルが(つまり、public outcomeが)
２通りでも、識別できると思います。
長々申し訳ございません。 - 450 ：takizawa：2007/03/25(Sun) 02:34 ◆MpyjNwOMVM
- 本当に何度も申し訳ございません。
逸脱したかどうかは、ペイオフで判断されるのであり、
どの戦略をとったかではないわけです。直接確認できませんから。
public outcomeで判断されてcontinuation payoffがさだまる、ということは、
FLMの例で、y=8、y=0のときにはpunishされる、という解釈でよいと思います。
申し訳ございません。さらにわかりません。
public outcomeとstochastic gameは同じになりますでしょうか。
同じになる条件と異なる場合の条件がわかりません。
>>389さん >>414さん、いらっしゃいませんでしょうか。
なにとぞよろしくお願い申し上げます。
いくら考えてもわからず、初歩的過ぎてお恥ずかしくて質問できません問題を抱えております。
なにとぞご助力くださいますようお願い申し上げます。
いつも申し訳ございません。
連続投稿申し訳ございません。 - 451 ：takizawa：2007/03/25(Sun) 14:00 ◆MpyjNwOMVM
- お忙しい中、これほどお教え頂きましたのに、態度が悪くて申し訳ございません。
スレを改めて読み直して気になりましたので、申し訳ございません。
また、書き込みあまり増えすぎませんよう気をつけます。 - 452 ：takizawa：2007/03/27(Tue) 00:07 ◆MpyjNwOMVM
- 度々申し訳ございません。
FLMをようやく理解できましたので、あほだと思われますと悔しいので説明させてください。
FLMp.1009の例です。
y=8、y=0のときに、裏切った側のcontinuation payoffが下がるような戦略profileが作れればよいわけです。
その戦略がどういう形かまでは指定されていませんが。
で、このとき、
player1が裏切っていれば、y={12,8,0}は{1/3,0,2/3}で発生します。
player2が裏切っていれば、y={12,8,0}は{0,1/2,1/2}で発生します。
この発生確率に対し、裏切った側のcontinuation payoffが下がるような戦略を構築すればいいわけですね。
つまり、p.1006の式、(3.7)、(3.8)を満たすような戦略を作ればよいわけです。
実際には、次回以降の結果が、(C,C)、(C,D)、(D,C)、(D,D)の組み合わせでなされます。
この組が、つまり、戦略プロファイルがp.1006の式、(3.7)、(3.8)を満たすわけでした。
このために、pairwise-full rank条件が必要だったわけです。
ですから、review strategyのように、結果の累積を確認する必要はないわけです。
協調解とずれた結果が出たときは、自動的に、逸脱した側が損するような戦略を組んでいるわけです。
説明がうまくなくて申し訳ございませんが、ようやく理解することができました。
誠にありがとうございました。 - 453 ：takizawa：2007/03/27(Tue) 00:13 ◆MpyjNwOMVM
- 逸脱していたら、逸脱した側が自動的に損するような戦略を、均衡解として、あらかじめ作っておくわけですね。
ですから、たまたま間違えて結果が思わしくなかった場合とは、自動的に区別されます。
なんとも書いてないですが、おそらくは、
この戦略プロファイルは、
y=8、y=0が出ると、
y=12が出ていたときとは異なる、actionに移行するわけですよね。 - 454 ：takizawa：2007/03/30(Fri) 12:04 ◆MpyjNwOMVM
- 度々申し訳ござ会いません。
>>439Matsushima(2001)Lemma4,p.169におきまして、
>>440どちらも、全領域で非増加関数、と言っていますが、
>>それでは意味が無い様な気がします。
>>441別のテーマさがせ。
自己解決しました。
ちょっと今、図をかけるソフトがないので言葉ですみませんが、
p.160：１市場で逸脱か、全市場で逸脱が利益最大化、を証明するために
全領域で単調でないといけないわけですね。
さらに、p.161：上に凸、下に凸、から、グラフの形が定まるわけですね。
お手数おかけ致しました。 - 455 ：名無しさんの冒険：2007/04/04(Wed) 14:54
- 解決済みでない問題だけまとめて頂けると、
助言がしやすいのですが。 - 456 ：takizawa：2007/04/06(Fri) 06:53 ◆MpyjNwOMVM
- >>455
誠にありがとうございます。
Matsushima(2001)がようやく少し理解できるようになりました。
p.174、LemmaA.1ようやく理解できました。
(A4)が、r <= m{p(C,C)+ε(m)} の誤植だっただけでしょうか。
>>435
②p.174の最後の一連の不等式の証明で、
m p(C,C) < r(m) - 1
なら必ず成立しますが、そうでない場合は、r = m p(C,C)、のときに、
f(mp(C,C),m,0) > ∑_{r=0}^{r(m)-1} f(r,m,0)
がなぜない、と言い切れるのかがわかりません。
これがまだ解決できておりません。
(9)式は、
(1-δ)m + δ p(C,C) m f(r(m)-1,m-1,0) > (1-δ)(K+1) + (1-δ)(m-1) + δp(D,C) m f(r(m)-1,m-1,0)
つまり、
r(m)-1個既にBシグナルが来ている場合でも、こっそり１箇所だけ逸脱(D)するより、すべてCしたほうが得だ、
という条件でしょうか。
この解釈でも、式中のp(C,C)とp(D,C)が逆になりますが。
誤植と、自分の間違いが区別がつかず、少々混乱しております。
いろいろ申し訳ございません。 - 457 ：名無しさんの冒険：2007/05/01(Tue) 12:22
- Takizawa氏、一年繰り返しゲーム勉強してどういう成果がでましたか？
- 458 ：takizawa：2007/05/04(Fri) 08:01 ◆MpyjNwOMVM
- お忙しい中、懇切丁寧に教えてくださるありがたい方を失いました。
FLMの論文の言っている意味がようやく理解できました。
FLMはやはりすごくおもしろいことがわかりました。
１年に論文を３本書く方は、私の脳みその８倍ぐらいのパワーがあるのだということが理解できました。
すみません。 - 459 ：takizawa：2007/05/14(Mon) 21:50 ◆MpyjNwOMVM
- いつも申し訳ございません。間違いに気がつきました。恥ずかしいですので直させて下さい。
Matsushima(2001)p.168(9)式です。
(1-δ)m + δ ∑_{r=0}^{r(m)-1} f(r,m,0) ν
> (1-δ)(K+1) + (1-δ)(m-1) + δ ∑_{r=0}^{r(m)-1} f(r,m,1) ν
より導出していました。1つだけ逸脱でも利益なし、という条件です。 - 460 ：takizawa：2007/05/14(Mon) 21:59 ◆MpyjNwOMVM
- どうも荒らしになってしまい申し訳ございません。私には社会人は無理のようです。
もう私に教えてくださる方もいらっしゃらないと思いますが、まだわからない点がありますので、どなたかお教えください。
Matsushima(2001)です。p.174~p.175の証明がまだ未解決です。
①p.175の証明が正しい場合(すみません)
r(m) - 1 <= m * (p(c,c)-η)・・・(a)
といっていることになります。
ところで、p.174で、r(m)は(A4)を満たす整数の最大値、とあります。つまり、
r(m) <= m*(p(c,c)-ε)・・・(b)
となります。しかし、punishがr(m)で実行される、閾値となる、ということは、
m→∞のとき、
r(m) > m*P(c,c)・・・(※)
だと思うのですが。
(a)と(※)は矛盾しなくすることもできると思いますが、(b)と(※)は矛盾していると思います。 - 461 ：takizawa：2007/05/14(Mon) 22:01 ◆MpyjNwOMVM
- だから、(A4)は
r <= m{p(c,c) + ε(m)}
となりますでしょうか。すると今度は、p.175の最初の式、
r(m) <= m * {p(c,c) - η}・・・(c)
が成立しません。(c)は(b)と同じことを言っています。 - 462 ：takizawa：2007/05/14(Mon) 22:04 ◆MpyjNwOMVM
- 私のおいた仮定、(※)が間違いなら、(a)(b)(c)は成立しますが、
中心極限定理の考えからすると、
m→∞で、
m * {p(c,c)-ε} と、m * {p(c,c)+ε}との間にあるシグナルの"割合"が1に近づくわけですから、(相対的にこの領域にあるシグナルが多くなる)、
m * {p(c,c)+ε}以下でpunishしてしまってはまずい、
と思うのですが。常にcoordinateする戦略でも、ほぼ必ずpunishされてしまいます。 - 463 ：takizawa：2007/05/14(Mon) 22:09 ◆MpyjNwOMVM
- すみません。①以降、番号つけるの忘れました。数学ご専門の方には怒られそうな議論をしますがお許しください。
②大雑把に、
r(m) = m * p(c,c) + 1 (期待値としてです)
だから、
r(m) / m = p(c,c) + 1/m
ゆえに、
lim_{m→∞} r(m)/m = p(c,c)
大雑把にはこういう理由で、p.168(8)式が成り立っているのであって、
m→∞のときに、r(m) = m * p(c,c)
となるわけではないと思うのですが。 - 464 ：takizawa：2007/05/14(Mon) 22:10 ◆MpyjNwOMVM
- ③結局、p.193(A4)、p.174下半分、p.175最初の式、
がわかりません。
どなたかお教えください。お願い致します。
荒らしにしかなれず申しわけございません。いつもお世話になっております。 - 465 ：takizawa：2007/05/14(Mon) 22:36 ◆MpyjNwOMVM
- p.174下半分の式では、両辺で積分領域が異なる上に、かたや連続、かたや不連続、で総和計算が表示されています。
なのでなおさら混乱しております。
長々申し訳ございませんでした。 - 466 ：名無しさんの冒険：2007/05/16(Wed) 14:56
- まさに机上の空論。いっつも無駄なお勉強ご苦労さまです。
- 467 ：名無しさんの冒険：2007/05/16(Wed) 16:03
- ずばーん！！（＃｀＿´）=○☆（ ０＿０） ぐぇっ！>>466
- 468 ：名無しさんの冒険：2007/05/20(Sun) 13:56
- >>467
466の言ってることは正論だろ。何の成果もでてないんだぞ、質問ばかりで。 - 469 ：名無しさんの冒険：2007/05/21(Mon) 15:18
- 底意地の悪いことを書き込むんじゃねぇ。
- 470 ：takizawa：2007/05/22(Tue) 00:49 ◆MpyjNwOMVM
- なんか申し訳ございません。やはり私は、ネット上でも人付き合いは困難のようです。
これからは、無名・名無し、で書き込もうかとも思っております。その方が教えて頂けるかも知れませんので。
一発でばれそうですがｗ。荒らしにしかなれなくて本当に申し訳ございませんでした。
でも、いちごで昔、パレート最適な配分の議論とか、かなり高度な議論がありまして、そのころはロムっているだけでしたが、とてもお世話になりました。
なんとなくあのような雰囲気にひかれまして。本当にありがとうございました。
やはり人付き合いできないとだめですね。長文すみませんです。 - 471 ：名無しさんの冒険：2007/05/23(Wed) 12:32
- それこそずーっと同じこと勉強してて、全然「自分の」アイデアを書かない
（ここに自分のアイデアを書くと、他人に真似される危険は確かにあるだろ
うが）。
ここの掲示板はいつから馴れ合いになったんだ？批判も書き込みできないの？ - 472 ：グラタン：2007/05/23(Wed) 13:13 ◆G6BAMv1Qf2
- >>471
もう気がすんだろう。君もいい加減黙りなさい。takizawa氏は勉強スレだけで書き込んでいるんだから
誰の迷惑もかけていないよ。少なくとも荒らし扱いされる理由なんてどこにもない。 - 473 ：名無しさんの冒険：2007/05/23(Wed) 19:18
- 誰も一言も「takizawa氏は荒らし」なんていってないだろ。勝手に自分でそう
思ってるだけ。一体何いってんの？
で、これまで勉強してきて何の成果が出たのか聞いてるだけ。まさか何もない
わけではないだろ？ - 474 ：名無しさんの冒険：2007/05/23(Wed) 19:26
- 輪読スレなんだから、特に自分のアイデアを書く必要ないんじゃね？
まあ、板違いと思うならスレごと削除してもいいけど。 - 475 ：名無しさんの冒険：2007/05/23(Wed) 23:45
- 読書スレ（しかも外書）がここまで続いているのは、驚異的と思われ。
スレッドを立ち上げたものの、掛け声だけで1ページも進まずに
放置プレイに陥っているものばかりなのに。 - 476 ：名無しさんの冒険：2007/05/30(Wed) 11:44
- やり尽くされた感のある繰り返しゲームをずーっと勉強されてるT氏、ご苦労
さまです。 - 477 ：名無しさんの冒険：2007/05/30(Wed) 22:17
- もう八つ当たりとしか思えんな。
- 478 ：takizawa：2007/06/05(Tue) 00:10 ◆MpyjNwOMVM
- >>476
こりずに続投中です。
Fudenberg Maskin (1994)JETをどなたか一緒に読んでください。お願いします。
この論文を見落としていました。タイトルにだまされたｗ。ペイオフの計算法が出ています。
が、難しくて理解し切れません(泣)。誰かおいらと一緒に勉強してくれよぉ～～～。というか教えてくらさい。おながいすます。
Please study with me !!? - 479 ：takizawa：2007/06/05(Tue) 00:11 ◆MpyjNwOMVM
- 間違えました。申し訳ございません。
Fudenberg Levine (1994)JETです。 - 480 ：takizawa：2007/06/15(Fri) 12:08 ◆MpyjNwOMVM
- こういうときは自作自演をするべきだった、と先日気がつきました、しまった。
掲示板で自作自演が多いのはこういうわけだったのですね。 - 481 ：takizawakitigai：2007/06/15(Fri) 12:19 ◆5HXYD/vlLs
- takizawa氏、奇遇ですね。私も興味あります。
早速ですが、
FudenbergLevine(1994)JETにおきまして、
p.117 sufficient rank conditionの説明ですが、
Π_{i}(α_{SR}) に1列すべて0のゼロベクトルがあるなら、
rank[Π_{i}(α_{SR})] = m_{i} - 1
になるような気がします。
p.128 のmatrix Π_{i}(α_{SR}) is は、行列成分をカンマで区切って申し訳ございませんが、
0 |1 , 0, 0, 0,・・・
φ |1-P_{i}+P_{i}(1-p), P_{i}p, 0, 0,・・・
φ'|1-P_{i}+P_{i}(1-p),0, P_{i}p, 0, 0,・・・
・・・
の書き間違いですよね。
p.129
w_{i}(a_{i}) <= w_{i}(a^_{i}) = 10δ/(δp)(a^_{i}-a_{i})xνf
が導出できません。たぶん誤植だと思うのですが、どこだかわかりません。
同じくp.129で、
v(a=a^)でbindという条件はわかりますが、v(a=0)でもbindがなんとなく不安です。
Since (8.2') has v_{i} increasing in w_{i}(a^_{i}) and w_{i}(0)
とだけ説明されています。この場合、最適な混合戦略は、a=0、つまり、配当なしも含むことになります。
しかし、PEはたぶん協調解ですので、a=0は含まないような気もします。
p.126で、0∈Φではありますが。
疑問点がこれだけ残りました。よろしくお願い致します。 - 482 ：takizawakitigai：2007/06/15(Fri) 12:29 ◆5HXYD/vlLs
- ところで私は、FudenbergKrepsMaskin(1990)Review of Economic Studiesを読んでおります。
p.558 下から4行目、
「m_{-i}^{i}に対し、a_{i}は最適反応になっていなくともよい」とはどういう意味でしょうか。
m_{-i}^{i}= L
これに対するプレイヤー1の最適反応はUであり、minmax g_{1} と一致しますが。つまり、最適反応になっていると思うのですが。
文脈からおそらく、
「m_{-i}^{i}も、a_{i}に対する最適反応になっていないといけない」すなわち、
「U、Dをそれぞれ1/2の確率でとる、あるいはDを1/2以上の確率でとらないといけない」(※)
という意味で、(※)は、m_{-i}^{i}に対する最適反応になっていない、という意味でしょうか?
p.569 Proofにおきまして、細かいことですが、
I_{t+1} = I_{t} + y_{t+1} - y_{t}, (I_{t}>0)
I_{t+1} = I_{t} + x_{t+1} - x_{t}, (I_{t}<=0)
は、I_{t+1}=0では成り立たないですよね。
つまり、g_{t+1}とg_{t}が共にx、あるいは、共にy出ないといけないわけで。片方がx、もう片方がyでは、
*_{t+1}、*_{t}、が存在できませんですよね。
p.572 Lemma3 Proof中で、
Note that σ_{n} >= ξ_{n}
の理由がわかりません。
大量に質問して申し訳ございません。なにとぞよろしくお願い申し上げます。
たまには私も誰かの質問に答えないといけませんよね。反省しております。
>>takizawa氏、答えがわかったら、自作自演で、他人の振りをして書き込めばよいのですよ。
お邪魔致しました。 - 483 ：名無しさんの冒険：2007/06/15(Fri) 16:58
- >>481
p117. left null vectorの意味を誤解してませんか？
left null vector of Π_{i}(α_{SR})とは
「Π_{i}(α_{SR}) に1列すべて0のゼロベクトルがある」わけではなく、
Π_{i}(α_{SR})の左からかけてゼロになるベクトル、つまり
x Π_{i}(α_{SR}) = 0
を満たす横ベクトルx、という意味です。
p128. ご指摘の通り。
p129.「10δ」は「1-δ」の誤植。
a_i=a^からa_i=0に逸脱しないようIC条件を保ちつつ、
懲罰 w_i(0) をできるだけ甘くして、v_iを最大化したいわけです。
（不完全モニタリングゆえ、たとえ均衡戦略a_i=a^に従ったとしても、
正の確率1-pで懲罰パスに突入します。）
＞この場合、最適な混合戦略は、a=0、つまり、配当なしも含むことになります。
ならない。
均衡上ではa_i=0とa^が無差別になりますが、
だからといってα_i(0)>0とする必要はありません。
>>482
一つ目はその通りかと。
二つ目は質問の意味が分かりません。FKMの議論で問題ない気がします。
三つ目は、{x_n} がsupermartingaleなので、E(x_n|F_{n-1})≦x_{n-1} です。
ξ_n = x_n - x_{n-1} なので、これは E(ξ_n|F_{n-1})≦0 と書きなおせます。
σ_n = ξ_n - E(ξ_n|F_{n-1}) なので σ_n≧ξ_n です。 - 484 ：名無しさんの冒険：2007/06/15(Fri) 17:26
- 無駄な勉強＋自作自演、毎度ご苦労様です。
- 485 ：名無しさんの冒険：2007/06/15(Fri) 20:29
- とtakizawa氏が申しております
- 486 ：名無しさんの冒険：2007/06/17(Sun) 00:00
- とtakizawa氏が申しております。
- 487 ：takizawa：2007/06/19(Tue) 00:11 ◆MpyjNwOMVM
- いつもお世話になっております。誠にありがとうございます。どなたか存じませんが、ありがとうございます。
>>p117. left null vectorの意味を誤解してませんか？
はい、間違えておりました。
>>だからといってα_i(0)>0とする必要はありません。
気がつきませんでした。なるほどおっしゃるとおりです。
>>{x_n} がsupermartingaleなので
すみません。もう一度よく読み直して参ります。
いつもありがとうございます。
お忙しいところ申し訳ございません。 - 488 ：takizawa：2007/06/19(Tue) 00:32 ◆MpyjNwOMVM
- >>484 >>485 >>486 ワロタ。
>>484無駄な勉強
仮にも経済学を志向なさるお方が、私の"ケインジアン的行動"を否定してはいけないと存じます。
(ケインジアン的行動、で意味は通じますでしょうか?爆。どうも専門外ですみません。)
誰がなんと言おうとF-Tとかめちゃくちゃ面白いです。老後にも趣味でしたいです。頭がついてきたらいいのですが。
ようやっと、やりたいことを見つけた気分です。
>>484自作自演
このレスは自演ではありません。ここまで理解なさっていて人に説明できるのはとても凄いと思います。
私にはここまで人に説明できる分野がありません。しかも、たぶん、ご自身の専門部分ではないと思います。
(バーゲニングとか解の存在条件とかがご専門だと思います。)
ちょっと、よいしょしてしまいました。すみません。いつもお世話になっております。
突然文脈が変わりますが、一連の論文では、Levineが数学的部分を担当しているのでしょうか。
読んでいてなんとなくそう思いました。 - 489 ：takizawakitigai：2007/06/21(Thu) 19:08 ◆5HXYD/vlLs
- くどくて申し訳ございませんが、ひょっとしてFudenberg and Levine(1994)p.129
>>481 は
w_{i}(a_{i}) <= w_{i}(a^_{i}) = 10δ/(δp)(a^_{i}-a_{i})xνf
が
w_{i}(a_{i}) <= w_{i}(a^_{i}) - (1-δ)/(δp)(a^_{i}-a_{i})xνf
の間違い、ということでよろしいでしょうか。
一所懸命、極限とって微分したりとか、悩んでしまいました。 - 490 ：名無しさんの冒険：2007/06/22(Fri) 01:28
- そです。
- 491 ：名無しさんの冒険：2007/06/25(Mon) 00:51
- どっかのモデルで見かけた仮定の中に、Continuum of tradersとかContinuum of
playersっていうのがあったのですが、これは一体どう理解したらいいんでしょ
うか？
その仮定の下で、例えばN=5（Nはプレイヤーの数）っていわれたら、一体この５は
何をあらわすのでしょうか？ - 492 ：takizawa：2007/06/25(Mon) 23:25 ◆MpyjNwOMVM
- でしゃばりますです。わからないのでどなたかお願いします。
①普通は、
プレイヤーの数が無限大のとき、一人当たりの測度がゼロになること、
をcontinuum、というと思います。
②あとは、タイプが連続ということでしょうか。
N=5と有界の場合は、②の場合ではないかと思います。
前後の文脈がわからないので、私にはこのくらいしかわかりません。ほかにも解釈があるのかもしれません。 - 493 ：takizawakitigai：2007/07/04(Wed) 03:05 ◆5HXYD/vlLs
- >>491 私も詳しく知りたいですので、よろしければ文献名をお教えください。遅いかもしれませんが。
一般に、atomlessなら、N→∞となっている、と解釈してよいでしょうか？
まだ答えられる能力が不足して申し訳ございません。文献を私も読んでみたいと思いますので、いつになるかわかりませんが、お教えください。 - 494 ：takizawa：2007/07/09(Mon) 23:21 ◆MpyjNwOMVM
- すみません。私もわからなくなりました。よろしくお願い致します。
Fudenberg and Levine (1988) JET "Open-Loop and Closed-Loop Equilibria in Dynamic Games with Many Players"
p.9～p.10にかけまして、数値例が出てきますが、これが何処から出てきた数値例なのか全く導出できません。
p.9の式、
π^{p}(x^{p},x,μ)=・・・
の式からです。特に、all actions are considered to lie in the interval [0,10]
とありますが、[0,1]の間違いではないのでしょうか。p.7のmatrix gameを基にしていると思うのですが、
導出できません。
失礼がございませんように、一応、F-Tの該当する部分も読みました。
F-T 4章、p.130からですが、この論文は引用さrテイルものの、該当する記述は皆無です。
申し訳ございません。その結果、さらに、質問が増えました。
F-T 4章 p.137、脚注16、6行目、
discounted payofss converge to 0
とありますが。
t<n では、 σ^{n}(0|h^{t}) = σ^{n}(1|h^{t}) = 1
t>=n では、σ^{n}(1|h^{t}) = 1、σ^{n}(1|h^{t}) = 0
という戦略σ^{n}だと思います。ここで
Time average→1、discount payoff→0
にならないと思うのですが。文脈からして、
Time average→0、discount payoff→1
の間違いですよね。念のため確認させて頂きますが、
・Time averageとは
lim_{T→∞} ∑π(t) / T
・discount payoffとは
lim_{T→∞} ∑_{t=0}^{T} δ^{t} π(t) (1-δ) / (1-δ^{T})
だと思います。
申し訳ございません。よろしくお願い致します。 - 495 ：takizawa：2007/07/09(Mon) 23:22 ◆MpyjNwOMVM
- この論文は引用さrテイル → この論文は引用されている
です。すみません。 - 496 ：takizawakitigai：2007/07/13(Fri) 10:14 ◆5HXYD/vlLs
- うわ～～～ん。誰か教えてくらさい～。おながいすます～。
- 497 ：takizawa：2007/07/17(Tue) 02:34 ◆MpyjNwOMVM
- atomlessは、累積分布関数に適用される言葉ですよね。
つまり、ヘヴィサイド関数には用いるけど、ディラックのデルタ関数には用いない言葉ですよね。
(注)-このスレは自作自演で成り立っております- / powered by CRAZY taki- - 498 ：takizawa：2007/07/17(Tue) 04:32 ◆MpyjNwOMVM
- 論文を年に３本も書くのってかなりきついですね。
間違えている暇がありませんね。アイデアが間違いだったらもうおしまいですよね。
次々考えないと間に合いません。
本当にすごいですね皆さん。
雑談すみません。 - 499 ：takizawa：2007/07/19(Thu) 18:01 ◆MpyjNwOMVM
- ０×∞の不定形が計算できません。
はさみうちの定理とか、両方の項をある数で割って極限を求めるとか、ロルの定理とか(でしたっけ？)、
大学入試レベルまでの数学ぐらいは理解しているつもりですが、
どうにも解けません。どうにかよい方法はないでしょうか。
伊藤のレンマとか、確率積分とか、ルベーグ積分とかは、制約は、すべて、２乗可積分までですよね。
計算可能な形に変形するしかないんでしょうか。 - 500 ：takizawa2：2007/07/19(Thu) 18:51 ◆A78fRRXD26
- うぉ～～～、このスレはもうだれもいないんでつか？？？(泣)
- 501 ：takizawa：2007/07/20(Fri) 03:45 ◆MpyjNwOMVM
- 間違えました。
伊藤のレンマ→伊藤の積分
でした。 - 502 ：takizawa：2007/07/27(Fri) 03:50 ◆MpyjNwOMVM
- Help me please!!!
どなたかお願いいたします。煮詰まってしまい、手詰まり状態です。
>>460～>>465 はかなりバカな質問をしてしまいました。自己解決できたと思います。
誤差のほうも収束するようになっていますね。ほかにもいろいろ理解できました。
何をしようとしているか、ばればれですが、数学力が不足して、先に進むのが難しいです。
よろしくお願い致します。 - 503 ：takizawa：2007/07/31(Tue) 03:31 ◆MpyjNwOMVM
- Green(1984)Econometrica、Green(1980)JETを読んでおります。
数学力が足りなくて行き詰っております。
どなたかお教えください。よろしくお願い致します。 - 504 ：takizawa：2007/08/03(Fri) 21:15 ◆MpyjNwOMVM
- .∧
｜｜
｜｜
／￣￣￣￣￣ .｜｜
.｜ ハープーン発射！ ￣〟
。 。 ＼＿ ＿＿＿ 〝 〟
。 ∨ 『 〝。
ﾌﾞｸﾌﾞｸ.. 。 ¶ ∧ ∧∩゛ ／￣￣￣ヽ 。°
∧ ∧。 ∥ ( ﾟДﾟ)/ ／￣∈≡∋￣ヽ ｡°
(* ﾟーﾟ) ／￣U￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣＼
～ （￣ヽ／￣￣￣￣￣￣ ￠ ＼
～ ∈≡∋ 〓Type-688〓 ￠ ）
～ （＿_/＼ ／
＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ／
保守あげ。すみません。ここは軍事板じゃなくて経済板でした。 - 505 ：takizawa：2007/08/03(Fri) 21:16 ◆MpyjNwOMVM
- しかも、あげるの忘れた。うわぁ。
- 506 ：takizawa：2007/08/03(Fri) 21:36 ◆MpyjNwOMVM
- E.Green(1984)Econometrica, "Continuum and Finite-Player Non-cooperative Models of Competition"
p.988 のf(x,u)の引数が何を表すのかがわかりません。
①x,tはタイプ、u,sは戦略でしょうか。
②p.987で、open U∈T などとあります。
p.985で、G=S=V=Rとありますように、次元数を一致させたから②となる、というだけでしょうか?
すると、p.988 (24)の次の式で次元が、
W×X×U×Y
とありますが、UとYがかぶるような気が致します。
この論文は難しくて理解し切れません。
よろしくお願い致します。 - 507 ：takizawa：2007/08/03(Fri) 21:37 ◆MpyjNwOMVM
- 自分でもやってみようと思い先日初めて気がつきました。
質問に答えてくださるときはおそらく、わざわざ、論文を引っ張り出して確認してくださっているわけですよね。
大変な手間・労力をおかけしまして誠に申し訳ございません。誠にありがとうございます。
さらに先日気がつきました。考えましたら、才能のせいではなく単に努力不足ですよね。申し訳ございません。
笑われると思いますが、TOEICで950点は努力で取れるわけでして(私は取れておりませんが(爆))。
950点も取れない人が、才能無いからだと言い訳するのは、努力不足の言い訳ですよね。
もっとがんばりたいです。申し訳ございません。 - 508 ：takizawa：2007/08/07(Tue) 04:30 ◆MpyjNwOMVM
- E.Green(1984)Econometrica, "Continuum and Finite-Player Non-cooperative Models of Competition"
p.980
b:T→[0,1]は各タイプのとる測度の平均、という解釈でよろしいでしょうか。
m(t)はタイプtのとる測度、でしょうか。
すると、p.991の such that m(cl(U)) < inf{b(u)|u∈U} = r
が理解できません。 - 509 ：takizawa：2007/08/07(Tue) 04:37 ◆MpyjNwOMVM
- 私は全く知識が足りないことを理解致しました。
点列コンパクトとハウスドルフ空間、ぐらいしか理解できておりませんが
(大学１年教養レベルです)数学の参考書は何を読んだらよろしいでしょうか。
なるべく短時間で追いつけますものをお教えくださると大変ありがたく存じます。
某所で拝見させて頂きました、
「あとは、マクロっぽいけど、実はAPSの応用っていう：」
「Athey, Atkeson, Kehoe, Econometrica 73 (5), September, 2005, 1431-1476」
「"The Optimal Degree of Monetary Policy Discretion" 」
「これ、証明の細かいところはなにげに怪しいのでは？と疑ってます。」
「例えば、行動空間が有限じゃない場合に、」
「stochastic DPをゲームに拡張したときに」
「戦略の可測性に関して問題が起きないことは証明されてないと思う。」
「（APSは行動空間が有限だと仮定してた。）」
の意味をお教えください。
戦略空間またはaction空間の測度が問題というのは、
「とりうるaction数→∞」
のとき、
「各actionの測度→0」
で、ペイオフがゼロになるかもしれないから、ということでしょうか？
連続時間(DP)において問題なのは、t時間軸に対して同じことが言えるからでしょうか？
(たとえば、t→t+dt においてとりうるactionの回数が)
同時ゲームsimultaneousなら問題無しなのでしょうか？
申し訳ございません。全くわかっておりません。よろしければ、なにとぞお教えください。
お願い申し上げます。 - 510 ：takizawa：2007/08/10(Fri) 09:58 ◆MpyjNwOMVM
- Fudenberg Levine (2007) Review of Economic Dynamics
におきまして、細かいことですが、p.187の式、
ζ(τ) = √log(1/τ)
は、
ζ(τ) = log(1/τ)
で、ルートがなし、の誤植でしょうか。
よろしくお願い致します。 - 511 ：名無しさんの冒険：2007/08/10(Fri) 12:46
- aあ
- 512 ：takizawa：2007/08/14(Tue) 03:48 ◆MpyjNwOMVM
- >>511 お答えを頂けたのでしょうか。
Mailath and Samuelson (2006) Repeated Games and Reputations
におきまして。
p.290 トリガー戦略では、δ→1では効率的な解が消滅します。
GreenPorter(1984)のT期で復帰するモデル戦略と結果が異なります。式見て理解はできますが、納得ができません。
δ＝１が特異点になっているわけでしょうか、特異点になってしまうのはなぜでしょうか。
GreenPorterはこれを知っていて、T期で元に戻る戦略を考えたのでしょうか。
私は、設備も、環境も、能力も、気力もｗ、努力もｗ、劣りますので、(すみません)
奇襲しないと、他の方に先を越された上に、ものすごい結果を先に出されてしまいますｗ。
と思いまして、一所懸命、こっそり論文集めていたのですが、
Mailath and Samuelson (2006)にほとんど全部引用されておりました。
たまには、人の言うこともちゃんと聞くべきだなぁ、と思いました。
４月・５月と、ほとんど無関係な論文を大量に集めて読んでおりました。
挙句にようやく見つけましたら、参考書に引用されておりました。
ああ悔しい。非常に悔しいです。
反省しております。雑談すみません。 - 513 ：名無しさんの冒険：2007/08/19(Sun) 05:27
- >>512
p290?
不完全Monitoringの状況でトリガー戦略を使うと、ナッシュに行く
確率的なプロセスが導けますが、このプロセスはδに依存しません。
だから、「δ→1では効率的な解が消滅」するわけです。（正確には、
トリガー均衡は消滅しませんが、均衡利得がナッシュ均衡利得に
収束します。）
直観的には、100期までにはほぼ間違いなくナッシュを始めているが、
δ→1だと100期までの利得は平均利得にほとんど影響を与えないから、
といった感じですかね。 - 514 ：名無しさんの冒険：2007/08/19(Sun) 05:40
- >>510
ζ(τ) = √log(1/τ)
にはルートが必要です。
ただむしろこれは、ζ(τ) = √2log(1/τ)の誤植だと思われます。
こうしておくと、 後にあるように、(ζ(τ)^2)/2がlog(1/τ)になるので。 - 515 ：takizawa：2007/08/21(Tue) 09:49 ◆MpyjNwOMVM
- いつもお世話になっております。
>>514 誠にありがとうございます。
>>513 もう一度よく読んで参ります。直感的な例がとてもわかりやすいです。
引用されている多くの論文では、
anoymousな場合：punishmentを特定して与えられないから、
プレイヤー数が無限大の場合：分布に影響を与えないから、
となっているところまでは理解できたつもりです。
ありがとうございます。 - 516 ：takizawa：2007/08/21(Tue) 10:00 ◆MpyjNwOMVM
- 大量に質問申し訳ございません。
>>509に関連しまして、基本的なことが分からなくなってしまいました。もう一度よく読んで参ります。
action空間が無限大だと、測度→0はわかります。しかし、混合戦略を許したら、
action = αa + (1-α) a'
で、α∈[0,1]、a,a'∈A.
とすると、actionは無限にあると考えられませんでしょうか？
やはり、αの値に依存して、actionも無限にあり、測度→0になるような気がします。
最適反応戦略は一つだから、という理由でこうはならないのでしょうか?
すると今度は逆に、2つのaction、a,a'に対し、最適反応がひとつであり、action数より減ってしまいます。
全くわかっておらずすみません。最初の頃に教わりました、独立性公理の話でしょうか。
凸集合をもちろんaction空間に仮定しております。
Matsushima(1994)現代の経済理論、に引用されています、Demougin and Rishman(1991)は、混合戦略を考慮、というより、非同質財のモデル、のように読めます。
すみません。全く初歩的な質問して申し訳ございません。 - 517 ：takizawa：2007/08/21(Tue) 10:11 ◆MpyjNwOMVM
- Mailath and Samuelson (2006)を読み続けております。
①p.310のgarblingの定義は、発生確率を規格化、と申しますか、対角化したもの、FLMの一般化、のような解釈でよろしいでしょうか。
②p.312の、co(W)と、ext(W)の区別がつきません。
Wの凸集合の、凸集合が、ext(W)なのでしょうか。局大値と極小値を与える点、という解釈でよろしいでしょうか。
③p.315、Corollary 7.5.1 proof
Β^{P}(coW) ∈ Β^{P}(W)
が、Proposition 7.5.1により示されている、とありますが、示されていないような気がするのですけれども。
④p.327最後の式、
U w^{α} = [1,ν*]で、self-generating
とありますが、
(1)ν*は、その１つ前の式、w^{α} = [※1,※2] におきまして、
※2において、α=1とおいたときに導出できます。
(2)1の方は、これまでと同様に、(L,l)をプレイしたときに得られる自明の解、minmaxと申しますか、留保効用だから、と申しますか、
から導出してよろしいのでしょうか?
※1から導出しようとしますと、α=0、δ=1のときしか、1の値が得られません。
次のページ、p.328の説明文を読みますと、self-generationの証明に、
下限値は(L,l)の時で、1が自明、
という条件を用いていない、用いてはいけない、ようにも読めます。
⑤p.331(7.7.5)式が導出できません。
[o,γ^{-}]がself-generatingになる条件とは何でしょうか。
⑥p.332、ESが均衡となる条件、
ν_{i} >= r/(q-r)
が導出できません。
(1-δ)/(δ(q-r))
だと思うのですが。
図に乗りまして申し訳ございません。
なにとぞよろしくお願い申し上げます。
自分でももっと努力致します。 - 518 ：名無しさんの冒険：2007/08/22(Wed) 14:46
- 2つ答えたら、その３倍以上の問題が返ってきてますね。
いくつか簡単に答えられるものだけ。
>>494
t<n では、 σ^{n}(0|h^{t}) = 1
t>=n では、σ^{n}(1|h^{t}) = 1
ですね。
だから、それぞれのｎについて、0,...,0（n-1期),1,1......となります。
するとnが大きくなるにつれて、discount payoff→0ですが、Time averageは
nに関わらず１です。
>>517
①？？ちがいます。
②通常co(W)はWの凸包で、ext(W)はWの凸包のextreme pointsです。
例えば[0,1]上の有理数の集合をWとすれば、co(W)は[0,1]で、ext(W)
は、0と1の2点です。 - 519 ：名無しさんの冒険：2007/08/22(Wed) 14:52
- ③
- 520 ：名無しさんの冒険：2007/08/22(Wed) 15:09
- ③ 示されています。
Wがコンパクトなので、Proposition 7.5.1 より、Β^{P}(coW) = Β^{P}(extW)
です。で、extWがWに含まれるので（この証明が抜けているってことですか？）
単調性よりΒ^{P}(extW)\inΒ^{P}(W)。 - 521 ：takizawa：2007/08/28(Tue) 09:20 ◆MpyjNwOMVM
- いつもお教え下さり誠にありがとうございます。
もう一度よく確認して参ります。
お忙しいところありがとうございます。coとextがようやく理解できました。
>>516 の問題は、その後の8章にも関連する話題が出ておりました。現在読んでおります。
突然話が変わって申し訳ございませんが、
Fudenberg and Levine (2007) review of Economics Dynamics
に引用されておりますSannikov Y あるいは、Faingold.Eという方の論文が見つからないのですが、つづりを間違えているのでしょうか。
探し方を間違えておりますのでしょうか。ゲーム論に全く見当たりません。
と思いましたら引用されておりました。
>>337 Yuliy Sannikov を発見致しました。
>>338 早速読ませて頂きます。
と申しながら1年たっておりました。申し訳ございません。
ちょっと長い論文が多くてきついです。 - 522 ：takizawa：2007/09/04(Tue) 05:54 ◆MpyjNwOMVM
- いつもお世話になっております。
Mailath and Samuelson (2006)p.358におきまして、
E[x_{1}|ES] = 0
(8.1.2)(8.1.3)をとくときに用いる条件が、どこから出てきたのかわかりません。
p.363におきまして、二人ともshirkのときの
k* = λ ・ x = 0
とありますのは、Normalizeしているから、だと思います。
細かいことを申して申し訳ございませんが、ch9,p.374におきまして、
Definition 9.2.2のあとの、
α_{i} R_{i} (α_{-i}) = [ρ(y|α)_{y∈Y}] = α_{j} R_{j} (α_{-j})
は、FLM(1994)p.1017の1番目の式とおなじでしょうか。
つまり、いわゆる、
「iiと同じ記号を一つの式の一つの項の中で用いているときには、総和∑をとっている」
というルールを用いていますでしょうか。
>>516 に関連しまして、低次元の質問申し訳ございません。
「strict PPE が pure strategies だ」と、Corollary7.1.1など各所に出てきます。
これはつまり、最適戦略は混合戦略(だけ)ではない、と申しますか、aとa'が最適なら、
λa + (1-λ) a' λ∈[0,1]
も最適、ということを意味していますでしょうか。 - 523 ：takizawa：2007/09/04(Tue) 06:09 ◆MpyjNwOMVM
- 申し訳ございません、ちょっと長くなります。FLMをまだ完全に理解できていないということになってしまうのかもしれませんけれども。
数学力が不足しておりまして申し訳ございません。何か参考書はございませんでしょうか。お手数おかけして申し訳ございません。
p.366 Proposition 9.1.2の証明がよくわかりません。流れを自分なりにまとめてみました。
①Wがself-generatingなことを示すには、Wが局所self-generatingなことを示せばよい、
つまり、u'∈u_{ν}がself-generatingならよい。
②局所u_{ν}において、任意のν'は、1stage NASH∈W と、ν''∈Wの凸結合で表せる。
③つぎに、Wの境界、bdWにおけるdecomposabilityを示す。
④ν* ∈ bd W* をdecomposeする。
⑤ところで、任意のν^{~}は、距離がupper-boundである。
⑥B_{η}(ν) 中のν^{~}は、距離がupper-boundである。
⑦γ^{~}とγの距離→0にしたとき、γ^{~}とγ^{δ}の距離もupper-bound。
ここで、γ^{δ}は、γ^{-}とνの内点
(ここまででp.368～p.370の要約のつもりです)
⑧ゆえに、u'はself-generating
という証明だと思うのですが、⑦の部分の証明がわかりません。
p.368まではわかったつもりなのですが。
p.369～p.370で、
u_{ν}をbd Hの近傍にとることで、
bd Hにおいて、continuation payoffもbd H の近傍内にあるから、u'がself-generatingだ
という証明をしていると思います。
式1本1本は導出できましたが、全体として何をやっているのかがわかりません。
⑦より、ν^{~}がu_{ν}中になり、self-generatingになる、という意味でしょうか? - 524 ：takizawa：2007/09/07(Fri) 18:08 ◆MpyjNwOMVM
- 保守上げ。どうもすみません。
.∧
｜｜
｜｜
／￣￣￣￣￣ .｜｜
.｜ トマホーク発射！ ￣〟
。 。 ＼＿ ＿＿＿ 〝 〟
。 ∨ 『 〝。
ﾌﾞｸﾌﾞｸ.. 。 ¶ ∧ ∧∩゛ ／￣￣￣ヽ 。°
∧ ∧。 ∥ ( ﾟДﾟ)/ ／￣∈≡∋￣ヽ ｡°
(* ﾟーﾟ) ／￣U￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣＼
～ （￣ヽ／￣￣￣￣￣￣ ￠ ＼
～ ∈≡∋ 〓 type-688 〓 ￠ ）
～ （＿_/＼ ／
＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ／
全く無関係ですが、ハープーンはVLSじゃないですよね。しまった。失礼しました。 - 525 ：takizawa：2007/09/07(Fri) 18:21 ◆MpyjNwOMVM
- いつもお忙しいところ申し訳ございません。もう少し自分で考えるように致します。
Mailath and Samuelson (2006)に引用されています、
・Kandori and Obara (2003b) Mailath and Samuelson Ch8.4で引用
・Kandori and Matsushima (1998) Mailath and Samuelson Ch8.1で引用
・Wiseman(2005) Mailath and Samuelson Ch9.7で引用
・Wen(2002) Mailath and Samuelson Ch9.6で引用
が見つかりません。
・Fudenberg and Levine (2007)Fudenberg and Levine (2007)Review of Economic Dynamicsで引用
もです。これはまだ未発表ということでしょうか。
Kandori and Matsushima (1998)だけは、Kandoi先生のホームページからEconometricaと判断して何とかたどり着きました。
Web of Scienceで検索しても見つからないです。Working Paperでしょうか。
Mailath and Samuelson (2006)をホームページからダウンロードしたバージョンで読んでおりますもので引用文献がよくわかりません。
どうもすみません。 - 526 ：takizawa：2007/09/07(Fri) 18:43 ◆MpyjNwOMVM
- Mailath and Samuelson (2006)は、昔の、フリーでしたころのバージョンをプリントアウトしたものを持っておりましたので、今はそれを読んでおります。
と思いましたら、見つかりました。Wiseman(2005)はこれでしょうか。
http://www.eco.utexas.edu/facstaff/Wiseman/
“A Partial Folk Theorem for Games with Unknown Payoff Distributions,” 2005, Econometrica 73, 629-645.
度々申し訳ございません。 - 527 ：名無しさんの冒険：2007/09/08(Sat) 01:09
- ゲーム理論かあ。岡田章じゃだめ？
- 528 ：takizawa：2007/09/11(Tue) 00:35 ◆MpyjNwOMVM
- やっぱり、私には繰り返しゲームが面白いです。岡田先生の本も買わせて頂きましたがまだきちんと読んでません。
仁とか出てくる時点で死にそうです。
度々申し訳ございません。Mailath and Samuelson (2006)です。
p.395～p.396 Example 9.7.2の例では、
※ξのときBB、ξ''のときABをプレーし続ける
で、いつ脱字stateが判る戦略は※、というのは判りますが、
では、CCの戦略はどうなるのでしょうか?
均衡ではない、のでしょうか？均衡だと思うのですが。
この部分がいったい何の話をしているのかがわかりません。
p.396におきまして、細かいことですが、誤植でしょうか?
F(ξ):convex hull
F^{+}(ξ):strictlly individually rational
F^{+p}(ξ):pure stage game payoff のset
の順番だと思います。この後をこれから読みます。 - 529 ：takizawa：2007/09/11(Tue) 00:38 ◆MpyjNwOMVM
- p.391、proposition 9.6.4のproofが、p.392～p.393が、私の理解がかなりあいまいできついです。
このあたりが今の私の限界です。
よろしければどなたか、何をしているのかご説明ください。 - 530 ：takizawa：2007/09/14(Fri) 07:39 ◆MpyjNwOMVM
- よろしくお願い致します。
Mailath and Samuelson (2006)
①p.397 set K の要素数が、2^{K}-1、なのはなぜでしょうか？
②p.401(9.7.8)式、
γ=∑ν^{*} φ^{*} + Δ_{ν} + Δ
は、
γ=∑ν^{*} φ^{*} - Δ_{ν} + Δ
の間違い、でよろしいでしょうか。
③p.403 式、(9.7.12)の後、13～14行後、
The difficulty with nonrevealing action prfiles
a' = (a'_{i}, a^_{-i}(μ)) is that the continuation payoff must now come from the set C_{μ}
and player i's payoff is already near its minmum in the set C_{μ}.
判別のつかないaction a'_{i}をiがとったから、continuation payoff は既に、minimumに近い、という意味でしょうか?
a'_{i}に逸脱したことに対しpunishしているので、その後のpunishができない、という意味でしょうか?
本来は、
a'_{i}への逸脱を防げるような、低いcontinuation payoff をiに与えられない、
という意味だと思うのですが。
逸脱前のa^_{i}に対するcontinuation payoff は、別に低くないと思います。「既にminimumに近い」という意味がわかりません。
よろしくお願い致します。
なんとか、Mailath and Samuelson (2006)を読み終わりました。7,8,9章だけですが。 - 531 ：takizawa：2007/09/21(Fri) 18:48 ◆MpyjNwOMVM
- いつもお世話になっております。
突然抽象的な質問を申し訳ございません。
ベイジアンに帰着できる形でも、private informationと言うでしょうか。
特に、対称二人プレイヤーのベイジアンでも言えますでしょうか? - 532 ：名無しさんの冒険：2007/09/23(Sun) 21:13
- 犯罪者のホームページ
http://www.lastsong2007.com/regist4.php - 533 ：takizawa：2007/09/25(Tue) 18:18 ◆MpyjNwOMVM
- ↑ワンクリサイト注意。
踏んづけちゃったじゃないですか。何貼るんですか。も～。
保守上げします。
>>516 >>522 の質問、事故解決しました。
Battle of Sexes とか、imperfect monitoringとか、ベイジアン、の可能性をすっかり忘れておりました。
混合戦略じゃないと解がない場合がありました。
F-T1章の話は、完全モニタリングなら、>>516 >>522 も成立しますでしょうか。
訳のわからない質問をして申し訳ございません。
要は、混合戦略が最適解のときもある、ということを忘れておりました。 - 534 ：takizawa：2007/10/05(Fri) 05:51 ◆MpyjNwOMVM
- 数学の知識が足りなくて、やりたいことができないのですが、何を読むべきでしょうか。
お願いします。解の収束とかです。
元工学部が経済学部の方に恥をしのんでお伺い致します。よろしくお願い致します。 - 535 ：名無しさんの冒険：2007/10/05(Fri) 10:34
- やりたいことの詳細をお書きにならないと、的確なアドバイスができないのでは？
- 536 ：takizawa：2007/10/12(Fri) 02:33 ◆MpyjNwOMVM
- すみません。ありがとうございます。ちょっとまだうまく頭の中が整理できておりませんでして申し訳ございません。
今手元にございませんでして、今度論文を持って参ります申し訳ございません。
突然話が変わりまして申し訳ございません。
Wiseman(2005)Econometricaにおきまして、p.631、3行目、
"learningなしだと、expected minmax payoffより大きく、actual minmax payoffより小さい、payoffを得る"
とありますが、"expected minmax payoff"と"actual minmax payoff"とは何のことでしょうか。
いまさら申し訳ございませんが、RMM(1986)におきまして、
p.64中段、:cf.equation(1.8). Thus, if q>9/4, this minmum value is (27/32q)
の (27/32q)の値が導出できません。
その結果、(3.11)式も導出できません。
どなたかお教えください。
さらに申し訳ございませんが、RMMK(1986),p.66におきまして、
Case.I. 0 <= (1-δ+δz)/(q(1-δ)) <= 1
がどこから出たのかわかりません。
いつも申し訳ございませんがよろしくお願い致します。 - 537 ：takizawa：2007/10/16(Tue) 01:53 ◆MpyjNwOMVM
- Mailath and Samuelson (2006) >>523 の証明は、
FLM >>240 の証明に近いですよね。
>>535すみません。やりたいことは、FLM、Fudenberg,Levine,Pesendorfer(1998)JETやMailath and Samuelson (2006)の証明のようなことなのですけれども。
例えば、近傍であることを証明するのに、εをよく用いると思います。で、結論から読むと、なるほど、と思えるような形になるわけですが、途中では、
ε/2とか、ε/4とか、そのような制約条件が大量に出て参ります。その導出の仕方がわかりません。
結論から読めば(しかも教えていただけば)納得なのですが、自力でそのような証明ができません。
すみません。ちょっとまだ頭の中がまとまっておりませんでして。もう少し考えて参ります。
いつもお手数おかけ致します。 - 538 ：takizawa：2007/10/19(Fri) 01:01 ◆MpyjNwOMVM
- 雑談すみません。
自分の昔の趣味ともあうので、ノイマンやオーマンのように、War of attritionなどに走ろうかと思ったのですが、
政治学者の方など専門家でもない限りやはり難しいですね。私のような素人では、無理のようです。bargainingの知識がないと無理ですし。
自分の今までの分野から大きくはなれるのはかなり難しいということをようやく理解しました。
どうも雑談申し訳ございませんでした。 - 539 ：takizawa：2007/10/26(Fri) 00:42 ◆MpyjNwOMVM
- >>536 RMM(1986)自己解決致しました。馬鹿な質問ばかりして申し訳ございません。
恥ずかしいのと悔しいので、ちょっと説明させて頂きます。
①p.66の式は自動的に出て参りました。
②>>p.64中段、:cf.equation(1.8). Thus, if q>9/4, this minmum value is (27/32q)
も出ました。
(1.8)は、λ_{1} + λ_{2} = 1 より、transferがある、という解釈でよろしいでしょうか。
で、最も効用U^が低くなるのは、コスト逓増(という言葉でよろしいでしょうか?)空も考えて、生産量が2企業で最も偏ったとき。
ただし、(1.8)の条件から考えて、
u^_{1}(λ) = 1/(2q・λ_{1}・λ_{2}) - 1/(4q・λ_{1}・λ_{1}) = 0
のとき。(0以下では生産しないから)
これをとくと、λ_{1} = λ_{2} / 2 だから、(λ_{1},λ_{2}) = (1/3, 2/3)
これを再び、(1.8)に代入してU^を求めれば、27/(32q)が出ました。
対称性から、(λ_{1},λ_{2}) = (2/3, 1/3)
も自明です。
③(3.11)も出ました。
1-q/4 = 27/(32q)
からですね。
あほですみません。 - 540 ：takizawa：2007/10/26(Fri) 00:44 ◆MpyjNwOMVM
- >>535 やりたいことの詳細をお書きにならないと、的確なアドバイスができないのでは？
ありがとうございます。実は、
「バナッハ空間における点列の収束性」
について研究したいと考えております。 - 541 ：takizawa：2007/10/26(Fri) 00:46 ◆MpyjNwOMVM
- すみません。うそこきました。本当は、
「リー環と対称群について」
研究したいと考えております。
すみません。これも嘘です。 - 542 ：takizawa：2007/10/26(Fri) 00:54 ◆MpyjNwOMVM
- 次のような例がわかりません。
①FLM p.1010 (4.2)の前後。
②Mailath and Samuelson (2006) Proposition 9.1.2 Proof
③Wiseman (2005) p.637 Lemma 2 Proof
などにある、
「ある点vを中心とした半径bの灸を考える、近傍を考える」
を用いた、というような、証明がわからない/まねできない です。
何を読めばよろしいでしょうか?
FLM >>240 がまだ理解し切れていないのですが。
局所decomposableという話は、全域でdecomposableとどう関係しますでしょうか?
局所decomposableな証明は、何の役に立っているのでしょうか?
ちょっと、私に理解できる範囲内で、説明させてください。
(類推)
コンパクト集合では、
「コンパクトなら局所でコンパクト」
ただし、逆が成立するとは限りませんよね。
局所で、decomposableから、どういう証明になっているのかがまだ理解できておりません。
すみません。 - 543 ：takizawa：2007/10/26(Fri) 00:56 ◆MpyjNwOMVM
- >>542「ある点vを中心とした半径bの灸を考える、近傍を考える」
半径bの灸→半径bの球
>>539 で、最も効用U^が低くなるのは、コスト逓増(という言葉でよろしいでしょうか?)空も考えて、生産量が2企業で最も偏ったとき。
空も考えて→からも考えて
です。すみません。 - 544 ：takizawa：2007/10/26(Fri) 01:06 ◆MpyjNwOMVM
- Wiseman(2005) p.640 Lemma3 Proof 最後の部分
U_{i} [(a_{i},α__{-i}),ω(i,b)] <= e_{i} (ω(i,b)). Q.E.D.
がわかりません。
minmax であるe_{i} よりも、
Fにもとづいて、ランダムに発生する、iをminmaxとする期待値
のほうが小さい、
のでしょうか?
ちょっと記号に誤解がないとよいのですが、
E[minmax] <= minmax [E]
つまり、
E[f(x)] <= f[E(x)]
といっているのでしょうか。
凸集合なら等号ですし、convexなら、逆向きだと思うのですが。
Battle of Sexesのような例でも逆になるでしょうか。
この例の場合をちょっと考えてきます。
あまりに頭が悪いので、私はあきらめたほうがよろしいでしょうか。
努力が足りないせいだと本人は思っておりますが。 - 545 ：takizawa：2007/10/26(Fri) 03:18 ◆MpyjNwOMVM
- 先日初めて気がつきました。
Matsushima, H. って、松島斉(ひとし と読む?)先生、のことだったんですね。
読み方わかりませんでした。
雑談すみません。 - 546 ：takiawa：2007/11/02(Fri) 18:15 ◆MpyjNwOMVM
- >>544 自己解決しました。
左辺のほうが小さいのは、プレイヤiのactionがa_{i}に制限されているから、ですね。 - 547 ：takiawa：2007/11/02(Fri) 18:22 ◆MpyjNwOMVM
- >>539 RMM はtransfer とか考えなくても対称ゲームだから交互に繰り返せば同じ答え出ますね。
>>542 FLMは少し前進しました。
問題は、局所と全域、ではなく、decomposabilityの方が難しいですね。
>>局所decomposableという話は、全域でdecomposable
Lemma4.2で、
局所でdecompsableで、そのうち最も条件の厳しいδ_{U}を(つまりδ_{U}の最大値)をδ'とすることで、
全域でdecomposableを保障している。
(4.2)を(4.1)に代入すると、δ_{U}でも成立。δ_{U}に関する変化が連続的なことは、(4.2)が凸結合の形になっていることから保障される。
δ'をmax δ_{U} ととることで、Uを任意に取れることになるという理解でよろしいでしょうか?
だから、局所で成立→全域で成立、となるわけですね。
いまさら何を言っているんだ、というような話で申し訳ございません。 - 548 ：takiawa：2007/11/02(Fri) 18:38 ◆MpyjNwOMVM
- でもって、こちらのほうが大問題でした。
(1)FLM Theorem4.1 Wが接超平面でdecomposableなら、局所でもdecomposable のproof, p.1035 Step3におきまして、
テイラー理論から、
||x^{H}|| < c*root((1-δ)/δ), x^{0} <= -||g^{α}||*((1-δ)/δ)
とありますが、これがわかりません。テイラー展開でしょうか?
(2)さらに、その前提となる、
Lemma 4.3 proof p.1012
w'(y) = v' + δ(1-δ')/(δ'(1-δ)) * (w-w^{-})
とすればenforceable
というのはどう確認するのでしょうか?
①v = (1-δ)g + δ ∑πw
にw'、δ'を代入すると、
(1-δ')g + δ' ∑πw' (α(a)>0のとき) > (1-δ')g + δ' ∑πw' (α(a)=0のとき)
を示したいことになり、これは計算すると、
(1-δ')g + δ'v' (α(a)>0のとき) > (1-δ')g + δ'v' (α(a)=0のとき)
だから。でよろしいのでしょうか。ここで、v'がenforceableなことはproof(i)で示されているから。
②それとも、
(1-δ')(g+v') + δ' ∑π(w'+v') = (1-δ')g + δ' ∑πw' + v'
より、
v+v' = (1-δ')(g+v') + δ' ∑π(w'+v')
なら、
v = (1-δ')g + δ' ∑πw'
となり、δ' w'のときもenforceableだから、と考えるのでしょうか。
(3)疑問点
FLM p.1012 Proof1つ目の後、
Computation verifies that α is enforceable with respect to δ' and P', that
というのは、
v' = (1-δ')g + δ' ∑πw'
となることをさすのでしょうか。それとも、
v + v' = (1-δ')(g+v') + δ' ∑πw'
となることをさすのでしょうか。
どちらも成り立たないのですが。
どうも質問ばかりで申し訳ございません。 - 549 ：名無しさんの冒険：2007/11/09(Fri) 09:48
- >>548 テイラー理論から、とありますが、これがわかりません。テイラー展開でしょうか?
, イ)ィ -─ ──- ､ﾐヽ
ノ ／,．-‐'"´ ｀ヾj ii / Λ
,ｲ／／ ^ヽj(二ﾌ'"´￣｀ヾ､ﾉｲ{
ノ/,／ミ三ﾆｦ´ ﾞ､ﾉi!
{V /ミ三二,ｲ , ／, ,＼ Yｿ
ﾚ'/三二彡ｲ .:ィこﾗ ;:こﾗ j{
V;;;::. ;ｦヾ!V ｰ '′ i ｰ ' ｿ
Vﾆﾐ( 入 ､ r j ,′
ヾﾐ､｀ゝ ｀ ｰ--‐'ゞﾆ<‐-イ
ヽ ヽ -''ﾆﾆ‐ /
| ｀､ ⌒ ,/
| ＞┻━┻'r‐'´
ヽ＿ |
ヽ ＿ ＿ 」
ググレカス [ Gugurecus ]
（ 2007 ～ 没年不明 ） - 550 ：takizawa：2007/11/09(Fri) 09:50 ◆MpyjNwOMVM
- >>549 が～～～ん。
FLM Theorem4.1 Wが接超平面でdecomposableなら、局所でもdecomposable のproof,p.1035 Step3におきまして、
テイラー理論から、
||x^{H}|| < c*root((1-δ)/δ), x^{0} <= -||g^{α}||*((1-δ)/δ)
とあります。
テイラー理論は調べました。
(m-1項までのf(x)のテイラー展開) + R_{m} = f(x)
でした。しかしやはり、
||x^{H}|| < c*root((1-δ)/δ), x^{0} <= -||g^{α}||*((1-δ)/δ)
が導出できません。
テイラー展開とdecomposeがごちゃごちゃしてよくわかりません。
どちらをどこに用いてどのような手順で分解しているのかお教えください。
よろしくお願い致します。いつも申し訳ございません。 - 551 ：名無しさんの冒険：2007/11/09(Fri) 10:38
- >>544 「あまりに頭が悪いので、私はあきらめたほうがよろしいでしょうか。」
, イ)ィ -─ ──- ､ﾐヽ
ノ ／,．-‐'"´ ｀ヾj ii / Λ
,ｲ／／ ^ヽj(二ﾌ'"´￣｀ヾ､ﾉｲ{
ノ/,／ミ三ﾆｦ´ ﾞ､ﾉi!
{V /ミ三二,ｲ , ／, ,＼ Yｿ
ﾚ'/三二彡ｲ .:ィこﾗ ;:こﾗ j{
V;;;::. ;ｦヾ!V ｰ '′ i ｰ ' ｿ
Vﾆﾐ( 入 ､ r j ,′
ヾﾐ､｀ゝ ｀ ｰ--‐'ゞﾆ<‐-イ
ヽ ヽ -''ﾆﾆ‐ /
| ｀､ ⌒ ,/
| ＞┻━┻'r‐'´
ヽ＿ |
ヽ ＿ ＿ 」
アキラメロス [ Akiramelos ]
（ 2007 ～ 没年不明 ） - 552 ：名無しさんの冒険：2007/11/15(Thu) 12:41
- ↑皆が思ってたことを代弁してくれた>>551は神。
- 553 ：名無しさんの冒険：2007/11/15(Thu) 18:07
- 自作自演してまで誹謗中傷か…。
文献研究ぐらい自由にやらしてやれよ。 - 554 ：takizawa：2007/11/15(Thu) 19:58 ◆MpyjNwOMVM
- お、おにぃ～、と書こうと思いましたら先に書かれてしまいました。
>>549は私の自作自演です。どうもすみません。
いつもお世話になっております。 - 555 ：takizawa：2007/11/24(Sat) 15:44 ◆MpyjNwOMVM
- 度々申し訳ございません。
FL(1994)JET, p.114で、
k^ = λ^ ・ v = λ ・ w(1)
が最大なことを示すのに、
k' > k^
があると仮定し背理法で導いていますが。その後、p.114で、
Substituting for v_{1} yields
k' <= (1-δ)(λ_{1} + λ_{2})[2p-q] + δ λ_{1}[・・・]
+δ λ_{2}[・・・]
となります。ここで、k' <= (右辺) となる理由がわかりません。
①任意のλに対し、k^が最大
②k^よりも大きいk'が(あるλに対して)存在する。このk^はk^ = λv = λw(1)を満たす。
k'もこれを満たすとする。w_{2}(1)=(k'-λ_{1}w_{1}(1))/λ_{2}からもそう仮定していることがわかる。
(k'=λ_{1}w_{1}(1) + λ_{2}w_{2}(1)となるから。)
このとき、一般に、λv >= λw(1)だから、λv >= λw(1)=k'なλ、vが存在する。このλvを計算すると、
k'<=k^となり矛盾する。
という証明でしょうか。 - 556 ：takizawa：2007/11/24(Sat) 15:51 ◆MpyjNwOMVM
- それとも、
「λw(1) より大きい値の λv は存在しない」
ことを示しているのでしょうか。
つまり、本来は、
「k'' = max λv > k^が存在すると仮定」
して背理法だと思うのですが、これだと、上から押さえ込むことができません。
そこで変わりに、k^ = λw(1)に着目し、k^<k'=λw(1)が存在すると仮定し、
同じw_{1}(0)、w_{1}(1)、w_{2}(0)、w_{2}(1)、の関係から、
k'=λw(1)<=λv
で、これをとくと、
k'<=k^
となることを用いたのでしょうか。 - 557 ：takizawa：2007/11/24(Sat) 15:56 ◆MpyjNwOMVM
- FL(1994) p.115
ペイオフλv = λ_{1}(p-q) + λ_{2}p
はp.115のw_{1}(0)、w_{1}(1)、w_{2}(0)、w_{2}(1)を用いれば、
λ(1-δ)g(1,0) + λδw(1,0)
に分解できる。ゆえに、decomposableである、だからenforceable.
という解釈でしょうか?
で、その後、(1,1)と(1,0)とどちらがとくかを比較している。
細かいことですが、FL(1994)P.115
２段落目の式、
max{λ(p,p-q),λ(q,q-p)}
は
max{λ(p,p-q),λ(p-q,p)}
の間違いですよね。
いつも申し訳ございません、どなたかよろしくお願い申し上げます。 - 558 ：名無しさんの冒険：2007/11/24(Sat) 18:08
- とりあえず「ジョークＡＡ」スレ以外でＡＡをベタベタ得意げに貼りまくってるやつはなんなの？
苺を２ちゃんかどっか別の板と間違えてないか？ルールも知らない新参者が２ちゃんから流れてきてるのか？ - 559 ：名無しさんの冒険：2007/11/24(Sat) 18:31
- 時期的にみておそらく同一人物の仕業かな
本人は「え?なんでAAはっちゃいけないの?」って
感覚なんじゃないの?システムは2chと同じだけど
内容やレベルも客層も違うってこと
だれかが口うるさくいつも注意すべきなんでは? - 560 ：takizawa：2007/11/30(Fri) 15:20 ◆MpyjNwOMVM
- >>558 >>559 すみません。今後致しません。申し訳ございません。どなたもいらっしゃらないのではしゃぎました。
これは貼ってもよいですよね。
http://www.geocities.jp/dondokodon41412002/index.html
ここに100人博士がいれば、16人が無職で、8人が行方不明、7人はほかの職業、とあります。
この10年で、ポスドク1万人計画で、
10年×1万人×31/100 ＝ 3万1人
がこうなったはずです。
医学部・法学部・文学部、などの特定な分野を除くと、おそらく、経済、理学部(数学・物理)、薬学部、工学部、で4等分ぐらいで、各6000人ぐらい、
数学とゲーム論の分野で、このような目にあっている人も、1000人や2000人はいると思いました。
なら、一人ぐらいは、私に勉強を教えてくださる変わり者がいてもよいと思いまして。どうもすみません。
①相手にするのが面倒、相手にならない、②気力がない、③能力がない、④食うのに忙しい、
のどれでしょうか。とか思いました。どうもすみません。 - 561 ：takizawa：2007/11/30(Fri) 15:41 ◆MpyjNwOMVM
- いつも沢山申し訳ございません。
FL(1994)JET,Efficiency and Observanility with Long-Run and Short-Run Players
におきまして。
FLの(λ_{1},λ_{2})と、RMMの(λ_{1},λ_{2})は同じ定義でよろしいのでしょうか。
>>558 すみません。2000年ごろから、5年ほどROMってました。善意の方に申し訳ございません。
そうですね。最初の頃に比べますと、私もかなりいい加減で、ふざけております。反省しております。
Matsuhima(1990)EL
On the theory of repeated games with private information Part IIp.260で、
∑_{ω_{j}' ∈ Ω_{j}} p(ω'|a^/a_{j})
の意味がわかりません。
一般には、
∑_{k} なら、k=0,1,・・・、無限大
∑_{x∈X} なら、xの全ての値に対し、つまりxを変化させて総和をとる
しかし、∑_{x=a} なら、x=aに固定して、ほかの係数、たとえばy,z,etc・・・を変化させてその総和をとる
だと思います。が、この場合どれなのかがわかりません。その結果、次の式、
p(ω|a^) × ∑_{a_{i}',ω_{i}'} λ_{i}(a_{i}',ω_{i},ω_{i}')
- ∑_{a_{i}',ω_{j}'} p(ω/ω_{i}'|a^/a_{i}') × λ_{i}(a_{i}',ω_{i},ω_{i}')
= p(ω|a^) - p_{j}(ω_{j}|a^/a_{i}) × p_{i}(ω_{i}|a^/a_{j})
' ∈ Ω_{j}} p(ω'|a^/a_{j})
がわかりません。 - 562 ：takizawa：2007/11/30(Fri) 15:53 ◆MpyjNwOMVM
- FL(2007)JETをお教えください。お願い致します。いつも大変失礼で申し訳ございません。
p.464 Definition 1(2)とその説明、
「Given the assumption that #Y* = #Z_{i}, their conditions are・・・」
の文が理解できません。
π_{a}^m(y_{-i}|z_{i}) = 条件付確率(z|z_{i},y_{-i})
すなわち、自分の受けたシグナルがz_{i}で、ほかの人のメッセージがy_{-i}
のとき、
ほかの人がz_{-i}のシグナルを受けてる確率
でしょうか。
π_{a}^m(m_{i}(z_{i})|z_{i})はどうなりますでしょうか。
自分のprivate messageがz_{i}のとき、自分がメッセージm_{i}を出す確率、でしょうか。
νは、p.466で"ν is the minimum probability・・・"
と再定義されています。これと同じ解釈でよろしいのでしょうか。 - 563 ：takizawa：2007/11/30(Fri) 15:57 ◆MpyjNwOMVM
- FL(2007)JET p.465 Definition 2
full Lebesgue measureのfullルベーグ測度、とは、fullとは何のことでしょうか？
FL(2007) p.467
Q^{n}(δ) >= min π-_{a}^{mn}
と、
p^{n} >= 0
が導出できません。
Q = (1-q) + q min π
になると思うのですが。
FL(2007) p.468
the average discounted value of particular strategies changes by at most
2εg- / (1-δ)
が出せません。
申し訳ございません。よろしくお願い致します。いつも失礼で申し訳ございません。 - 564 ：takizawa：2007/11/30(Fri) 16:03 ◆MpyjNwOMVM
- やはり、FLMが難しくてできません。>>550
F-Tをよめ、とおっしゃいましたが、F-Tにも、ここまでは書いていなかったと思います。すみませんもう一度確かめて参ります。
F-Tを読みましたときはとても難しいと思いましたが、いえ、今でもまったく理解できておりませんが、
F-Tですら、入門用、と申しますか、要点をまとめたものだったわけですね。
「プレイヤーごとの、actionが違うことを判別できる原理」までは説明してありますが、その詳しい数学的な説明は、FLMを読まないとわからないですよね。
FLMを読解することが私にはできないですが。
最近ようやく理解できて参りました。難しいです。でもとても面白いです。 - 565 ：takizawa：2007/12/04(Tue) 09:58 ◆MpyjNwOMVM
- いつも申し訳ございません。
FL(2007)p.469最後の式
(右辺1つ目の式)
=(右辺2つ目の式)
=(右辺3つ目の式)
が導出できません。q(δ)の意味が理解できていないからだと思います。
max k/(ν v_{i}^)とは、
「誤差項/(messageが一致しない確率×ペイオフ)」
でしょうか。 - 566 ：takizawa：2007/12/04(Tue) 10:04 ◆MpyjNwOMVM
- FLMにつきまして >>548 Lemma 4.3 proof p.1012
は間違えておりました。
①P' = v' + Pに関しenforceableなことを示す
②w':Y→P'
でした。つまり、
v+v' = (1-δ')(g+v') + δ'∑πw' ・・・(※)
を示したいのだと思います。しかし、p.1012のw'を(※)の右辺に代入しても左辺にはなりません。
やはりまだわかりません。 - 567 ：takizawa：2007/12/04(Tue) 10:11 ◆MpyjNwOMVM
- Mailath and samuelson(2006)ch9,p.369, Proposition 9.1.2の証明
が関連していると思います。
大意はつかめましたが、細かい部分が終えません。直感的な説明をさせて頂きます。
(1)局所でdecomposable
(2)全域でdecomposable
(3)局所はある半径rの球の領域を考えているから、本来の超平面によるdecomposabilityの定義では、超平面との境界部分が問題となる。
つまり、半径rの円に対し、超平面は直線だから、(2次元ではですが)、局面と、直線で、隙間ができてしまうのではないか、その隙間の部分でも成立するのか
というのが問題なわけですよね。 - 568 ：takizawa：2007/12/04(Tue) 10:16 ◆MpyjNwOMVM
- ①脚注9.1.4
w = γ^{δ} - ν
とおくと、
λ・w = λ・γ^{δ} - λ・ν = k - ε(1-δ)/δ - k = - ε(1-δ)/δ
とマイナスがつくのではないでしょうか。
②basis変換前は、γ^{δ}はγ^{-}とνを結ぶ直線状にあります。
・法線λは、領域H(λ,・)内から、領域H(λ,・)外への向き、
・原点は、領域H(λ,・)の側。
すると、λ・γ^{δ} < λ・ν ではないでしょうか？
basis変換後に符合が変わるのでしょうか。
よろしくお願い致します。 - 569 ：名無しさんの冒険：2007/12/05(Wed) 03:39
- 出会い初心者ならまずはココ！
- 570 ：takizawa：2007/12/07(Fri) 18:20 ◆MpyjNwOMVM
- よろしくお願い致します。
MS(2006)本Ch.9 Proposition 9.1.2, p.360～p.370
がようやく解決しました。これでようやくFLMが理解できました。
しかしまだ、前述の、
λの向きと符号
の問題が解決できておりません。
FLMのAPPENDIX 1, p.1034～p.1035を厳密に証明すると、MS(2006)のように、こんなに大変になる、
と言うことだけはようやく理解できました。
長い間ありがとうございました。今後ともよろしくお願い致します。
FLMを理解するのに、実に１年半もかかりました。しかも、まだ、λの符号が不完全です。
ものすごい証明ですね。
MS(2006)も実はすごいのだ、と言うことがわかりました。
ふっと思ったのですが、コンパクト集合は、半径ｒの円で定義されていましたでしょうか？自分でまた良く調べ直して参ります。
開被覆や点列コンパクトの定義なら、形の指定まではないような気が致しまして。領域が中心から等距離と言うのは、暗黙の了解として何かと便利なのは直感的にも良くわかりますが。
矩形で定義できるなら、一発で証明が終了できますね、とかとりとめもないことをぼんやり思っておりました。 - 571 ：名無しさんの冒険：2007/12/12(Wed) 12:29
- 符号の件はタイポだと思います。それ以降の議論はちゃんと修正できるはずです。
メイラスにメールすると、名前載りますよ。
http://www.ssc.upenn.edu/~gmailath/book/book-typos.pdf - 572 ：takizawa：2007/12/18(Tue) 14:04 ◆MpyjNwOMVM
- ありがとうございます。とてもメールしたいです。
すみません。ちょっと私ではまだ理解できておらず揚げ足を取っているだけのようになってしまい恐れ多いですので。
理解できたと思うところをまとめてみました。よろしければご確認お願い致します。
MS(2006)Proposition 9.1.2 p.368~p.370です。
①γ^{δ}を、
νとの距離がε(1-δ)/δであり、H(λ,κ-ε(1-δ)/δ)の境界上にある、
ようにしつつ、
νとγ^{-}の凸結合な点とする。
すると、γ^{-}とγ^{δ}の距離は、β' - κ_{1}-ε(1-δ)/(δ|λ|)となる。
②H(λ,κ-ε(1-δ)/δ)の境界上にあり、γ^{δ}との距離がκ√(1-δ)な点、γ^は、γ^{-}との距離が、
| γ^{-} - γ^ |^{2}_{1} = (β')^{2} - (1-δ)[p.370(9.1.3)式の前の式、squeare brachetsの中身]
で示される。
ゆえに、γ^ はB_{β'}(γ^{-})内にある。
③[γ^{δ}との距離がκ√(1-δ)未満]かつ、[H(λ,κ-ε(1-δ)/δ)内に含まれる]ならば、
そういう点γ^{~}は、W内にある。(9.1.3)
④(9.1.2)より、任意の点γ^{~}は、H(λ,κ-ε(1-δ)/δ)内にある。
(9.1.2)のp.368一行目、λ・γ^{~} <= κ-ε(1-δ)/δより。
⑤任意の点γ^{~}∈Wは、δ→1のとき、γ^{δ}との距離がκ√(1-δ)未満なので、γ^{~}はB_{β}(γ^{-})内にある。
ゆえに、任意の点はdecomposable。でよろしいでしょうか。まだ理解できていないような気がします。
さらに、局所decomposability自体は証明されていないと思うのですが、これは、vとv'二点を十分近くに取れば、ほぼ同じdecompositionができる(テイラー近似をするのでしょうか)
という解釈で自明としてよろしいでしょうか。 - 573 ：takizawa：2007/12/18(Tue) 14:09 ◆MpyjNwOMVM
- 同じく、MS(2006)Proposition9.1.2中で、
λ・ν < λ・ν^{*}
な例が、具体的に作れません。
Wを、円、放物線、として、接線Pと法線λを考えましたが、
最大値はいつも、ν とν^{*}が一致する点
です。
いろいろ試しましたが、凸結合な凸の空間では、
λ・ν = λ・ν^{*}
になるのではないでしょうか。
心配なので確認させて頂きますが、
「λは点νの値で固定したまま」
でしょうか。その場合、
原点からの距離と角度、λのなす角、が問題となると思います。 - 574 ：takizawa：2007/12/18(Tue) 14:27 ◆MpyjNwOMVM
- FLMとMSを同時に読みましたので少し記号が混乱しております。図に乗りまして申し訳ございません。
またわからなくなりました。何度読んでも難しいです。でもとても面白いです。
FLM,p.1013
By, Lemma 4.3, profilce α is enforceable with respect to the translate P' of P_{v}
that passes through w',・・・
とありますが、αがdecomposableとは、
Wの接平面P_{v}があって、W内かその境界上の点vが、P_{v}のW側内点wと、P_{v}の外側g(α)に分解可能なこと
を言うと思います。
しかし上述のBy Lemma 4.3・・・のくだりでは、
αはP'でvを分解する
のでしょうか。vがすでにP'の外側の点ですがこれでもよろしいのでしょうか。
すみません。私は全くわかっていないかもしれません。 - 575 ：takizawa：2007/12/18(Tue) 14:42 ◆MpyjNwOMVM
- いつも大量に書き込みまして申し訳ございません。皆様はこういう問題をお一人で解決なさるのでしょうか。
混乱してわからなくなりましたので、確認させて下さい。
(※)繰り返しゲームでNASHとかPPEのとき、そこから逸脱したものを罰するパスが必要です。
このpunishment pathは1stage Nashの形になりますでしょうか？
(例1)δ=1の有限繰り返しゲーム
①Benoit Krishna(1987)IJGT
②Benoit Krishna(1985)Econometrica
③Bergin MacLeod(1993)JET
④Benoit Krishna(1993)Econometrica
いずれも1Stage Nashあるいはトリガーの形です。
(例2)松島(1994)現代の経済理論p.96の図
点C,Dはcontinuation payoffのひとつ。pathの指定はありません。
AbreuのB(V)の定義から、戦略は指定せずpayoffだけ指定しています。
で、わからなくなりました。
(1)path指定の必要はないとあります
(2)不完全モニタリング対称均衡(APS1986)ではマルコフ
つまり、トリガーではないけれど、対称ゲームだからNASH
(3)完全モニタリングなら、最も厳しいペナルティのトリガー(ほかの人がさらに逸脱したら、そちらへトリガー)
(4)非対称不完全モニタリング
はFLM/松島(1994)p.96の図
これは、予定するcontinuation payoffを与える戦略を、戦略の履歴まで指定せず、ペイオフだけを与えている
ものです。最も厳しいペナルティではないもののトリガー(3)のケース、に近いのでしょうか。
一度punishment pathに行ったら、元の均衡パスには戻らない、という解釈でよろしいでしょうか。
(要点)ここで疑問なのは、このpunishment pathからさらに逸脱があったらどうなるのか、ということです。
例1のようにはなっていないと思います。
何らかのNASHにはなっていると思いますが、逸脱したらそれをさらに罰する、多重構造(?)になっているのでしょうか。 - 576 ：takizawa：2007/12/18(Tue) 15:29 ◆MpyjNwOMVM
- 大量に申し訳ございません。今日はここまでに致しますのでFL(2007)をお願い致します。申し訳ございません。
p。472Appendix A.2,二つ目の式、
|max_{a} π^{-}^{mn}_{a} - min_{a} π^{-}^{mn}_{a}| [κg^{-}/(vν^)]
は、
δ(p_{t} + q - 1) (π^{-} - {π^{-}_{t}) g^{-}/(1-δ^{-}) <= δ(1-δ) max κ/(vν^) min π^{-}/π^{-}_{t} (π^{-} - π^{-}_{t}) g^{-}/(1-δ^{-})
<= max κ/(vν^) min π^{-}/π^{-}_{t} (π^{-} - π^{-}_{t}) g^{-} = max κg^{-}/(vν^) min π^{-} (π^{-}/π^{-}_{t} - 1)
より、
π^{-}^{mn}_{a} - min_{a} π^{-}^{mn}_{a} < π^{-}^{mn}_{at} - max_{a} π^{-}^{mn}_{a}
が必要です。ここで、
π^{-}^{mn}_{a} = π_{a}(y^{*}|h^{*}(t-1))、π^{-}^{mn}_{at} = π_{a}(y^{*}|χ(h^{n}(t-1)))
です。これは、
π^{-}^{mn}_{at}は、π_{a}(y^{*}|χ(h^{n}(t-1)))は、PかΓかわかっているときの条件付確立だから、シグナルしか受けてないときのπ^{-}^{mn}_{at}より大きい、
という解釈でよろしいでしょうか。
さらにその次のsecond line導出において、
|v^{n}(y) - v(y')| <= κ(1-Q)
とありますが、
|v^{n}(y) - v(y')| <= κ(1-δ) <= κ(1-Q)
でしょうか？
δ^{-} = Qδ
から導出できないと思いました。
0 < δ^{-},Q,δ< 1
だと思います。
さらに、p.472 Appendix A.2最後の式をそのひとつ前の式から導出できません。
大量の質問申し訳ございません。 - 577 ：takizawa：2007/12/20(Thu) 11:38 ◆MpyjNwOMVM
- 度々申し訳ございません。少し間違いがございました。
>>572
>>⑤任意の点γ^{~}∈Wは、δ→1のとき、γ^{δ}との距離がκ√(1-δ)未満なので、γ^{~}はB_{β}(γ^{-})内にある。
は、
γ^{~}∈B_{η}(ν)なら、γ^{~}はγ^{δ}との距離がκ√(1-δ)未満
の間違いでした。申し訳ございません。 - 578 ：takizawa：2007/12/25(Tue) 11:32 ◆MpyjNwOMVM
- 度々申し訳ございません。皆様には当然の事とは存じますが、私はわかっていない、と思われますと、残念ですので説明を追加させてください。
>>572 >>573 >>577
は、vがWの境界上にある場合の話です。
Wの内部にある場合は、ほぼ自明ですぐに証明が終了しています。
度々申し訳ございません。 - 579 ：takizawa：2007/12/29(Sat) 04:19 ◆MpyjNwOMVM
- 度々申し訳ございません。
>>575 は、NASH Reversionと最も厳しいペナルティの話については理解しているつもりです。
ただ、今まで見た例は全て、逸脱をpunishするパスは、それ以上逸脱する利益がない(1 stage NASHかminmax)
ものでしたので、混乱しております。
逸脱したものをpunishするパスが、SPEだから、supportされる、ということでよろしいのでしょうか。
このばあい、更なる逸脱を、結局どこかで、1stage NASHかminmaxでsupportしていることになると思います。
度々申し訳ございません。もう一度考えます。 - 580 ：takizawa：2008/01/03(Thu) 23:50 ◆MpyjNwOMVM
- >>513
Sekiguchi(1997)JETやそれを引用した論文にそのような記述があることを発見しました。
Imperfect Monitoringもすでにこんなに大量に書かれていたのですね。驚きました。 - 581 ：takizawa：2008/01/07(Mon) 23:26 ◆MpyjNwOMVM
- >>580 >>Imperfect Monitoringもすでにこんなに
private informationの間違いです。
度々申し訳ございません。訂正致します。 - 582 ：takizawa：2008/01/07(Mon) 23:31 ◆MpyjNwOMVM
- Bhaskar and Obara(2002)JET
p.46 Proposition 2
μ > π のときの場合わけ
(a) χ_{Dc}(μ) <= π, χ_{Dd}(μ) <= π
(b) χ_{Dc}(μ) <= π, χ_{Dd}(μ) > π
(c) χ_{Dc}(μ) < π, for all μ <= θ
なのはなぜでしょうか？ - 583 ：takizawa：2008/01/07(Mon) 23:49 ◆MpyjNwOMVM
- Bhaskar and Obara(2002)JET,p.47 Proposition 2
μ < π のときの場合わけ
⊿V^{^}(μ) = V(one step deviation) - V(σ_{D})
= { V(σ_{C}) - V(σ_{D}) } - { V(σ_{C}) - V(one step deviation) }
だから、⊿V^{^}(μ) < 0 だと思います。
で、それを導出する部分が変だと思うのですが。誤植が混ざっているようでよくわかりません。
⊿V(χ_{Cc}(μ))のcoefficientは1以下ですが、
⊿V(μ) < ⊿V(χ_{Cc}(μ)) <0
とあわせても、⊿V^{^}(μ) < 0 あるいは>0は定まらないと思います。 - 584 ：takizawa：2008/01/11(Fri) 09:35 ◆MpyjNwOMVM
- お忙しい所大変申し訳ございません。
非常に面倒なことをお願いして申し訳ないのですが、どなたか、
経済学部の数学関連の授業のシケプリをお持ちでしたら、可能でしたら、お送り下さいませんでしょうか。
どのようなことをしているのか、がわかりません。
お手数ですがよろしくお願い申し上げます。 - 585 ：takizawa：2008/01/17(Thu) 19:04 ◆MpyjNwOMVM
- いつもお世話になっております。
Bhaskar and Obara(2002)JET,p.53におきまして、
δが最小のとき(近似的にperfect monitoringおよびトリガー戦略だから)ペイオフが最大化するのはわかります。さらに、
・δ > g/(1+g) なら、cooperative phaseで逸脱するメリットなし
・δ > l/(1+l) なら、asymmetric phaseで協調するメリットあり
まではわかりました。しかし、
・δ → g/(1+g) が可能なら、π→1でき、
・δ → l/(1+l) までしかできないなら、π→l/(2l-g)まで、
というのがわかりません。どちらの場合も、π→1まで可能なように思えます。
π→l/(2l-g)はどのように導出したのでしょうか。 - 586 ：takizawa：2008/01/17(Thu) 19:24 ◆MpyjNwOMVM
- きわめて初歩的な質問で申し訳ございません。同じく、Bhaskar and Obara(2002)JET,p.61中段の式におきまして、
φ_{i}^{t} is larger than [φ_{i}^{t-1} (1-ε)] / [φ_{i}^{t} + (1-φ_{i}^{t-1})ε]
を確認することは難しくない、
とありますが確認できません。
[φ_{i}^{t-1} (1-ε)] / [φ_{i}^{t-1}(1-ε) + (1-φ_{i}^{t-1})ε]
だと思うのですが、[φ_{i}^{t-1}(1-ε)] < φ_{i}^{t} でしょうか。
導出は、
φ_{i}^{t} = P(Actioni=C|ω=C) / [P(Actioni=C|ω=C) + P(Actioni=D|ω=C)]
= P(ω=C ∩ Actioni=C) / [P(ω=C ∩ Actioni=C) + P(ω=C ∩ Actioni=D)]
= P(ω=C) ・ P(Actioni=C|ω=C) / [P(ω=C) ・ P(Actioni=C|ω=C) ・ P(ω=C) ・ P(Actioni=D|ω=C)]
= [φ_{i}^{t-1} (1-ε)] / [φ_{i}^{t-1}(1-ε) + (1-φ_{i}^{t-1})ε]
です。ここで、P(・)は条件付確率です。
よろしくお願い致します。 - 587 ：takizawa：2008/01/17(Thu) 19:28 ◆MpyjNwOMVM
- >>389 にすでに、Sekiguchiが紹介されていました。
いつも遅くて申し訳ございません。 - 588 ：takizawa：2008/01/22(Tue) 11:02 ◆MpyjNwOMVM
- Bhaskar and Obara(2002)JET,p.65におきまして。
-[df_{ε}(μ,δ)/dδ]/[df_{ε}(μ,δ)/dμ] = - [1+g(0)] / [(1-δ)(n-1)(g(1)-g(0))+δ(n-1)]
が導出できません。
p.66Lemma11の証明に置けます、逸脱時の最小ゲインと最大ロス
ν* = (1-δ)・1 + δ{(1-ε)・0 + εV^{-}}
(逸脱時) = (1-δ)・(1+g) + δ{(1-ε)・0 + εν*}
ですので、今期最小ゲインは(1-δ)gですが、
coninuation最大ロスは、δεV~{-} + δ(1-2ε)ν*
ではないでしょうか? - 589 ：takizawa：2008/01/29(Tue) 10:34 ◆MpyjNwOMVM
- Bhaskar and Obara(2002)JETにおきまして、N人プレイヤーの部分で、
「間違ったシグナルを受け取る確率ε」
とありますが、これはp.61にある
「誰かが先に逸脱しているのに、自分iだけはCシグナルを受け取る」
という自分だけが間違える確率、
ではなく、
「自分以外にも間違ったシグナルを受けている人はいる。さらに自分は必ず間違えたシグナルを受けている」
という確率でしょうか。
p.67,Proposision 7 Proofの1つめの式を見るとそう思いました。 - 590 ：takizawa：2008/01/29(Tue) 11:04 ◆MpyjNwOMVM
- Bhaskar and Obara(2002)JET,p.65,p.66におきまして
[(1-δ) + δ(1-q(0|0))V_{_}] / (1-δq(0|0)) >= [(1-δ) + δεV_{_}] / (1-δ(1-ε)),
[(1-δ) + δ(1-q(0|0))V^{-}] / (1-δq(0|0)) <= [(1-δ) + δεV^{-}] / (1-δ(1-ε)),
が導出できません。 - 591 ：takizawa：2008/01/29(Tue) 11:12 ◆MpyjNwOMVM
- Ely and Valimaki(2002)をお願い致します。どなたでも結構ですので、どうぞよろしくお願い致します。
p.90は、
「p.89の戦略でδ→1のときFolk定理が成り立つ」
という話だと思います。これが、abstractでいわれているもののうち、
Perfect Monitoringのときに成立する、Folk 定理だと思います。
しかし以前にも言われましたとおり、
「トリガーでは、δ→1のときに効率的な解は1 Stage Nashに一致する」
と思うのですが。 - 592 ：takizawa：2008/01/29(Tue) 11:16 ◆MpyjNwOMVM
- Ely and Valimaki(2002)JET
>>591もJETです。
きわめて初歩的な質問申し訳ございません。
p.92(5)(6)(7)(8)からp.93のπ_{cc}^{j},π_{cd}^{j},π_{dc}^{j},π_{dd}^{j}は即座に出ますが、
p.92のπ_{cd}^{j},π_{dc}^{j},V_{C}^{i},V_{D}^{i},がでません。
V_{C} = (一般解) + (特殊解)
のような形になっている式です。どこから導出したのでしょうか。単なる計算でしたら申し訳ございません。 - 593 ：takizawa：2008/02/02(Sat) 10:17 ◆MpyjNwOMVM
- >>417 >>418
もう1年たってまして意味がないとは思いますが、不完全コレスキー分解共役傾斜法だそうです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%AC%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E5%88%86%E8%A7%A3
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80%E6%80%A5%E9%99%8D%E4%B8%8B%E6%B3%95
考えましたら、SORとかプログラミングの話でした。あまり関係なかったです。 - 594 ：takizawa：2008/02/02(Sat) 10:24 ◆MpyjNwOMVM
- Ely and Valimaki(2002)JET p.102
中段、The first set of equalities amd inequalitiesからπ_{aj'',ai}^{j}(aj'')が導出されますが、これが、
0 < π_{aj'',ai}^{j}(aj'') < 1
というのがわかりません。
p.103(13)式、
γ_{n}(δ)|_{δ=1} = 0, β_{n}(δ)|_{δ=1} = 0
のところで、δ=1のとき、とありますが、
(13)式はδ=1で、
V(n) = E_{D,n} V(n')
V(n) = E_{C,n} V(n')
となるのでしょうか?これは、C,Dで無差別という意味でしょうか?
p.104の式で、全微分から、
dV_{nC}/dγ_{n} dγ_{nC}/dδ + dV_{nC}/dγ_{n} dγ_{nC}/dδ = D_{δ} V
だと思うのですが、
D_{γβ} V D_{δ} (γ,β) = - D_{δ} V
はなぜ"-"がつくのでしょうか? - 595 ：takizawa：2008/02/05(Tue) 00:22 ◆MpyjNwOMVM
- >>594 におきまして、全微分を間違えました。
DV = 0 = (dV/dγ)dγ + (dV/dβ)dβ + (dV/dδ)dδ
より、
(dV/dγ)(dγ/dδ) + (dV/dβ)(dβ/dδ) + (dV/dδ) = 0
でしょうか。初歩的な間違い申し訳ございませんでした。 - 596 ：takizawa：2008/02/05(Tue) 00:28 ◆MpyjNwOMVM
- Ely and Valimaki(2002)JETにおきまして、
p.103まではわかりますが、p.104からがわかりません。(偏微分もdで表示しております)
π_{C,ni}^{i} = 1-γ_{n}
1-γ_{n} = β_{n}
ではないでしょうか。
dV_{nC}/dγ_{n},dV_{nD}/dγ_{n-1},・・・etcがわかりません。
dV_{nC}/dγ_{n}は、
γ_{n} 0→1 で、他のn人がCのとき、自分がC→Dにしたときの、ペイオフ変化だと思うのですが。
流れとしてやろうとしていることはわかります。
いわば、full rank conditionをみているわけでしょうか。
どうぞよろしくお願い申し上げます。 - 597 ：takizawa：2008/02/08(Fri) 11:21 ◆MpyjNwOMVM
- Piccione(2002)JETをお願い致します。
非常に難しくて、p.75～p.76がほとんど導出できません。
①Eq(1)からEq(2)が導出できません。
②p.76(3)式は、(2)式にいろいろ代入しただけでしょうか?
だとしますと、非常に細かいことですが、p.76におきまして、
π^^{k}(mq) = ∑_{k=0}^{K} π(a^{k},b^{0}/mq) r_{l}^{k}(mq)
は、l→kに一部書き直さないといけないような気が致します。
③p.76(3)式の後、もしRとSが0なら、すべての逸脱はbad deviationだから、(3)式はmq=1で解ける。
というのがわかりません。
④p.76(2)(3)式、
φ^{k}(mq,1,Θ^{4},Θ^{4}) =
の式が導出できません。
⑤p.76
φ^{0}(0) - [φ^{0}(1,…) - φ^{k}(1,…) + φ^{0}(1,…)]
simplifies to
-LR - R - T - TG + R^^{k}G + LS^^{k}
が導出できません。
R = R^^{0}…etc,だと考えておりましたが、どうも間違えておりましたようです。 - 598 ：takizawa：2008/02/08(Fri) 11:23 ◆MpyjNwOMVM
- Piccione(2002)JETです。
p.74 bad defectionの定義がよくわかりません。
①aがa^{k}の最後のn-R-SピリオドのD_{s}をC_{s}で置き換えたもの、
であるならば、それをbad defectionと呼ぶ。
②a^{0}のC_{s}をk個D_{s}で置き換えたものをa^{k}とする。
ただし、k<=K,つまり、C_{s}は最大でK個
という解釈でよろしいでしょうか。
よろしくお願い申し上げます。 - 599 ：takizawa：2008/02/15(Fri) 03:12 ◆MpyjNwOMVM
- Piccione(2002)JETです。長くなります申し訳ございません。行列がうまくかけません。
p.75およびp.82のp(mq)^{-1}について
(1)式は
|V(q)|
|... ...|
|... ...|
|... ...|
|V(q)|
= (1-δ^{n}) ×
|π(a^{0},b^{0}/mq)|
|π(a^{1},b^{0}/mq)|
|... ... ... ... ... ... ... ...|
|... ... ... ... ... ... ... ...|
|π(a^{K},b^{0}/mq)|
+δ^{n} ×
|p^{0}_{0}V(qa0) + p^{0}_{1}V(qa1) + p^{0}_{2}V(qa2)+... + p^{0}_{K}V(qaK)|
|p^{0}_{0}V(qa0) + p^{1}_{1}V(qa1) + p^{1}_{2}V(qa2)+... + p^{1}_{K}V(qaK)|
|... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...|
|... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...|
|p^{0}_{0}V(qa0) + p^{K}_{1}V(qa1) + p^{K}_{2}V(qa2)+... + p^{K}_{K}V(qaK)|
ここで、(右辺第2項) = δ^{n} ×
|p^{0}_{0} p^{0}_{1} p^{0}_{2} ... p^{0}_{K} |
|p^{1}_{0} p^{1}_{1} p^{1}_{2} ... p^{1}_{K} |
|... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...|
|... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...|
|p^{K}_{0} p^{K}_{1} p^{K}_{2} ... p^{K}_{K} |
×
|V(qa0)|
|V(qa1)|
|... ... ...|
|... ... ...|
|V(qaK)|
= δ^{n} × p^(mq)
|V(qa0)|
|V(qa1)|
|... ... ...|
|... ... ...|
|V(qaK)|
です。ここで、p^{-1}(mq)を左からかけているわけですが、サ変は、
p^{-1}(mq) ×
|V(qa0)|
|V(qa1)|
|... ... ...|
|... ... ...|
|V(qaK)|
=
|V(qa0)|
|V(qa1)|
|... ... ...|
|... ... ...|
|V(qaK)|
とならないといけないと思います。これは、p^{-1}(mq) = E,つまり単位行列を意味するのでしょうか?
よって(2)式および、p.82におけるV→νで置き換えた(2)式に当たる式が導出できません。 - 600 ：takizawa：2008/02/15(Fri) 03:14 ◆MpyjNwOMVM
- p^{-1}(mq) = E,つまり単位行列、だとすると、 p^(mq)もEということになるような気がします。
固有値と固有ベクトルで何かありましたでしょうか?
どなたかよろしくお願い申し上げます。 - 601 ：takizawa：2008/02/21(Thu) 10:34 ◆MpyjNwOMVM
- Piccione(2002)JETをもう少し詳しく書きます。
>>599 から、
p^{-1}(mq) × V(q) = (1-δ^{n}) × p^{-1}(mq) × π(a^k) + δ^{n} × V(qa^k)
で、
p(mq) =
|p^{0}_{0} p^{0}_{1} p^{0}_{2} ... p^{0}_{K} |
|p^{1}_{0} p^{1}_{1} p^{1}_{2} ... p^{1}_{K} |
|... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...|
|... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...|
|p^{K}_{0} p^{K}_{1} p^{K}_{2} ... p^{K}_{K} |
です。これはおそらく、確立の行列ですので、
(ある行の成分を一列足したもの)=1
(ある列の成分を一列足したもの)=1
になっていると思います。逆に、
p^{-1}(mq)
=
|r^{0}_{0} r^{0}_{1} r^{0}_{2} ... r^{0}_{K} |
|r^{1}_{0} r^{1}_{1} r^{1}_{2} ... r^{1}_{K} |
|... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...|
|... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...|
|r^{K}_{0} r^{K}_{1} r^{K}_{2} ... r^{K}_{K} |
π^^{k}(mq) = ∑_{l=0}^{K} π(a^{k},b^{0}/mq) r_{l}^{k}(mq)
これから(2)を書き下すと、
∑_{l=0}^{K} r_{l}^{k} × V(q) = (1-δ^{n}) π^{k}(mq) + δ^{n} × V(qak)
ここで、∑_{l=0}^{K} p_{l}^{k} = ∑_{l=0}^{K} r_{l}^{k} = 1
と考えましても、
π^{0}(mq) = (1-δ^{n})π^{k}(mq) + δ^{n} × π^^{k0}(m_{qak})
∴δ^{n} × π^^{k0}(m_{qak}) = π^{0}(mq) - π^{k}(mq) + δ^{n} π^{0}(mq)
(3)式はこのようになると思うのですが。 - 602 ：takizawa：2008/02/21(Thu) 10:46 ◆MpyjNwOMVM
- Matsushima(2000)CIRJE-F-84"The Folk Theorem with Private Monitoring and Uniform Sustainability"
についてお願い致します。
p.15(7)の直後、
ε_{i}→0のとき、α_{j}(ε_{i})→0がわかりません。(6)(7)より、
α=∫p(ω|c/d)dω =/ (x+1-ν) (※1)
=∫p(ω|c)dω =/ (1-ν) (※2)
です。
①(※2)の分子はシグナルの精度が高まると0になりますが、(※1)の分子は1になります。
②あるいは、
ω_{i} ∈ (ω^_{i}-ε_{i},ω^_{i}+ε_{i})の測度→0
だから、(※1)(※2)共に0ということでしょうか?この解釈ですとそもそもp.12のL_{i}(ω_{i},a,a')の定義が成り立たないと思うのですが、
そもそもシグナルが連続な確率分布なので各ωの測度～0で、L_{i}(ω_{i},a,a')を直接計算できないから、回りくどいことをしているという解釈でよろしいでしょうか。
結局、②の解釈により0ということになりますでしょうか。 - 603 ：takizawa：2008/02/21(Thu) 10:50 ◆MpyjNwOMVM
- 話は変わりますが、Matsushima(2000)CIRJE-F-84のpublishされたpaperはどれになるのでしょうか?
Matsushima(2000)CIRJE-F-84をお願い致します。
αとは何でしょうか。p.16(10)δの式から、
(1-δ) + δ ν~ α = δ ν^ α
ですが、シグナルの精度が高まるとα→1ですので、わかりません。
シグナルの精度が高いならδ→1は妙だと思うのですが。 - 604 ：takizawa：2008/02/21(Thu) 11:13 ◆MpyjNwOMVM
- Matsushima(2000)CIRJE-F-84をお願い致します。
p.18 From equalities(11),(12),(13),and (14), one gets that
D_{i}(c) = D_{i}(d/c_{j}) = ν^_{i}^{m} ・・・(※)
が導出できません。
p.18のD_{i}(c),D_{i}(d),D_{i}(c/d_{j}),D_{i}(d/c_{j})に関する式((※※)とおきます)
は四元一時方程式で解は一意ですから、(※)および(11-14)をそのまま(※※)に代入してみましたが解けません。
(11-14)の∫p_{j}(ω_{j}|c)dω_{j}等と、(※)の∫p(ω|c)dω等は積分領域が異なりますが、直積でよろしいのでしょうか。
(6),(7),(10)から(11)を導出しますが、これらは全て、
∫_{ω_{j}∈(ω^_{j}-ε_{j},ω^_{j}+ε_{j})} p_{j}(ω_{j}|c)dω_{j}
= ∬_{ω_{j}∈(ω^_{j}-ε_{j},ω^_{j}+ε_{j}), ω_{i}∈Ω_{i}} p(ω|c)dω_{i}dω_{j}
となると思います。i及びjについて積分するとき(確率でですが)、その領域を制約できません。(6)の直積でよろしいのでしょうか。その場合(10)より、
(1-δ_{i})/δ_{i} = (ν^_{i} - ν~_{i}) α_{i}
これと(10)より
(1-δ_{i})/δ_{i} (1-δ_{j})/δ_{j} = (ν^_{i} - ν~_{i}) α_{i} (ν^_{j} - ν~_{j}) α_{j}
= (ν^_{i} - ν~_{i})(ν^_{j} - ν~_{j}) ∬_{ω_{i}∈(ω^_{i}-ε_{i},ω^_{i}+ε_{i}), ω_{j}∈(ω^_{j}-ε_{j},ω^_{j}+ε_{j})} p(ω|c)dω /((1- ν^_{i})(1 - ν^_{j}))
これをp.18に代入すると、D_{i}(c)について、
ν^_{i} = (1-δ) + δ(ν^_{i}+ν~_{i}+ν~_{i}+ν^_{i})∫p(ω|c)dω
= (1-δ) + 2δ(ν^_{i}+ν~_{i}) (1-δ)^2/δ^2 ((1- ν^_{i})(1 - ν^_{j}))/((ν^_{i} - ν~_{i})(ν^_{j} - ν~_{j}))
が得られると思いますが、これもやはり解けません。
ですので、(※)が導出できません。 - 605 ：takizawa：2008/02/26(Tue) 04:30 ◆MpyjNwOMVM
- Matsushima(2000)CIRJE-F-84は派生がいくつかありますが、
Matsushima(2004)Econometricaでよろしいでしょうか。 - 606 ：takizawa：2008/02/29(Fri) 17:20 ◆MpyjNwOMVM
- Matsushima(2004)Econometricaをお願いします。
p.835 Condition LI
q_{i}(・|a,θ_{0})
は2成分以上のベクトルでないといけないと思うのですが。
パラメータ・引数はa_{j},θ_{0}で2つですが、q_{i}自体は1つではないでしょうか? - 607 ：takizawa：2008/03/05(Wed) 02:16 ◆MpyjNwOMVM
- 目いっぱい恥ずかしい間違いをしました。
フーリエ級数展開とか、完全系な関数への展開を考えれば、2成分以上のベクトルである必要ないですね。量子工学でもやった基本でした。
直交する関数への分解をしているだけですね。
LIはconditionally independentと確率的には同じことを言っていますね。 - 608 ：takizawa：2008/03/08(Sat) 10:20 ◆MpyjNwOMVM
- Matsushima(2004)Econometrica お願い致します。
p.845
s- _{i} =0,
s_ _{i}^{m}(h_{i}^{t-1}) (a_{i}) =0,
s_ _{i}^{m}(h_{i}^{t-1}) (c_{i}) =1,
s_{i}^{m}(h_{i}^{t-1}) (c_{i}) =ρ-^{m}_{i},
等等ありますが、sが[0,1]の値をとるのは、
action cをするか、dをするかの混合戦略
を表していて、
1のときcという解釈でよろしいのでしょうか。
また、ρは[0,1]の混合戦略でしょうか？ - 609 ：takizawa：2008/03/08(Sat) 10:24 ◆MpyjNwOMVM
- Matsushima(2004)Econometrica p.864
a^ _{j}(t) ∈ {c_{j}, d_{j}} for all τ ∈ {0,...,T^{m}}
a^ _{j}(t) ∈ c_{j} for all τ
とはどういう意味でしょうか。
τが{0,...,T^{m}}でないときはd_{j}ということでしょうか？ - 610 ：takizawa：2008/03/12(Wed) 06:49 ◆MpyjNwOMVM
- T回の内、τ回dですね。わかりました。
- 611 ：takizawa：2008/03/12(Wed) 06:55 ◆MpyjNwOMVM
- p.846のSince the difference of the probabilities of player i's playing...
で、
f^{*}(M*,T-1,τ-1)
とありますが、これは、
F^{*}(M*,T-1,τ-1)
だと思うのですが。
ちょっと細かい説明はまた今度書かせて頂きます。今マウスの調子がおかしくてうまくかけないので。
しかし、F*だと、この後p.847以降すべて総和記号が発生するため、解析的に解けなくなります。
M*より多くbad signalが来るとpunishするわけですから、punishしない確立の変化量は、
F(M,T,τ) - F(M,T,τ-1)=・・・=∑f(r,T-1,τ-1)Pcd - ∑f(r,T-1,τ-1)Pcc
だと思うのですが。
今度もう少し細かく書きます。 - 612 ：takizawa：2008/03/21(Fri) 02:49 ◆MpyjNwOMVM
- Compte(2002)JET(p.106)をお願い致します。
p.116~p.117
Correlated equilibriaは結局何がcorrelateしているのでしょうか。
(4)式が導出できません。その結果、p.119の1番目の式も導出できません。
(3)式は、P(相手がC|シグナルがきた)という確率です。
(8)の微分方程式が導出できません。
よろしくお願い致します。 - 613 ：takizawa：2008/04/01(Tue) 06:21 ◆MpyjNwOMVM
- Compte(2002)JET(p.106)お願い致します。
p.129 y_{K}(x) が導出できません。
そもそもxの定義はありましたでしょうか。
Compte(2002)JETは全く歯が立ちません。難しすぎます。
どなたかよろしくお願い致します。 - 614 ：takizawa：2008/04/11(Fri) 04:56 ◆MpyjNwOMVM
- Compte(2002)JET(p.106)をお願い致します。
p.135 transition Probability Q^{t}(y,z)の定義の中で、
y^{t_{0}+t} <= y
とあるのは、
t_{0} + t にシグナルが来ている
という意味でしょうか？一般に、y < y^{-} しか言えないと思うのですが。
Compte(2002)JET(p.106)
p.137 Lemma 2はポアソン分布の標準化でしょうか?
Compte(2002)JET(p.106)
p.140
(μ - K) [s- n^{s} T~] >= y^{t_{0}} - y^{t_{0}-s}
は、t_{0}-sまでにシグナルが大量にきたため(相手はC)、yの値が低下し、y~以下になります。
その結果、その後に来るシグナルは確率的に期待値よりも少なくなります。だから
期待値[s- n^{s} T~]は、実際のy^{t_{0}} - y^{t_{0}-s}よりも大きくなる
ということでしょうか。
また、ここでT~はシグナルの来る期待間隔でよろしいでしょうか？
Compte(2002)JET(p.106)
p.142 (30)は
y^{-} >= (μ - K)t - (μ - K)nT^{*}
から導出されますが、もちろん、
y^{-} >= y^{t} >= (μ - K)t - (μ - K)nT^{*}
でよろしいでしょうか。
Compte(2002)JET(p.106)
p.145 FIG.2 縦軸と横軸およびFが何を表しているのかわかりません。
どなたかよろしくお願い申し上げます。 - 615 ：takizawa：2008/04/15(Tue) 05:00 ◆MpyjNwOMVM
- よろしくお願い致します。Compte (2002)JET です。
p.148 Appendix F Lemma 4
b(1- exp(-rt_{1})) (1-r^{3}) + cr^{3} < 0
はわかりますが、その閾値、t_{1}をどう導出したかがわかりません。
|b|と|K|の大小関係は定義されていないと思うのですが
Compte (2002)JET p.149 Appendix F
π^{-} = ∫_{P_}^{1} b(θ) (1-θ)/θ dθ
および
π^{-} <= 1/p_ (1-B(1-K^{1/2}) + K^{1/2}/(1-K^{1/2}) B (1-K^{1/2})
をどう導出したかがわかりません。 - 616 ：takizawa：2008/04/22(Tue) 05:57 ◆MpyjNwOMVM
- Compte(2002)JET(p.151) 2つ目の方
p.162 T^{*} の定義
v/2 = 1 - exp{-rT^{*}} = ∑_{k=0}^{T^{*}-1} δ^{k}
T^{*}ピリオドだけCすると、vの半分のペイオフが得られる。
という定義ですが、
このv/2およびT^{*}/2というのは、どう導出したのでしょうか？ - 617 ：takizawa：2008/05/02(Fri) 09:43 ◆MpyjNwOMVM
- >>616 は、右辺を標準化し忘れておりました。
v/2 = 1 - exp{-rT^{*}} = ∑_{k=0}^{T^{*}-1} δ^{k} * (1-δ)
の間違いです。
Compte(2002)JET(p.151) 2つ目の方
lnδなら意味がわかるのですが、ln(r)というのがわかりません。
δ=exp(-r)
だと思うのですが。
Matsushima(2004)Econometrica
>>611 書き忘れておりました。
p.846のSince the difference of the probabilities of player i's playing s-^{m}_{i} from period T^{m}+1 between
(s-^{m}_{i},s'^{m}_{j,τ}) and (s-^{m}_{i},s'^{m}_{j,τ-1}) equals
ξ-_{i}^{m} {p(ψ|c/d) - p(ψ|c)} × f^{*}(M^{*},T-1,τ-1)
がわかりません。
f^{*}(M*,T-1,τ-1)
とありますが、これは、
F^{*}(M*,T-1,τ-1)
だと思うのですが。しかし、F*だと、この後p.847以降すべて総和記号が発生するため、解析的に解けなくなります。
M*より多くbad signalが来るとpunishするわけですから、punishしない確立の変化量は、
F(M,T,τ) - F(M,T,τ-1)
=∑f(r,T-1,τ-1)-∑f(r,T-1,τ-1)
=∑f(r,T,τ) - ∑f(r,T,τ-1)
=∑f(r,T-1,τ-1)Pcd - ∑f(r,T-1,τ-1)Pcc
だと思うのですが。 - 618 ：takizawa：2008/05/06(Tue) 04:47 ◆MpyjNwOMVM
- >>611 >>617
間違えました。申し訳ございません。
Matsushima(2004)Econometrica
は、JETのMulti-marketの論文と同じ計算法でした。きちんと導出できました。
F(M,T,τ) - F(M,T,τ-1)
=∑f(r,T-1,τ-1)Pdc - f(r,T-1,τ-1)Pcc + f(r,T-1,τ-1)(1-Pdc) - f(r,T-1,τ-1)(1-Pcc)
=(Pdc-Pcc)∑{f(r-1,T-1,τ-1)-f(r,T-1,τ-1)}
でした。 - 619 ：名無しさんの冒険：2008/06/11(Wed) 02:20
- 質問なんですが、均衡選択の理論で、
N人プレイヤーで、プレイヤーの利得関数は非対称、
となるようなゲームで、確率pで、ある均衡もしくは戦略が選ばれる
というような結論を出している論文ってありますか？
進化ゲームでも全く構いません。
例えば、Kandori et al (1993) では、2人のプレイヤーが実際にゲームを
プレイして、その利得関数は対称となっているゲームを考察していますが、
それを、N人に拡張して、利得関数も非対称となっている論文を探して
います。もちろん、確率進化ゲームでなくてもいいです。
若干スレ違いな質問かも知れませんが、知っていたら教えてください。
よろしくお願いします。 - 620 ：名無しさんの冒険：2008/06/11(Wed) 09:22
- SNSに行くと良いよ
- 621 ：名無しさんの冒険：2008/06/12(Thu) 20:06
- 間違えた。Kandori et al でもN人ですね。
要するに、Young や Kandori et al 等の確率進化ゲームか
Matsui and Matsuyama の perfect foresight dynamics の理論を非対称 2×2
ゲームに拡張した文献を探しています。
SNSって何？Social network service? - 622 ：名無しさんの冒険：2008/06/15(Sun) 18:12
- うんこ
http://blogs.yahoo.co.jp/takizawa_shinichiro - 623 ：名無しさんの冒険：2008/06/16(Mon) 18:48
- こわい
- 624 ：名無しさんの冒険：2008/06/30(Mon) 10:45
- Lettersおめでと
- 625 ：名無しさんの冒険：2008/07/10(Thu) 09:49
- >>624 ネタかと思ったら本当だった。
この板での努力が結実？ - 626 ：名無しさんの冒険：2008/07/10(Thu) 12:31
- >>624
これね。
The effect of decisions under uncertainty on imperfect monitoring games
http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6V84-4PB0PGW-3&_user=10&_coverDate=08%2F31%2F2008&_rdoc=2&_fmt=high&_orig=browse&_srch=doc-info(%23toc%235860%232008%23998999997%23692522%23FLA%23display%23Volume)&_cdi=5860&_sort=d&_docanchor=&_ct=40&_acct=C000050221&_version=1&_urlVersion=0&_userid=10&md5=1c4901497564a4749ff5f8efe0941b23
>>622 のblogは別人？
> あー、つまんねー、日本人が虫けらのように殺されまくる戦争起きねーかなー。
> ジャップが虫けらのように、殺されまくる戦争見てー。
でも、ゲーム論のエントリもあるからやっぱり本人か… - 627 ：名無しさんの冒険：2008/07/12(Sat) 07:37
- >>626
本人だよ。教えを乞う時だけ低姿勢で出て、Blogではむちゃくちゃ書いてるもんな。
おかしい人。 - 628 ：名無しさんの冒険：2008/07/14(Mon) 09:08
- > 教えを乞う時だけ低姿勢で出て、Blogではむちゃくちゃ書いてるもんな。
逆よりはいいんじゃねw - 629 ：takizawa：2008/08/10(Sun) 03:42 ◆MpyjNwOMVM
- 病院放り込まれてました。うお～2ヶ月が。薬きついｗ。
保守上げ。 - 630 ：名無しさんの冒険：2008/08/10(Sun) 03:42
- あれ、あがりません。もう一度保守上げ。失礼致します。
- 631 ：名無しさんの冒険：2008/08/30(Sat) 16:01
- 保守上げ。
- 632 ：名無しさんの冒険：2008/09/11(Thu) 05:09
- あたらめてかんどりは神
- 633 ：takizawa：2008/09/18(Thu) 11:35 ◆MpyjNwOMVM
- 質問お願します。
Kandori and Matsushima (1998) Econometrica 66[3] p.627です。
p.642 のqの定義がわかりません。
すべてのω_{-i}に対し、自分のペイオフがいくらかを申告するのでしょうか。
すると、
2q_{i}(ω_{-i}) - ∑_{ω'_{-i} ∈ Ω_{-i}} q_{i}(ω'_{-i})^2
はどうなりますでしょうか。
すべてのω_{-i}の各パターンに対し、さらにω'_{-i}の総和をとるのでしょうか。
同じくp.642におきまして、
∑_{ω'_{-i} ∈ Ω_{-i}} {2q_{i}(ω_{-i}) - ∑_{ω'_{-i} ∈ Ω_{-i}} q_{i}(ω'_{-i})^2} p~_{-i}(ω_{-i}|a(λ),ω_{i})
の微分ができません。したがって、
2 p~_{-i}(ω_{-i}|a(λ),ω_{i}) - 2q(ω_{-i}) = 0
の導出ができません。
どなたかよろしくお願い致します。 - 634 ：takizawa：2008/09/19(Fri) 14:56 ◆MpyjNwOMVM
- 結局、private monitoring の効率解は、
Matsushima(2004)Econometrica
で解が得られた、効率解を達成できることが証明された、
ということでよろしいのでしょうか。
どなたかお教え下さい。 - 635 ：takizawa：2008/09/26(Fri) 18:57 ◆MpyjNwOMVM
- よろしくお願い致します。
Compte(1998)Econometrica66[3]p.597、Private Monitoringに関連してです。
Compteの論文はいずれも難しくてわかりません。
「判らない時は、引用文献や、前の論文を読め」と習いましたが、
どれを読めばわかりますでしょうか。最初のころの論文がどれかわかりません。
Matsushima「現代の経済学・・・」やMailathのような判り易い入門書はないでしょうか。
よろしくお願い致します。 - 636 ：takizawa：2008/09/30(Tue) 15:03 ◆MpyjNwOMVM
- 度々申し訳ございません。よろしくお願い致します。もう少しはっきり書きます。
PrivateMonitoringの論文は次のものを読みました。もっと読みます。
(1)Communication無し
○Matsushima(1991)EconomicsLetters,"On the Theory of Repeated Games…PartI"
△Sekiguchi(1997)JET,"Efficiency in Repeated Prisoner's Dilemma…"
×Compte(2002)JET,"On Sustaining Cooperation…"
×Compte(2002)JET,"On Failing to Cooperate…"
×Bhaskar and Obara(2002)JET,"Belief-Based Equilibria…"
×Ely and Valimali(2002)JET,"A Robust Folk Theorem for the…"
×Piccione(2002)JET,"The Repeated Prisoner's Dilemma with…"
×Matsushima(2004)Econometrica,"Repeated Games with Private Monitoring…"
です。頭の○△×は式の導出ができたかできなかったかです。×は全く手が出ません。定義までしか理解できていません。
どうも勝手にお手数おかけ致します。どなたかお教えください。一応、丸投げではなく自分でも少しは努力したと申し上げようと思いまして。 - 637 ：takizawa：2008/09/30(Tue) 15:22 ◆MpyjNwOMVM
- (2)Communication有り
△Matsushima(1991)EconomicsLetters,"On the Theory of Repeated Games…PartII"
△Kandori and Matsushima(2002)Econometrica,"Prvate Observation, Communication and Collusion…"
×Compte(1998)Econometrica,"Communication in Repeated Games with…"
△Fudenberg and Levine(2007)JET,"The Nash-threats folk Theorem with…"
△Fudenberg and Levine(2007)Review of Economic Dynamics,"Continuous time limits of repeated games with…"
(3)Introduction
Kandori(2002)JET,"Introduction to Repeated Games with Private Monitoring"
以上を読んだつもりです。進度が遅くて申し訳ございません。
MAtsushima(1991)とSekiguchi(1997)を何とか理解できたつもりですが、ほかのものは、いきなり式や論理が飛躍していて理解できません。
端から関連する論文を読んでいるつもりですが、何を見落としているのでしょうか。
Private Informationの論文が理解できるようになる参考書をご紹介ください。あるいは、勉強会をお願い致します。
どなたか、匿名で結構ですので、お教え下さい。よろしくお願い致します。 - 638 ：名無しさんの冒険：2008/09/30(Tue) 15:36
- 氏ねよ、荒らしめが。
- 639 ：takizawa：2008/10/03(Fri) 16:22 ◆MpyjNwOMVM
- Mailath and Samuelson(2006)"Repeated Games and Reputations"の本にもPrivate Monitoringが載っている事を先日見つけました。
オンラインのフリーpdfバージョンしか持っておらず気がつきませんで申し訳ございませんでした。
この本は、ゲーム論初心者へのPrivate Monitoring入門書としては難しいでしょうか、どうでしょうか。
呼んだことある方お教えください。 - 640 ：takizawa：2008/10/03(Fri) 16:39 ◆MpyjNwOMVM
- Sekiguchi(2002)Games and Economic Behavior40,p.299,"Existence of nontrivial equilibria in repeated games"
をお願い致します。
p.305式(4)
g_{i}(s*) - max g_{i}(a_{i},s^{p}_{-i}) > max g_{i}(a_{i},a*_{-i}) - g_{i}(a*)
のa*は、a*∈A＼NE(Γ)ですが、これは、A＼NE(Γ)の内でさらにNashになっている(と言うのかわかりませんが)
ものを選択しているのでしょうか。 - 641 ：takizawa：2008/10/10(Fri) 18:02 ◆MpyjNwOMVM
- >>518 2つ答えたら、その３倍以上の問題が返ってきてますね。
これは、少しは自分で考えろ、という意味でしたでしょうか。気がつきませず申し訳ございません。
Ben-Porath and Kahneman(1996)JET p.281 "communication in Repeated Games with Private Monitoring"
はどうにか自力で読めました。やはり戦略パスが指定されているモデルのほうがわかり易いです。
Public Informationはき科学的にイメージがつかめるので何とか理解できましたが、Private Monitoringはお手上げです。 - 642 ：takizawa：2008/10/10(Fri) 18:03 ◆MpyjNwOMVM
- Sekiguchi(2002)Games and Economic Behavior40
の式(5)がどこから出てきたのかわかりません。自明のような気が致しますが。 - 643 ：takizawa：2008/10/14(Tue) 13:29 ◆MpyjNwOMVM
- >>640 は間違えました。
2ステージゲームでseになっているものの内の、1ステージ目のactionです。
Sekiguchi(2002)GEBは、割引のないときの、有限回繰り返しゲームの話でした。 - 644 ：takizawa：2008/10/17(Fri) 10:11 ◆MpyjNwOMVM
- Sekiguchi(2002)Games and Economic Behavior40、p.318の式(30)～(33)、条件付確率が導出できません。
Sekiguchi(1997)JET,p.359やBhaskar and Obara(2002)JET,p.44等の条件付確率は導出できました。
どうやるのでしょうかよろしくお願い致します。 - 645 ：takizawa：2008/10/24(Fri) 14:39 ◆MpyjNwOMVM
- private informationは、
①2人でcommunication無しは、Matsushima(2004)Econometrica,
②3人以上でcommunication有はannounceを比較する、
ですが、
③2人でcommunication有は
(1)Monitoringをほぼperfect,(2)announceをcorrelate,(3)announceをT期に1回にする,(4)actionをcorrelate,
などの工夫をしないと、協調解がないということでしょうか。
つまり、communicationすると、協調しにくくなる、のでしょうか? - 646 ：名無しさんの冒険：2008/10/25(Sat) 14:02
- >鳶でも一流大卒リーマンでも魅力ある奴はモテるし、ないやつはモテない。
>一流大卒のつまらない男が一生懸命おいかけてる女が鳶職の俺の彼女なのはどうしてかな(笑)
売れっ子風俗嬢とかキャバ嬢ですね。分かります。
一流大卒のエリートが夢見てハマって金つぎ込むような
ステキな彼女を持って幸せですね。
ガチでそんな彼女と結婚したら
かわいい子供が産まれるし
世の中矛盾しています。
一流大卒のエリートは金もあるし
接待なども多いし目は肥えてるだろうから
同僚の気位の高いお嬢様風ブサデブなんて
相手にしたくない。
なのでキャバや風俗で働く
若くてキレイな女性で性欲を満たしては
仕事に没頭する。
３０代４０代の加齢臭漂うオヤジになっても
夢見てハマってキャバや風俗に金をつぎ込むと。
畳半畳寝て一畳。メシを食っても二合半。
人生限られてるんだから
足下を見ながら幸せになることを考えた方がいいよ。 - 647 ：takizawa：2008/11/03(Mon) 20:21 ◆MpyjNwOMVM
- >>509
「あとは、マクロっぽいけど、実はAPSの応用っていう：」
「Athey, Atkeson, Kehoe, Econometrica 73 (5), September, 2005, 1431-1476」
「"The Optimal Degree of Monetary Policy Discretion" 」
「これ、証明の細かいところはなにげに怪しいのでは？と疑ってます。」
「例えば、行動空間が有限じゃない場合に、」
「stochastic DPをゲームに拡張したときに」
「戦略の可測性に関して問題が起きないことは証明されてないと思う。」
判っていないと思われると恥ずかしいので説明させてください。
DPを仮定している場合に限りますが、DPなら時間軸に関して戦略は可測です。確率過程の場合ですが。
ですから問題はaction空間が可測かどうかを言っていると思います。
時間軸に関する取引戦略を、DPを用いることで可測としている訳(自明ですが)ですから、
action空間も可測と仮定したことになるのではないでしょうか。
実際、いくつかの論文では、actionを有限とするより、action空間を可測と仮定している例が、
Ben-Polathとカーネマン(2002)の論文などに見られます。 - 648 ：takizawa：2008/11/17(Mon) 21:10 ◆MpyjNwOMVM
- >>509 >>647 くどいですが、もう少し判り易く説明させてください。
元論文を読まずにコメントしておりますので間違えておりましたらお許しください。
取り得るaction数は理論上無限個です。
が、actionを選択する回数は無限回ではなく、DPと同じ可測の範囲内(回数内)です。
だからDPにより可測なら、action空間も、事実上可測になると思います。
stateがdtごとに1回変化し、actionもdtごとに1回しか取れないわけですから、actionも可測になると思います。
action空間は、高々state(状態数)とおなじだから、stateが可測なら、actionも可測で問題ないと思います。
私に理解できる稚拙な説明で申し訳ございません。 - 649 ：takizawa：2008/11/29(Sat) 19:20 ◆MpyjNwOMVM
- >>509 >>647 >>648 度々申し訳ございません。
John-Hullには、"現実の世界では、取引の裁定取引量というものが規定されており、離散状態に相当するが、計算の便等から連続状態を仮定している"
とありました。
"現実の世界では取引量に最低単位が存在するから、現実への応用モデルではaction空間を有限としても問題ない"
というのが正しい答えでしょうか。
どうも勘違いしたようです。 - 650 ：takizawa：2008/12/26(Fri) 10:22 ◆MpyjNwOMVM
- 測度の問題についてもう少し。ご存知かとは思いますが、
Bergin and MacLeod, 1993, 34[1],pp21-37, International Economic Review
"continuous time repeated games"
では、連続時間の戦略が問題となっています。
完全モニタリングで連続時間の場合、
同時にチートするのと、grim triggerで相手の裏切りにpunishするのとでは、
時間の感覚が無限小になったとき、同じ戦略になってしまいます。
これを解決するために、この論文では、慣性、という概念を導入し、actionを選択すると、
一定時間はほかの行動を取れない、という均衡を作りました。
ところで、ここで問題になっている、連続時間の戦略が、Sanikovの一連の論文では問題となっておりません。
問題とならない理由がわかりません。完全モニタリングとpublic monitoringの違いでしょうか。
Sanikovの場合、ブラウン運動・マルコフ・加法族・から可測を仮定したことになるからでしょうか。
Bergin and MacLeodでは、εの間、actionに慣性が働き、可測となります。