均衡点の移動について

economy/0507 ／ 28 レス／ 2002/04/30〜2002/06/22

1 ：logoff：2002/04/30(Tue) 21:34: 教えてください。一般均衡で、ある均衡点から次の均衡点に移るとき、ジャンプしてはいけないのでしょうか。
　つまり、均衡点と次の均衡点の間にはかならず均衡点が存在していなければならないのでしょうか。
2 ：名無四月馬鹿：2002/04/30(Tue) 21:41: ２get！

（#｀０´）／”☆－－－－－－－－－ｏ　　かきぃぃ－んＨＯＭＥＲＡＮ

わぁいヽ（∇⌒ヽ）（ノ⌒∇）ノわぁい♪
3 ：名無四月馬鹿：2002/04/30(Tue) 22:54: 出たな妖怪ニゲット星人！
にちゃんのニュース速報板にでも帰りなさい。
4 ：名無四月馬鹿：2002/05/01(Wed) 12:47: ２とか３みたいなバカはほっておいていいだろう。

おれも、それは教科書を読んでもよくわからん疑問っす。俺の場合は部分均衡
で疑問に感じるんだけど、陰関数定理とかで連続関数が存在することが、保障
されているのは極値の近辺だけだと思うんだけど、まったく違うとこに均衡
が移動したら、やっぱりジャンプというか、違う最適化問題の解ということに
なるの？

誰か教えてくれ。つうか１はネタなの？、そこらへんも教えてくれ。
混じれ酢している俺は逝ってよしですかね？
5 ：ドラエモン：2002/05/01(Wed) 13:16: >>1も>>4も、こういうことが疑問なの？　均衡モデルを解いた結果は、たとえば内生変数
が価格なら、外生変数の関数になるのはわかるよね？

Ｐi＝Pi（X１、...、Xｎ）

この誘導形を外生変数で偏微分できるか、できないか？これを「ジャンプしないか、するか？」
と考えてるわけ？そうであるなら、一般的にはジャンプしうる（微分可能というか、
外生変数の比較的小さな変化が不連続な均衡点の変化を引き起こす）ということが
分かってると思うよ。このあたりは、僕の能力を超える問題なので、かつてここに
居た飯田橋博士とかドブリュー先生が気が向けば答えてくれるだろう。たしか、
ドブリュー（本物）の価値の理論の邦訳序文かなんかにも関係した説明があったような。
6 ：名無四月馬鹿：2002/05/02(Thu) 00:49: >>04
均衡の条件式で解が複数あるんでしょ。
それある均衡のとこで微分したって意味ないよね。

それに比べりゃはやんないけど安定性でも議論した方がずっとまとも。
7 ：ドラエモン：2002/05/02(Thu) 12:36: >>1、>>4

僕が憶えてるこのテーマでの「概念的な説明」は、1枚のグラフだ。横軸に外生変数、
縦軸に均衡価格をとって>>05の誘導形を描く。普通のモデルは滑らかな曲線で比較静学
の結果が描かれるよね。君たちの疑問に相当するケースは、この曲線が例えば、原点近く
から右上がりできて、あるところ（ここをA点とする）で反転し左に上がっていき、再度
反転してまた右に上がっていく（この領域をBとしよう）ようなケースだ。

A点の左側では均衡解は連続になっててジャンプは生じないけど、A点を右に越そうとした
瞬間に、垂直に上にジャンプしB領域の均衡点にジャンプが生じるというわけ。

つまり、ある外生変数の値に対して均衡点が少なくとも2個ある。これが>>06氏のいう事
だよね。だから、>>06氏のコメントに「ケチ」を付けるなら（ｗ）、左側微分には意味が
あるが右側微分には意味がないということになる。
8 ：どんたく名無しさん：2002/05/03(Fri) 13:51: >>07

>>04っす。そういう疑問なのかいまいち自分でも自信ないけど、
とりあえず、部分均衡の比較静学に関する疑問っす。
>>06のはなしも総合すると、違う問題の解ではなくて、解が複数
あるってことなんすかね。
わかってないけど、生死にかかわる問題ではないので、コメント
どうも。

>>06
均衡のとこで微分しても意味ないってのは、比較静学意味なしといっているよう
なもんな気もするけど。いきなり安定性とか言い出すのは、微積やるまえに、
微分方程式やるようなもんだな。ジャンプだ。
9 ：どんたく名無しさん：2002/05/14(Tue) 01:17: 抽象的に考えれば･･･　有限次元変分不等式の解のパラメータに関する連続性という
ことかな。変分不等式は、ある種の凸性があるのであれば、解は一意に決まる。

一般的には、解は一意にも決まらないし、一意に決まったとしてもパラメータに関して
連続ではない。問題が強い凸性を持っているのならば、解はパラメータに関して
連続となる。ただし、問題が微分可能な関数らで記述されていたとしても、解は
パラメータに関して、微分可能とはならない。といっても、測度論の意味で、
ほとんどすべてのパラメータに対して微分可能。っていう感じかな。

解の安定性の話は、動的分析だから、性質の違う話。勿論、それ自体は正統派分析で
面白い話でしょう。解のパラメータに関する挙動は、あくまで比較静学的な話。
10 ：どんたく名無しさん：2002/05/14(Tue) 03:22: ＞解はパラメータに関して、微分可能とはならない。といっても、測度論の意味で、
＞ほとんどすべてのパラメータに対して微分可能。っていう感じかな。

測度論の意味で微分可能というテクニカルタームは寡聞にして聞かないけど、
それが超関数の意味での微分なら、『局所的にルベーグ可積分な関数は、
超関数の意味で微分可能』です。そしてほとんど至る所で古典的な意味で
微分可能なら、もとの関数は絶対連続になります（ラドンニコディムの
定理）。数学屋さんとコラボしたほうが生産的な分野でしょうね。
11 ：どんたく名無しさん：2002/05/14(Tue) 03:36: １０だけど、俺は数学屋じゃないので、ちょと怪しい部分があるかも
しれない。詳しい人がいたら、フォローしてね。
12 ：どんたく名無しさん：2002/05/14(Tue) 13:06: 04っす

死んでいくスレかと思っていたら、伸びているので、厨房的レスを（ｗ
ここで積分が出てくるのがなぜ？と、有限次元でもルベーグ積分いるんすか？
超関数なんて知らないっすけど、とつまらんこと考えつつ、

>>09

>一般的には、解は一意にも決まらないし、一意に決まったとしてもパラメータに関して
>連続ではない。問題が強い凸性を持っているのならば、解はパラメータに関して
>連続となる。

これはふむふむと納得しました。凸性あったら、解もけっこう一意に決まるような気が、よくわかってないけど、それだと全部うまくいきそう。

>ただし、問題が微分可能な関数らで記述されていたとしても、解は
>パラメータに関して、微分可能とはならない。

解は微分可能ではなくても、連続ではあるんですかね？連続なら、ジャンプは
していないから、まあ同じ均衡の枠内でたどり着けそうみたいな適当なイメージ。
もちろん微分できないとなんにも言えないかもしれないけど。

>といっても、測度論の意味で、
>ほとんどすべてのパラメータに対して微分可能。っていう感じかな。

>>10持ち出してきたのはラドン・ニコディム微分とかそういうやつですかね？
これは、この文章に対するコメントだと思うのだけど、そもそも有限次元で
考えているなら、こんな難しい話なんすかね？それとも絶対連続な関数の
範囲で微分を考えておけみたいな感じなんすか？

なんかかなりわかってきた気分って、うそです、ごめんなさい。
13 ：どんたく名無しさん：2002/05/15(Wed) 13:47: ＞持ち出してきたのはラドン・ニコディム微分とかそういうやつですかね？

違いますよ。ラドン・ニコディム微分という用語はないと思います。
differentiation in the sense of distribution 超関数の意味での
微分です。超関数の意味での導関数が、局所的に L^1 の関数なら
もとの導関数は古典的な意味でほとんどいたるところ微分可能で
絶対連続だというのが、ラドンニコディムの定理です。

＞そもそも有限次元で考えているなら、

考えている関数の定義域、値域は有限次元のユークリッド空間です。
解のパラメーター依存性を議論しているわけですから、パラメーターに
ついて通常の意味で微分可能かどうかを議論するなら、超関数の意味での
微分が L^2 にでも入っていることを示すなりして、レギュラリティーを
上げていく方法を取るんだと思います。

まあ、変分不等式の解のパラメーターについての微分可能性とかの議論は
数学であって経済学者にはちょっと難しすぎるように思います。MathSciNet
ででも調べたらいろいろ出てくると思います。それか理学部の数学の関数解析や
偏微分方程式論の専門家に聞くかしたらどうでしょうか？
14 ：どんたく名無しさん：2002/05/15(Wed) 13:51: ＞超関数の意味での微分が L^2 にでも入っていることを示すなりして

補足しておきますと、こういう空間をソボレフ空間というのですが、
なぜ　L^1 でなくて L^2 かと言うと、ソボレフ空間はヒルベルト空間
で取り扱いがしやすいからです。偏微分方程式論ではよく使われる
方法です。
15 ：どんたく名無しさん：2002/05/15(Wed) 16:31: １３ですが、元の質問は「均衡解のパラメーター依存性やいかに？」だと
思うのですが、当然可能性としては、解の分岐、消滅、生成、等々いろいろな
ことが起こりうるでしょう。一般的な枠組みで、使いやすい十分条件は、まだ
数学でも見つかってないんじゃないかと思うのですが、いかがでしょう？

小生関数解析プロパーじゃないので、断言できませんが。
16 ：どんたく名無しさん：2002/05/15(Wed) 23:22: >>10
>ほとんど至る所で古典的な意味で
>微分可能なら、もとの関数は絶対連続になります

逆です。絶対連続な関数はほとんどいたるところで微分商を持ちますが、
a.e.で微分可能でも必ずしも絶対連続ではないです。（例、カントール関数）

>>13
>ラドン・ニコディム微分という用語はないと思います。

あります。測度論の用語です。グーグルで検索してみよう。
英語だと、Radon-Nikodym derivative。

それぞれ、伊藤清三「ルベーグ積分入門」19章を参照のこと。

均衡点というのが、数学の言葉に翻訳すると何になるのかいまいちよく分かりません。
www2.mt.tama.hosei.ac.jp/~miya_ken/workshop/varian.htm
を眺めてみても、簡単なモデルから、難しいのまで色々あるみたいですね。
これの何章の話かにゃ。

>>7
銅鑼さんの言われている図。
www.iic.tuis.ac.jp/edoc/journal/ron/r2-3-3/r2-3-3c.html
17 ：ドラエモン：2002/05/16(Thu) 00:46: >>16氏

有り難うございます。恥ずかしい話ですが、実は拙者も今を去る２０有余年前には、
スメール＆ハーシュの「力学系入門」くらいはよんだんですよ。当時も難しくて良く
わからないところがありましたが、今では残滓も脳に残ってない（泣

数理やってて、この板に出てくるような皆さんには、本当に感謝してます。今後とも
宜しく。
18 ：09：2002/05/16(Thu) 01:43: わたしゃ、ヒルベルト空間とか難しい話をしている気はないんですが･･･
しかし、こんな話によくレスがつきますね。

有限次元変分不等式を記述している関数らが、微分可能で強い意味で準凸ならば、
解は、一意で、パラメータに関して連続に出てきます。ただの準凸性だと、
一意性が出てきません。

微分可能で強い意味で準凸の場合ですが、変分不等式が退化している場合で
無い限りは、解はパラメータに関して微分可能となります。

「ほとんどすべての」と言ったのは、問題を退化させるようなパラメータは、
常識的な問題を考えている限りは、ほとんどないということです。
19 ：どんたく名無しさん：2002/05/16(Thu) 02:35: ＞あります。測度論の用語です。グーグルで検索してみよう。
＞英語だと、Radon-Nikodym derivative。

１３です。ひとつ賢くなれました。ありがとう。定義のメジャーをルベーグ測度に限って
作用素としての定義域を絶対連続関数に限ると超関数の意味の微分に一致するようですね。
20 ：並盛梅雨だく名無しさん：2002/05/27(Mon) 03:39: 面白いことになってますね。でもなんか、議論噛み合ってないような気がする。

均衡の存在は、完備距離空間上で凸だったら分離超平面と非ゼロ線形汎関数が
存在して、適当な内積が定義できればRiesz表現が存在して一意だ、というと
ころから存在と一意を主張するわけで、凸集合内の微分可能性とは本来無関係
ですね。

微分可能性はむしろ最適性と密接なのではありませんか。たとえば、Pareto最
適などは、効用関数がGatau微分を持っていれば凸集合内で縮小写像を構成でき
るから、Shauderや角谷の不動点定理が利用できて、結局さっき主張した均衡と
一致するという議論になるのではなかったでしょうか。

複数均衡の存在を許すような経済理論は、コア概念や結託を取り込んだ
　Hildenbrand(1974) Core and Equilibruim of a Large Economy
あたりを手始めに文献を渉猟すれば答えが見つかると思います。
Hildenbrandも最後まできちんと読んだわけではないので保証しかねますが、もともと
「連続的な均衡」を否定するアプローチですから、コア内部のひとつの均衡から別の均
衡へは「跳躍」するしかないでしょう。

元来の >>1 の質問の意図が明確にならないと、叡智が結集しているのにせっかくの議
論が無駄に終わるかもしれません。議論そのものが面白ければ別にそれでもいいような
気がするけど。
21 ：並盛梅雨だく名無しさん：2002/05/27(Mon) 23:38: 話を進めないでレベルを下げていく>>04っす

>均衡の存在は、完備距離空間上で凸だったら分離超平面と非ゼロ線形汎関数が
略
>ですね。

ところで、これは一般均衡の話くさいなぐらいはわかる俺としては、
超過需要＝０にするような価格が存在していますということを不動点定理で
証明するというのと、２つの凸集合を切り分ける分離超平面が存在しているというのは、どういう関係にあるんですか？同値関係なんですかね。

とか言いつつ、実は、それが第2段落なんすかね。

>微分可能性はむしろ最適性と密接なのではありませんか。たとえば、Pareto最
略
>一致するという議論になるのではなかったでしょうか。

縮小写像なら、それ自体で不動点持っていると思うんですけど。
あとパレート最適性と角谷との関係がよくわからないです。

パレート最適と微分可能性は関係あるってのは、厨房なおれとしては眼からうろこ
ですね、というか、パレート最適の定義から考えると、むちゃくちゃありそう。
納得っす。そこで微分できないとやばすぎという気が今更してきた。

また2個上の段落に戻って、競争均衡を定義して、そいつがあって（分離超平面でも
不動点でもいいんですけど）、それがパレート最適だといえると第一定理が完成する
んですよね？と厨房みたいなことを確認しつつ、つうか厨房なんだけどさ。
パレート最適といえるのは何ででしたっけ？そこでなんか数学の定理をつかうんでしたっけ。角谷は無関係な気がするんですけど。とまた話を発散させる俺。

そこから下は難しいですね。
22 ：並盛梅雨だく名無しさん：2002/05/28(Tue) 01:29: >>21
>縮小写像なら、それ自体で不動点持っていると思うんですけど。
すみません、経済ではLyapunov関数といってましたか。DebrueやLucasでもそうですが、考え
る関数空間が少しずつ違うんで選ばれている写像と不動点定理が微妙に異なりますが、いずれに
せよ大筋では凸集合内の部分凸集合への写像だから縮小写像ではないですか（Lucasの場合は
Blackwellでしたが）。局所的に凸な無限次元Hausdorff空間（完備距離なトポロジーを持った
測度空間を扱うファイナンスで用いられたのでしたか）の不動点定理はFan-Glicksbergだった
と思います。
>パレート最適だといえると第一定理が完成するんですよね？
競争均衡の第一厚生定理のことですね。完備な交換市場なら均衡は（マーケットがクリアされる
という条件が追加された）最適消費配分と価格のペアで定義されたはずです。価格の方は凸集合
の汎関数でRiesz表現から存在して一意に決まる、この価格をgivenとして市場参加者の効用最
大化から最適消費配分が決まると、別々にアプローチするのだったと思います。交換市場で均衡
が存在したとすると、この最適消費配分を優越するような消費配分は存在しないというのが定理
の内容ですね。不動点定理以外は特別な数学はいらなかったと思いますが。

あ、でも書いていて段々自信がなくなってきたぞ。えーと、言いたかったのは、完備距離な凸集
合というか関数空間上で適当に内積が定義されれば、汎関数として定義される価格の存在性と一
意性は単独で出てくるから、上のように考えていけば均衡の存在性と一意性は主張できる、とす
れば一般均衡で複数均衡を考えるという前提がよくわからないな、ということです。だから、コ
アのような複数均衡を許す経済を考えているのだろうか、ということを疑問に思ったしだいで
す。

付け焼刃の経済の知識ですので、誤解してるかもしれません。間違っていたら訂正してくださ
い。
23 ：名無しさん日本語版：2002/05/28(Tue) 08:48: 少々議論が輻湊しているようなので，ちょっと整理を…．

Brouwerの不動点定理は，
コンパクト凸集合の自分自身への連続「写像」を前提に，
「写像」の不動点の，「存在」を主張．

角谷の不動点定理は，
集合からその部分集合への「対応」を前提に，
「対応」の不動点の，「存在」を主張．

Cauchy-Lipschitzの定理（１階正規形微分方程式の解の存在と一意性）のPicardの逐次近似法に依らない証明方法として，まず，
完備距離空間（有界実数値連続関数集合にsupによる距離を導入した位相空間，このときCaushy列は収束）と縮小写像（Lipschitz連続の写像版）を前提に，
「写像」の不動点の，「存在」と「一意性」を主張しておき，
それに加えて，Lipschitz条件を正規形関数に仮定すれば，
１階正規形微分方程式の解の「存在」と「一意性」が主張できる．

一方，Liapunovの定理（自励系１階常微分方程式の平衡点の安定性の判定）は，
平衡点近傍（開凸集合）において狭義Liapunov関数が存在するという前提で，
漸近安定を主張する．

要は，どういうモデルでも，また，どういう方法を使ったとしても，
均衡点（平衡点）の一意性が証明され，かつ，その均衡式が分かっているのならば，
その一意な均衡点が，体系のパラメターの変動によってどう移動するかも予想がつく．
24 ：logoff：2002/06/14(Fri) 21:52: 教えてください。数学はよくわからないものの大変勉強になっております。
最初静学の枠組みで、政策が変化した場合の均衡点の変化について考えて
いました。ところがその時に、均衡点がジャンプを起こしてしまい、狙いの
均衡点を達成するための、政策変化の最適値を求めることができなくなって
しまいました。できれば、均衡点のジャンプを許容したくないのですが、
ジャンプがあってもなんの不思議もないことがこの掲示板を読んでいてよく
わかりました。
　そこで、Abelタイプ(新古典派タイプ)の投資関数を前提とした、動学モデ
ルで考えてみることにしました。この場合、どの時点においても必ず均衡点
が存在する必要があり、均衡点のジャンプは許されず、政策変化の最適値を
求めることが可能になると思います。このように考えてよいでしょうか。
また、この場合、DPで解いてやる必要があるでしょうか。
25 ：並盛梅雨だく名無しさん：2002/06/16(Sun) 13:12: ところで外生変数が変化したとき別のサドルポイントパス上に載るように
ジャンプするのはどうしてだろう。外生変数が変化してそのままにあれば、
別のところに発散してしまうのにと尋ねてみるてすと
26 ：並盛梅雨だく名無しさん：2002/06/16(Sun) 14:32: >>24 >>25に
スレ違いといってみるてすと
ザモデル
あ　げ　た
27 ：ドラエモン：2002/06/16(Sun) 14:55: >>25

動学的最適化行動を前提にしたモデルでは、そのユニークな定常均衡への収束経路が最適性経路
として「選択」されると言うことですよ。昔風の動学的安定条件論の世界ではない。ザモデル氏
が強調して止まなかった状態変数と政策変数の違いですな。
28 ：logoff：2002/06/22(Sat) 22:43: ドラエモンさん、04さんありがとうございました。